《數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)2版》第2章(1)課件

1、第二章 分離變量法1分離變量法的基本思想, 特點(diǎn)與關(guān)鍵步驟分離變量法的基本思想是,先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解, 然后根據(jù)疊加原理作出這些解的線性疊加, 最后由其余的定解條件確定待定系數(shù), 得到定解問題的解.分離變量法的特點(diǎn)是把偏微分方程化為常微分方程來處理,使問題化難為簡.分離變量法的關(guān)鍵步驟是求解本征值問題,即求解含有參量的齊次常微分方程的邊值問題.其邊界條件分別為齊次邊界條件、周期性邊界條件和自然邊界條件(有界性邊界條件)2 分離變量法適用于波動(dòng)問題、輸運(yùn)問題和穩(wěn)定場問題在特殊域矩形、長方形 (直角坐標(biāo)系) 圓、圓柱體 (柱坐標(biāo)系)圓球 (球坐標(biāo)系) 中的定解問題, 因?yàn)檫@

2、些特殊域正好常常在實(shí)際問題中出現(xiàn), 這是分離變量法有廣泛的應(yīng)用的原因.32.1.1 齊次方程及齊次邊界條件的定解問題首先通過實(shí)例說明用分離變量法解題的六個(gè)基本步驟.【例2.1.1】求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律.解 定解問題為1.分離變量令 u(x,t)X(x)T(t) (2.1.4)5將式 u(x,t)X(x)T(t) 代入泛定方程(2.1.1), 得由于上式右端與x無關(guān), 左端與t無關(guān), 而x與t又是互相獨(dú)立的變量, 因此上式只有等于常數(shù)才能成立。令常數(shù)為-l , 便得到兩個(gè)常微分方程X(x) + l X(x) 0 (2.1.5)T(t) + la2T(t) 0 (2.1.6)= -6將式(

3、2.1.4)代入邊界條件(2.1.2),可得u(0,t)X(0)T(t)0,u(l,t)X(l)T(t)0若T(t)0, 代入式(2.1.4)得u(x,t)0, 是平庸解,應(yīng)略去。由此得邊界條件X(0)0, X(l)0 (2.1.7)X(x) + l X(x) 0X(0)0, X(l)072.求解本征值問題式(2.1.5)及式(2.1.7)構(gòu)成了常微分方程的邊值問題這稱為本征值問題。可以證明, 只有當(dāng)l取某些特定值時(shí)才有非零解, 求解本征值問題就是求解本征值l與本征函數(shù)X(x).8(2) 若l 0, 這時(shí)方程成為X (x) 0, 它的通解為X(x) Ax+B由邊界條件X(0) X(l) 0,得

4、AB0, X(x)也無非零解.103. 求解T(t) 的常微分方程將本征值 代入式(2.1.6), 得到它的通解為式中Cn和Dn為任意常數(shù)12特解(2.1.11)一般不滿足初始條件(2.1.3), 實(shí)際上由式(2.1.11)可得這表明,除非j(x)和y(x)同時(shí)為sin(npx/l)的倍數(shù),否則任何一個(gè)特解不可能滿足題目給定的初始條件；14但考慮到方程(2.1.1)及邊界條件(2.1.2)都是齊次線性的, 因此將所有的特解線性疊加起來,如果級(jí)數(shù)收斂, u(x,t)仍然滿足方程(2.1.1)與邊界條件(2.1.2)；由此得而待定系數(shù)Cn和Dn可由初始條件來確定.15 5. 由初始條件確定系數(shù) 將

5、式(2.1.14)代入初始條件, 即有利用傅里葉正弦（奇函數(shù)）級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)有166.解的物理意義將Cn及Dn代入式(2.1.14)可得定解問題的解先看級(jí)數(shù)(2.1.14) 的每一項(xiàng)(即每一個(gè)特解)的物理意義17182.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題20【例2.1.2】 設(shè)長為l 的均勻桿，兩端絕熱, 桿內(nèi)初始溫度分布為j(x), 求桿內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律解 定解問題為21 同樣，將l的取值分三種情況討論(1) 若l 0, 這時(shí)方程X(x)+lX(x) 0的通解為由邊界條件X(0) X(l) 0,可得這是關(guān)于A,B的線性齊次方程組, 由于系數(shù)行列式不為零,故AB0.因此l 0時(shí), X(x)無非零

6、解.23(2) 若l 0, 這時(shí)方程成為X (x) 0, 它的通解為 X(x) Ax+B由邊界條件X (0) 0, 得A 0, 故X(x) B， X(l) 0因而對(duì)B沒有任何限制為方便起見，取B 1，并記作X0(x) 1 (2.1.28)B若取零，則得平庸解，不予考慮 若 l 0, X0(x) 1 24綜合式(2.1.28)及式(2.1.29)，本征值與本征函數(shù)為3. 求解T(t)的常微分方程將ln代入式(2.1.26)得(2.1.30)264. 作特解的線性疊加滿足方程及邊界條件的一系列特解為將特解線性疊加為這說明，經(jīng)過相當(dāng)長的時(shí)間，均勻桿各點(diǎn)的溫度均等于初始溫度的平均值 275. 由初始條

7、件確定系數(shù)將式(2.1.33)代入初始條件利用余弦函數(shù)的正交性，可得將式(2.1.34)及式(2.1.35)代入式(21.33)即得定解問題的解 28表11-1在本征函數(shù)展開法中有重要的作用 X(x) + l X(x) 030 這兩個(gè)例題可得出 X(x) + l X(x) 0 在不同的齊次邊界條件下的本征函數(shù)系(表2-1). 容易發(fā)現(xiàn)如下的規(guī)律: (1)若齊次邊界條件含X(0)0，則本征函數(shù)為正弦函數(shù)；若齊次邊界條件含X (0) 0，則本征函數(shù)為余弦函數(shù) (2)若邊界條件為同類齊次邊界條件(均為第一類或均為第二類)，則本征函數(shù)的宗量為 若邊界條件屬不同類齊次邊界條件，則本征函數(shù)的宗量為312.

8、4 非齊次方程 的求解問題32對(duì)非齊次方程的定解問題；由于滿足泛定方程和邊界條件的特解的線性組合，不可能滿足非齊次方程，因此分離變量法不能直接應(yīng)用。這里用本征函數(shù)展開法求解解題的方法通過下述例題說明。33【例3】求兩端固定弦的強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律解 本征函數(shù)展開法的基本步驟為(1) 確定相應(yīng)齊次問題的本征函數(shù)系本題相應(yīng)的齊次方程為 utt- a2uxx 0，分離變量后得到常微分方程X(x) + l X(x) 0分離變量后邊界條件為X(0) 0，X(l) 0.由表2-1可知本征函數(shù)為34 (2) 將u(x,t)及方程的非齊次項(xiàng)f(x,t)按本征函數(shù)系 展開顯然， u(x,t)自動(dòng)滿足邊界條件(2.1.

9、37)。由 的正交性可得35將式(11.1.39)代入式(11.1.38)得36 (3)將兩級(jí)數(shù)代入泛定方程 求展開系數(shù)Tn(t)就構(gòu)成了常微分方程的初值問題37由常數(shù)變易法可求得(11.1.47)將式(11.1.47)代入式(11.1.39)即為所求本征函數(shù)展開法是為求解非齊次方程的定解問題提出來的當(dāng)然也可用來求解齊次方程的定解問題，讀者可用本征函數(shù)展開法重解例11. 1. 1及例11. 1.2.382.5 具有非齊次邊界條件的問題39設(shè)定解問題為現(xiàn)在，采用“邊界條件齊次化”的方法求解，即把非齊次邊界條件的定解問題轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件的定解問題，再用本征函數(shù)展開法來求解，它的基本步驟為：40(

10、1)設(shè)解u(x,t) v(x,t)+w(x, t)，為了讓v(x, t)滿足齊次邊界條件，適當(dāng)選取w(x,t)，使它滿足u(x,t)的邊界條件w(0,t)u1(t)， w(l,t)u2(t) (11.1.51)既然w(x,t)要滿足式(11. 1. 51)的兩個(gè)方程，為了確定w(x,t) ，通常引入兩個(gè)待定函數(shù)A(t)和B(t).兩者最簡單的結(jié)合就是w(x,t) A(t)x + B(t) (11.1.52)將w(x,t)代入式(11.1.51)，求出A(t)和B(t)，得41 (2)求解v(x,t)的定解問題將 u v+w 代入式(11.1.48)、式(11.1.49)、式(11.1.50)可得利用本征函數(shù)展開法可求得v(x,t)，再由式(11.1. 53)即可求出u(x,t).42對(duì)于非齊次項(xiàng)比較簡單的題目，還可以讓w(x,t)同時(shí)滿足u(x,t)的方程和邊界條件，這樣v(x,t)的定解問題就可簡化為齊次方程及齊次邊界條件的問題了.43【例11.1.4】求定解問題解 (1) 設(shè)解 u(x,t) v(x,t) + w(x, t)，且wtt- a2wxx a2/5；w(0,t)0，w(l,t)l/5w(x, t)要滿足上述三個(gè)方程，不妨設(shè)w(x, t) f2x2 + f1x + f0 (含三個(gè)待定系數(shù))代入上式，求出 f2 , f1 , f0 ，可得44(2) v(x,t