2024年蘭州市高三診斷考試（一診）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024年蘭州市高三診斷考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后.用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂

黑。如需改動(dòng).用橡皮擦干凈后.再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答

題卡上c寫(xiě)在本試卷上無(wú)效:

3.考試結(jié)束后.將本試卷和答題卡一并交回e

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.設(shè)集合4={x|），=ln（x—l）},6={1,2,3,叫，則.41）3=

A.（1,+8）B.{2,3,4；C.（1,4]D.[】，+8）

2.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)工對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則復(fù)數(shù)三對(duì)應(yīng)的點(diǎn)4所在象限為

2i,

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某校為了提高學(xué)生的安全意識(shí),組織高一年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行安全知識(shí)競(jìng)賽答題活動(dòng)，隨

機(jī)抽取8人的得分作為樣本.分?jǐn)?shù)從低到高依次為：84,85,87,87,90,a,b,99,

若這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為94,則利用樣本估計(jì)此次競(jìng)賽的平均分約為

A.85B.86C.90D.95

4.已知0<a<兀，cosa=2sin—?則5111巴=

22

A.星1D.回

B.6一1c也

222

/y2y22

5.己知雙曲線片：=l（a>0,b>0）與雙曲線玲：正一個(gè)=1的離心率相同，雙曲

a2b2

線片的頂點(diǎn)是雙曲線芻的焦點(diǎn)，則雙曲線片的虛軸長(zhǎng)為

1524

C.D.10

A.~4T

6.球面上兩點(diǎn)間距離的定義為：經(jīng)過(guò)球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間劣弧的長(zhǎng)度（大圓就是經(jīng)

過(guò)球心的平面截球面所得的圓）.設(shè)地球的半徑為〃，若甲地位于北緯45。東經(jīng)120°，乙地

位于;I僚45。西經(jīng)60°,則甲、乙兩地的球面距高為

A.—RB.—RC.9D.與A

6322

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共4頁(yè)）

'3%+1,勺為奇數(shù)，

7,數(shù)列㈤滿足4=2叫*=,a為偶數(shù),則喙=

2

A.5B.4C.2D.1

8.已知；/=/(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)于任意x均有/(不+1)+/(*-1)=0,當(dāng)0<%W1

時(shí)，/(力=2'-1,若/[歷(w)]>/(In?)(e是自然對(duì)數(shù)的底)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A,/皿<〃%eZ)B.e~2J<<a<Qr2\keZ)

C.D.e等“<a<e卜優(yōu)GZ)

二,多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得。分)

9.某學(xué)校開(kāi)展測(cè)錄旗桿高度的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生需通過(guò)建立模型、實(shí)地廁量，迭代優(yōu)化

完成此次活動(dòng).在以下不同小組設(shè)訐的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有

A.在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)A,B,分別測(cè)量旗桿頂端的仰角a,6,再測(cè)量A,B兩點(diǎn)

間距離

B.在旗桿對(duì)面找到某建筑物(低于旗桿)，測(cè)得建筑物的高度為"在該建筑物底部和頂部

分別測(cè)得旗桿頂端的仰角謝￡

C.在地面上任意尋找一點(diǎn)A,測(cè)量旗桿頂端的仰角a,再測(cè)量A到旗桿底部的距離

D.在旗桿的正前方A處測(cè)得旗桿頂端的仰角a,正對(duì)旗桿前行5nl到達(dá)B處，再次測(cè)量旗

桿頂端的仰角￡

10.英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機(jī)事件4,3存在如下關(guān)

系：P(.8)=P("*(8⑷.對(duì)于一個(gè)電商平臺(tái),用戶可以選擇使用信用卡、支付寶或微

信進(jìn)行支付.已知使用信用卡支付的用戶占總用戶的20%,使用支付寶支付的用戶占總

用戶的40%,其余的用戶使用微信支付.平臺(tái)試運(yùn)營(yíng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)三種支付方式都會(huì)遇到

支付問(wèn)題，為了優(yōu)化服務(wù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)支付問(wèn)題的概率是0.06,若fl

到支付問(wèn)題的用戶，使用三種支付方式支付的概率均為《，則以下說(shuō)法正確的是

A.使用信用卡支付的用戶中有10%的人遇到支付問(wèn)題

B.使用支付寶支付遇到支付問(wèn)題與使用微信支付遇到支付問(wèn)題的概率不同

C.要將出現(xiàn)支付問(wèn)題的概率降到0.05,可以將信用卡支付通道關(guān)閉

D.減少微信支付的人數(shù)有可能降低出現(xiàn)支付問(wèn)題的概率

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

11.半徑長(zhǎng)為I米的車輪勻速在水平地面上向前滾動(dòng)（無(wú)沿動(dòng)），輪軸每秒前進(jìn)5米.運(yùn)動(dòng)時(shí)

車輪著地點(diǎn)為/,若車輪滾動(dòng)時(shí)點(diǎn)4距離地面的高度A（米）關(guān)于時(shí)間，（秒）的函數(shù)記

為力=/VX，&0）,則以下軻斷正確的是

A.對(duì)于W登0,都有/?+2）=/?）B.A=f?）在區(qū)間[*妹+2]#wN）上為增函數(shù)

C./（7§=笥旦D.對(duì)于Wfw[24],都有/（6T）+/（，）U2

三.填空遨（本大期共3小邈，每小題5分，共15分）

12.函數(shù)/（x）=m"（e是自然對(duì)數(shù)的底）在x=l處的切線方程是___________.

13.等邊三角形N8C中，點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上匏近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),

cos<AE^BD>°.

14.如圖在四棱柱旬皿-4,6七，。'中，倒面第33,為正方

形，例而比C'8'為夔形，B，C=BCu2,E、F分別為

棱&T及CD的中點(diǎn),在畫(huà)面CMT。內(nèi)（包括邊界）找

到一個(gè)點(diǎn)尸,使三楂錐尸-際與三棱彼B'=8￡F的體積

相等，喇點(diǎn)P可以是（答案不唯一）.若

二面角力-四-C的大小為心當(dāng)0取最大值時(shí)，線段

B7長(zhǎng)度的取值范圍是

四.解答翹（本大題共5小^,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演就步驟）

15.（13分）若一個(gè)平面多邊形任意一邊所在的直線都不能分捌這個(gè)多邊形，則稱這樣的多邊

形為凸多邊形，凸多邊形不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段稱為凸多邊形的對(duì)角線.用q翟示凸

”+3邊形伽GN'）對(duì)角線的條數(shù).

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式：

⑵若數(shù)列恐｝的前〃項(xiàng)和為,,求數(shù)列｛2璃｝的前〃項(xiàng)和*,并證明2sl.-1V0.

16.（15分）如圖，四棱錐P-iACD中，4_1底面43cD,

ADIIBC,ABJ-AD,PA^AD^3.AB=4,BC=S,

E,尸分別為尸外PC上一點(diǎn)，前二海,EFHBC.

（1）當(dāng)網(wǎng)_L平面gZ）時(shí).求4的值：

4

（2）當(dāng)二面角￡-陽(yáng)-6的余弦值為三時(shí)，求PC與平面

⑶力所成角的正弦值.

效學(xué)信圖第3頁(yè)（共4頁(yè)）

17.(15分)2024年高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成.他選施卷題四

個(gè)選項(xiàng)，有且僅有一個(gè)選期正確，選對(duì)得5分，選錨得Q分，多選蓊每題四個(gè)逐項(xiàng).有

兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正醐，全部選對(duì)得6分，部分港對(duì)得3分，有錯(cuò)誤選擇或不選擇揖0分.

(I)已知某同學(xué)對(duì)其中4道單就堰完全設(shè)有答題思路,只能隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答，且

每版的解答相互獨(dú)立，記該同學(xué)在這4道單選題中答對(duì)的屈數(shù)為班機(jī)變疥尤

⑴求解3)：

(ii)求使御打*二身取最大位時(shí)的第數(shù)名

(2)若該同學(xué)在解答酸后一道多甚庖時(shí)，除確定員。選項(xiàng)不能同時(shí)選擇之外沒(méi)有答題思

路，只能隨機(jī)選擇若干選項(xiàng)作答,已知此題正確答奏是兩選項(xiàng)與三選項(xiàng)的概率均為:，

求該同學(xué)在答鹿過(guò)程中使得分期31最大的答題方式，并寫(xiě)出得分的殖大期里.

18.(17分)已知圓C過(guò)點(diǎn)P(4J),M(2,3)和N(2,-I),且磨SC與>，軸交于點(diǎn)尸.點(diǎn)尸是抱

物線“：V=2雙,>0)的優(yōu)點(diǎn).

(1)求圜C和拋物線后的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作比線/與拋物線交于不同的兩點(diǎn)/,B,過(guò)點(diǎn)4?8分別做拋物線E的切線,

兩條切線交于點(diǎn)Q，試剪斷直級(jí)QW與EIC的另一個(gè)交點(diǎn)。是否為定點(diǎn)，如果是，求

出Z)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由.

19.(17分)定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,B的坐標(biāo)分別為(叫，乂)，區(qū)，必)，那

么稱d(46)=卜］-、2|+|乂-必|為/，E兩點(diǎn)間的辿哈頓距那.

(1)已知點(diǎn)％,M分別在立線x-2尸0,2尸片0上，點(diǎn)M@2)與點(diǎn)MM的曼哈頓跑

離分別為4。/，％),d(M,N>.求或“NJ和或M，悠)的最小值：

⑵已知點(diǎn)m她直線/均+及+1=0/>0)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)”(02)與點(diǎn)N的曼哈頓更離

d(M,N)的坡小值記為/(A),求/也)的坡大位：

(3)已知點(diǎn)M(e\Ad),點(diǎn)N(m,?)(*,m,weR,e是自然時(shí)數(shù)的底)，當(dāng)Awl時(shí).

或KM的域大值為/(?“),求/(?小的最小值.

數(shù)學(xué)試琬第4頁(yè)(共4頁(yè))

2024年蘭州市高三診斷考試

數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一'選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.)

).D2.A3.C4.A5.B6.C7.B8.D

8.【解析】???/(x)是定義在R上的奇函數(shù)旦圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

???/(x+l)+/(x-l)=0J./(x+1)=-/(x-D=/(I)

???/(x+4)=/[l-(.v+3)]=-/(2+x)=-/(l-(x+D]==/(.v)

"(-1+x)=/(3+x)=/ll-(2+x)]=/(-l-x)

/(2+.t)=/(-2+.r)=-/(2--r)

因此函數(shù)的周期為4,且函數(shù)圖象關(guān)于x=1+2k(kwZ)和(2上,0)("eZ)對(duì)稱

可畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間[-2,2]內(nèi)的筒圖

則圖可知，在[-2,2]內(nèi)要滿足

/[ln(eo)]=/(I+Ino)>/(Ina),I'\

一//Iz：、

31iiX?/9k\*x

只需一5<卜4<5,即(「

再根據(jù)函數(shù)的周期性可知ci"(AwZ)，故選D.

二.多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部

選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得。分)

9.BCD10.AC11.BD

II.【解析】若記車輪運(yùn)動(dòng)時(shí)著地點(diǎn)為P,則，秒時(shí)4。尸=手，因此，/i=/(1)=l-cos￡(/W0),并

澗足/(/+4)=/(/)對(duì)于任意/20成立，在區(qū)間[4A,4A+2](AeN)上為增函數(shù)，在區(qū)間[2,4]內(nèi)圖象關(guān)

于點(diǎn)(3,1)對(duì)稱，/(7.5)=1-0?號(hào)=馬券，故選B,D.

三.填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.y=-13.--?14.第一空：分別取梭（7。及CC'的中點(diǎn)”、N,取線段“N上任意一點(diǎn)?

c14'

均可（2分），第二空：分）

14.【解析】第一空：因?yàn)辄c(diǎn)尸在側(cè)而CW'C'內(nèi)（包括邊界）且三極徘P-8即的體積與三極錐E-BE"的體.

枳相等，即在側(cè)面COD'C'內(nèi)確定一點(diǎn)P,使B7,平面8EF,又因?yàn)镋、尸分別為棱0少及CD的中點(diǎn)，故

分別取極及CC'的中點(diǎn)〃、N.埼錨B'M，BF,MN//EF.且交MN于點(diǎn)M,BF交EF千點(diǎn)F,1

所以平而"AW”平而詆，故當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)，點(diǎn)尸到平而際的距離與點(diǎn)8,到平而8即的距離相,

等,所以三枝徒尸-8EF的體枳與三棱徒用-詆的體積相等.

第二空：因?yàn)槎娼?T-/f8-C的大小為0,所以過(guò)C作CH_L48于H,過(guò)力作陽(yáng)/88',則4WC為二而

角/T-4B-C的平面向小易知04NB'8C=工.當(dāng)0取最大值時(shí)，即時(shí)，此

33

?￡/

時(shí)CB1/1B即底而48co為正方形，在獨(dú)CN中FC=2CN=2,Zfl'GV=y,所

以B'N=6,在Afl'UAf中"C=2CM=2,ZB'CM=^,B'M=由,又因?yàn)?/p>

MN=EF=A，所以AB'M/中，B'N=4i,A￡V=V2.B'M=j5,所以M'NM'c

為直角三加形，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段87長(zhǎng)度的取值范圍是［石,石］.

四，解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步哪）

15.【解析】（l）a,=C：“-（”+3）=g^（"eN）..................5分

⑵因?yàn)閿?shù)列㈤滿足：“{:二二二即?，2

又因?yàn)椋?2=1+1符合"+1當(dāng)”=1時(shí)的值，所以數(shù)列他}的通項(xiàng)公式為"="+K"eN'）.

16.【解析】（I）如圖所示：以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x軸，以/D

所在出線為》軸，以4尸所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則P（0,0,3）,

8（4,0,0）,C（4.5,0）

C

設(shè)E(x,y,z),tilBE=ABP,可得(x-4,y,z)=A(-4X)3),

則E(4-42Q3i),PB1底而AEFD可得PBL4E,PS=(4,0,-3),石=(4-4兒031),麗?石=0解

得義=更...........6分

25

⑴設(shè)平而￡4。的法向盤(pán)為"，荏=(4-440,32),AD=(03,0)

由”_L荏，nLAD,得卷二：)""z=O,令*=34得"=(3小0⑷1-4),

4

平面相。的法向質(zhì)為“I,則盟=(0,0,1),二面用E-/D-8的余弦值為1

則cos(m.?)=,/悶4=。解得4=工.............“分

。9解+16(2-1尸52

__|w?Pc\\2y/l

PC=(4,5,-3),X(3,O,T)若直線PC與平面疑ED所成角為。，WJsin0=l-|-J-=—L.

所以直線PC與平面癡。所成角的正弦但臀

15分

17.【解析】⑴⑴因?yàn)椤?，所?=3)=明沖嚕……3分

C拈)審'2CR(,T(滬,

畫(huà)因?yàn)椤感耐?*)■(產(chǎn)Ama

C沖審'2C：%)*+鏟,解得*4

所以I時(shí)，尸(X=A)很大.......7分

(2)由題知，8D選項(xiàng)不能同時(shí)選擇，該同學(xué)可以選擇年選,雙選和三選.

正確答案是兩選項(xiàng)的可能梢況為/B,AC,AD.BC.CD,每種情況出現(xiàn)的概率均;=；

正硼答案是三選項(xiàng)的可能情況為48C,ACD,每種情況出現(xiàn)的概率為:x；=：；

若該同學(xué)做出的鐵策是單選，則得分的期型如下：

￡(4)=3x—x3+2x-7x3=—E(fi)=2x—x3+lx-7x3=27分f

1045,10420

27分

E(O=3x\x3+2x；x31分,E(D)=2x-jtx3+lxlx3=-

20?

若該同學(xué)做出的決策是雙選，則得分的期耳!如下：

27分27

E(JB)=—x6+-x3--

1042020

127

27-分-X3=-

E(SC)=—x6+-x3=42-0

10420

若該同學(xué)做出的決策是三選，則得分的期望如下：

￡(45C)=；x6=；分，E(ZCD)=：X6=T分.

12

經(jīng)比較，該同學(xué)選擇單選/或單選C的得分期S1最大，最大值為學(xué)分.......15分

18.【解析】(1)例C過(guò)點(diǎn)P(4.1),A/(2,3)和N(2,-l),因此可以知道例心在直線y=1±,故可設(shè)圓心C(a,1).

又由于圈C過(guò)點(diǎn)尸(4』)，所以”=2,r=2.故例的方程為(x-2)2+(y-l)2=4,

可得點(diǎn)尸(0,1),因此，拋物線￡的方程為x2=4y........7分

(2)由條件可知，直線48的斜率必存在，不妨設(shè)為“，則直線48的方程為：y-l=%(x-4)即

y=kx-4k+l9

x2=4y

由’,二，得/-4去+16%-4=0，

y=kx-4k+l

其中A=16/一64^+16=16(公一4?+1)>0,鄴k<2-6或k>2+5

設(shè)力(x“M),B(x2,y2),過(guò)/,,，8點(diǎn)的拋物紋的切線的斜率分別為占，h，

則Xi+X2=4Ar,X)X2=16Ar-4,ki=/.k2=￡,

過(guò)4點(diǎn)的拋物線的切線方程為y-￡=Z(x-x。，即y=%x-K,

4224

同理，過(guò)8點(diǎn)的拋物線的切線方程為)，=2*-底

y3

=2Xx=x1+x2=2k

2,即Q(2A,4A—1),

由3

y=X),=必=4%-1

4

所以點(diǎn)。在直線y=2x-l上，而點(diǎn)M也在直線7=左一1上,

故直線0M與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)就是直線y=2x-l與圓C的交點(diǎn),

2

x=-

(3*5=4得5嚴(yán)x=2

tb'

7=3

y=2x-\V=一^

5

故直線2M與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn)（12,-：1）.......17分

19.【解析】（1）法一:

3

-Q*+2,x<0,

$+2,04x<4,則d(〃,N])N2,

d(M,NJ=|x|+R-2|=|x|+4x—2|=

1-2/24,

21

則當(dāng)A?N1時(shí)d(MM=N+直+：+小?桶后+六川用+M，叩八"LF+2

當(dāng)爐<1時(shí),d(MN)=W+%+/+￡+弟+卜+4+1+淚2性2+"+1|,/⑹=|2公+2%+1]

―r+—H2,4NI,

所以/(幻=，kk又因?yàn)楫?dāng)％N1時(shí)

|2公+2〃+”,0<A<l,

所以/(A)的最大值為5...............9分

法二：根據(jù)(I)直線x+A9+"+l=0伏>0)的斜率是__L

k1

當(dāng)-±vT,即0<%<1時(shí)，

如圖所示火