變異函數(shù)及結(jié)構(gòu)分析

1、變異函數(shù)及結(jié)構(gòu)分析第1頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二一、協(xié)方差函數(shù)的計(jì)算公式第一節(jié) 協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)的性質(zhì)設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足(準(zhǔn))二階平穩(wěn)假設(shè)，h為兩樣本點(diǎn)空間分隔距離，Z(xi)與Z(xi+h)分別是Z(x)在空間位置xi和xi+h上的觀測(cè)值(i=1,2,N(h),則計(jì)算協(xié)方差的公式為：第2頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第3頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二協(xié)方差函數(shù)曲線圖：以h為橫坐標(biāo)，C#(h)為縱坐標(biāo)作圖第4頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二二、協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)區(qū)域化變量Z(x)在

2、二階平穩(wěn)假設(shè)下，其協(xié)方差函數(shù)存在且平穩(wěn)，定義為1.C(0) = VarZ(x) 0，即先驗(yàn)方差不能小于零2.C(h) =C(-h) ，即C(h)對(duì)h=0的直線對(duì)稱(chēng)，是一個(gè)偶函數(shù)第5頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二證：令x-h=y，則x=y+h，帶入上式得圖形特征及含義第6頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二3.|C(h)| C(0) ，即協(xié)方差函數(shù)絕對(duì)值小于等于先驗(yàn)方差證：第7頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二4.|h|時(shí),C(h) 0，或?qū)懽鰿() =0，即當(dāng)空間距離很大時(shí)，協(xié)方差函數(shù)值很小意義(空間局限性)：當(dāng)距離很大時(shí)，Z

3、(x)和Z(x+h)之間的線性相關(guān)基本不存在5.C(h)必須是一個(gè)非負(fù)定函數(shù)，由C(xi-xj）構(gòu)成的協(xié)方差函數(shù)矩陣必須是非負(fù)定矩陣正定條件(positive definite condition)區(qū)域化變量Z(x)二階平穩(wěn)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差為C(h),變異函數(shù)為(h)，令Y是該類(lèi)型區(qū)域化變量的任意有限線性組合，即：第8頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二較難理解則由C(xi-xj）(i,j=1,2n)構(gòu)成的協(xié)方差函數(shù)矩陣是非負(fù)定矩陣，即C(h)為非負(fù)定函數(shù)二階平穩(wěn)區(qū)域化變量的協(xié)方差函數(shù)是有條件的第9頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二三、實(shí)驗(yàn)(經(jīng)

4、驗(yàn))變異函數(shù)(experimental variogram)的計(jì)算公式設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足(準(zhǔn))二階平穩(wěn)條件或(準(zhǔn))本征假設(shè)，h為兩樣本點(diǎn)空間分隔距離，Z(xi)與Z(xi+h)分別是Z(x)在空間位置xi和xi+h上的觀測(cè)值(i=1,2,N(h),則計(jì)算實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)的公式為：變異函數(shù)曲線圖：以h為橫坐標(biāo)， #(h)為縱坐標(biāo)作圖第10頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二變異函數(shù)計(jì)算實(shí)例（1）一維變異函數(shù)的計(jì)算x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x104 3 4 5 7 9 7 8 7 7以下為一研究對(duì)象在水平方向上的采樣數(shù)據(jù)，滿足二階平穩(wěn)或本征假設(shè)，采

5、樣值如圖所示，點(diǎn)間分隔距離h=1米，計(jì)算 #(h)第11頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第12頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第13頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二兩方面理解：變異性的理解與相關(guān)性的理解第14頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二作業(yè)：x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 2 4 3 1 5 3 6 4以下為一研究對(duì)象在水平方向上的采樣數(shù)據(jù)，滿足二階平穩(wěn)或本征假設(shè)，采樣值如圖所示，點(diǎn)間分隔距離h=1米，計(jì)算 #(1), #(2), #(3)第15頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20

6、日，5點(diǎn)16分，星期二（2）二維變異函數(shù)的計(jì)算下圖為正方形網(wǎng)格狀的采樣數(shù)據(jù)，*號(hào)處為無(wú)數(shù)據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)間距離h為100米，請(qǐng)分別計(jì)算南北、東西、西北和東南方向上的變異函數(shù)值。第16頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第17頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第18頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第19頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二西北和東南方向上的變異函數(shù)值的計(jì)算，注意分隔距離h的確定和樣本數(shù)據(jù)對(duì)的查找第20頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第21頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)

7、16分，星期二作業(yè)：下圖為正方形網(wǎng)格狀的采樣數(shù)據(jù)，網(wǎng)格交叉空白處為無(wú)數(shù)據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)間距離h為a米，請(qǐng)分別計(jì)算南北方向 #(a), 西北東南方向上 #( a)。第22頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二四、變異函數(shù)的性質(zhì)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)或本征假設(shè)條件，則變異函數(shù)存在且平穩(wěn)，計(jì)算公式為1. (0) = 0，即在h=0時(shí)，變異函數(shù)為零2. (h) = (-h) ，即(h)對(duì)h=0的直線對(duì)稱(chēng)，是一個(gè)偶函數(shù)第23頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二3. (h) 0,即研究現(xiàn)象的變異性只能大于或等于零4.|h|時(shí), (h) C(0)，或?qū)懽?) =C(0)

8、，即當(dāng)空間距離很大時(shí)，變異函數(shù)值接近先驗(yàn)方差5.- (h)必須是一個(gè)條件非負(fù)定函數(shù)，即由- (xi-xj)構(gòu)成的變異函數(shù)矩陣必須是條件非負(fù)定矩陣。第24頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二區(qū)域化變量Z(x)二階平穩(wěn)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差為C(h),變異函數(shù)為(h)，令Y是該類(lèi)型區(qū)域化變量的任意有限線性組合，即：第25頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二區(qū)域化變量Z(x)的 變異函數(shù)(h)是有條件的，即需滿足條件非負(fù)定條件第26頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二五、協(xié)方差函數(shù)與變異函數(shù)的關(guān)系第27頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日

9、，5點(diǎn)16分，星期二協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)的曲線圖問(wèn)題：為什么只畫(huà)出了h0的關(guān)系圖？當(dāng)h足夠大(即存在a0，當(dāng)ha)時(shí)，可以使C(h) =0,(h)=C(0),a稱(chēng)為變程(range)1、變程a表示區(qū)域化變量從存在空間相關(guān)狀態(tài)(當(dāng)|h| a時(shí))的轉(zhuǎn)折點(diǎn)2、變程a的大小反映區(qū)域化變量影響范圍的大小，或說(shuō)反映該變量自相關(guān)范圍的大小。也可說(shuō)變程a是區(qū)域化變量空間變異尺度或空間自相關(guān)尺度變程a的意義：第28頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第二節(jié) 變異函數(shù)的功能一、變異函數(shù)通過(guò)“變程”反映變量的影響范圍變異函數(shù)的躍遷現(xiàn)象 變異函數(shù)(h)是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)h超過(guò)某一數(shù)值(變程a)

10、后， (h)不再繼續(xù)單調(diào)地增大，而往往穩(wěn)定在一個(gè)極限值() 附近，這種現(xiàn)象稱(chēng)為“躍遷現(xiàn)象”(transition phenomena)()極限值稱(chēng)為基臺(tái)值(sill),即C(0)【二階平穩(wěn)條件】，基臺(tái)值的大小反映變量變化幅度的大小凡具有一個(gè)變程a和一個(gè)基臺(tái)值的變異函數(shù)，稱(chēng)為“躍遷型”的變異函數(shù)“變程”反映變量的影響范圍(圖示）第29頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二二、不同方向上的變異函數(shù)圖可反映區(qū)域化變量的各向異性 變異函數(shù)表示的各向異性如果在各個(gè)方向上區(qū)域化變量的變異性相同或相近，則稱(chēng)區(qū)域化變量是各向同性的，反之稱(chēng)為各向異性通過(guò)作出各個(gè)方向上的變異函數(shù)圖，并放到一起來(lái)

11、比較、分析、研究，就可以確定區(qū)域化變量的各向異性（包括有無(wú)各向異性，及各向異性的類(lèi)型等）第30頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第31頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二三、塊金常數(shù)C0的大小可反映區(qū)域化變量的隨機(jī)性大小 變異函數(shù)的塊金效應(yīng) 當(dāng)h=0時(shí)，變異函數(shù)(h)0，而等于一個(gè)常數(shù)C0 ，這種現(xiàn)象稱(chēng)為“塊金效應(yīng)”(nugget effect), C0稱(chēng)為塊金常數(shù)或塊金方差(nugget variance)塊金效應(yīng)的圖形表示第32頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二“塊金效應(yīng)” 主要有兩種來(lái)源：1、區(qū)域化變量在小于抽樣尺度h時(shí)所具

12、有的變異性2、采樣分析誤差當(dāng)樣點(diǎn)間的距離大于微域結(jié)構(gòu)的范圍，或樣點(diǎn)的大小大于微域結(jié)構(gòu)的范圍就會(huì)出現(xiàn)塊金效應(yīng)（Webester，1985）第33頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二四、變異函數(shù)在原點(diǎn)處的性狀可反映區(qū)域化變量的空間連續(xù)性 變異函數(shù)在原點(diǎn)處的性狀主要有五種類(lèi)型，每種類(lèi)型反映了變量的不同程度的空間連續(xù)性 1、拋物線型（parabolic type） 當(dāng)|h|0時(shí), (h)A|h|2(A為常數(shù))，即變異函數(shù)曲線在原點(diǎn)處趨向一條拋物線，反映區(qū)域化變量是具有高度連續(xù)性的，如礦層厚度第34頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 2、線性型（linear t

13、ype） 當(dāng)|h|0時(shí), (h)A|h|(A為常數(shù))，即變異函數(shù)曲線在原點(diǎn)處趨向一條直線，或說(shuō)在原點(diǎn)處有斜向的切線存在，反映區(qū)域化變量是具有平均的連續(xù)性，如金屬品位 3、間斷型（discontinuous type） 當(dāng)|h|0時(shí), (h)C0，即變異函數(shù)曲線在原點(diǎn)處間斷，說(shuō)明塊金效應(yīng)存在，又稱(chēng)“塊金效應(yīng)型”，反映區(qū)域化變量的連續(xù)性很差，但當(dāng)h增大時(shí)，(h) 又變的較為連續(xù)了，如金品位第35頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 4、隨機(jī)型（random type） 這種變異函數(shù)可看成具有基臺(tái)值C0和無(wú)窮小變程a的躍遷型變異函數(shù)，則無(wú)論h多小，h總大于a，故Z(x)與Z(x+

14、h)總是互不相關(guān)又稱(chēng)純塊金效應(yīng)型，反映了區(qū)域化變量完全不存在空間相關(guān)的情況，則本質(zhì)上此區(qū)域化變量為普通隨機(jī)變量此時(shí)，C0=C(0)第36頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 5、過(guò)渡型：介于拋物線型和隨機(jī)型間 當(dāng)|h|0時(shí), (h)C0，即有塊金效應(yīng)； 當(dāng)|h|=a時(shí), (a)=C(0)，即有基臺(tái)值(C0+C)和變程a,C稱(chēng)為“拱高”過(guò)渡型是實(shí)際研究工作中最常遇到的一種類(lèi)型第37頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第三節(jié) 變異函數(shù)的理論模型 思考：是否有了采樣數(shù)據(jù)及變異函數(shù)計(jì)算公式就可以獲知任意距離h的區(qū)域化變量變異性？ 設(shè)Z(x)具有各向同性的變異函數(shù)

15、 (h)，則常見(jiàn)的變異函數(shù)模型如下：變異函數(shù)的理論模型有基臺(tái)值模型無(wú)基臺(tái)值模型可以有或無(wú)基臺(tái)值模型：孔穴效應(yīng)模型球狀模型、指數(shù)模型高斯模型線性有基臺(tái)模型純塊金效應(yīng)模型冪函數(shù)模型對(duì)數(shù)模型線性無(wú)基臺(tái)模型第38頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二一、有基臺(tái)值模型 1、球狀模型（spherical model） 若模型滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，且有有限先驗(yàn)方差， (h)值隨h的變大而增大，當(dāng)h達(dá)一定值(ha)時(shí)，(h)達(dá)到一定值基臺(tái)值，則稱(chēng)此類(lèi)模型為有基臺(tái)值模型式中：C0為塊金常數(shù)，(C0+C)為基臺(tái)值，C為拱高，a為變程第39頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二當(dāng)C0

16、=0，C=1，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)球狀模型，其圖形為：原點(diǎn)處切線的斜率為3/2a,與基臺(tái)值線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2a/3球狀模型是地統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用最廣的理論模型，許多區(qū)域化變量的理論模型都可以用球狀模型來(lái)擬合第40頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 2、指數(shù)模型（exponential model）式中：C0，C意義同前，但a不是變程當(dāng)C0=0，C=1，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)模型，其圖形為：由于1-e-3=1-0.05=0.951，則變程為3a第41頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 3、高斯模型（gaussian model）式中：C0，C意義同前，但a不是變程由于1-e-3=1

17、-0.05=0.951，則變程為3 a當(dāng)C0=0，C=1，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù)模型，其圖形為：第42頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二模型通過(guò)原點(diǎn)切線與基臺(tái)值線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)變程原點(diǎn)處的性狀球狀2a/3a直線指數(shù)a3a直線高斯無(wú)交點(diǎn)3 a拋物線三種模型的比較第43頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 4、線性有基臺(tái)值模型（linear with sill model）式中：C0，C意義同前，A為常數(shù)，表示直線的斜率，變程為a第44頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 5、純塊金效應(yīng)模型（pure nugget effect model）此

18、時(shí)，C0=C(0)此種模型意味著區(qū)域化變量為隨機(jī)分布，樣點(diǎn)間的協(xié)方差函數(shù)對(duì)于所有距離h均等于0，即變量不存在空間相關(guān)性第45頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第46頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二二、無(wú)基臺(tái)值模型 1、冪函數(shù)模型（power model） 若與模型相應(yīng)的區(qū)域化變量不滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，僅滿足本征假設(shè)，(h)值隨h的變大而增大，但不能達(dá)到一定值，即無(wú)基臺(tái)值，則稱(chēng)此類(lèi)模型為無(wú)基臺(tái)值模型 當(dāng)改變參數(shù)時(shí)，可以表示原點(diǎn)處的各種性狀第47頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 2、線性無(wú)基臺(tái)值模型（linear without

19、sill model）第48頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二 3、對(duì)數(shù)模型（power model）第49頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二三、孔穴效應(yīng)模型(hole effect model) 當(dāng)變異函數(shù)(h)在大于一定距離后，并非單調(diào)遞增，而具有一定周期波動(dòng)，此種模型稱(chēng)為孔穴效應(yīng)模型有基臺(tái)值無(wú)基臺(tái)值第50頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二第四節(jié) 變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析一、結(jié)構(gòu)分析、套合結(jié)構(gòu)概念采樣數(shù)據(jù)計(jì)算#(h)試驗(yàn)變異函數(shù)曲線對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行分析合適的理論模型實(shí)際中區(qū)域化變量的變化性很復(fù)雜：(1)可能在不同方向上有不同的變異性；(2)在同一方向上包含不同尺度上的多層次的變異性這么復(fù)雜??？第51頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二礦床或礦體的變異性往往由多種原因引起采樣、樣品制備及分析等過(guò)程所產(chǎn)生的誤差原因礦物成分的變化，如金礦等品位變化劇烈的礦床上尤為明顯礦層與夾層的交替變化礦床分布引起的變異0 1n cm米至百米公里尺度不同原因引起的變異特性，其變異尺度的大小不同顯然，大尺度的變異總是包含著小尺度的變異，小尺度的變異在大尺度變異曲線上只能作為“塊金效應(yīng)”出現(xiàn)第52頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期二土壤的空間變異性與土壤母質(zhì)、