數(shù)學(xué)物理方程5.1課件_第1頁
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文檔簡介

1、第五章 貝賽爾函數(shù)在第二章，我們用分離變量法求解了一些定解問題在2.3，我們將方程化為極坐標(biāo)系下的方程，經(jīng)過分離變量后，就會出現(xiàn)變系數(shù)的線性常微分方程。由于我們當(dāng)時(shí)考慮的是圓盤在穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布，所以，得到了歐拉方程。如果不是考慮穩(wěn)恒狀態(tài)而是考慮瞬時(shí)狀態(tài)，就會得到一種特殊類型的常微分方程。本章我們將通過在柱坐標(biāo)系中對定解問題進(jìn)行分離變量，引出貝賽爾方程，接著我們來討論它的解的一些性質(zhì)。下面將會看到：在一般情況下，貝賽爾方程的解不能用初等函數(shù)表出，這就導(dǎo)入一類特殊函數(shù)，稱為貝賽爾函數(shù)。貝賽爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)。在求解數(shù)學(xué)物理方程時(shí)主要用的是它的正交完備性。5.1 貝賽爾方程的引出(5. 1)

2、(5. 2)(5. 3)下面來求這個(gè)定解問題的解。用分離變量法。則代入方程(5.1)得令由此得(5. 4)(5. 5)(5. 4)解得(5. 5)(5.5)稱為亥姆霍茲(Helmholtz)方程。為了求出方程(5.5)滿足條件(5.6)的解,我們將方程(5.5)化為極坐標(biāo)系下的方程。條件(5.3),即(5. 6)(5. 7)(5. 8)用分離變量法則即(5.9)(5.10)是單值函數(shù)在極坐標(biāo)下，與表示同一點(diǎn)也是單值函數(shù)應(yīng)有即對應(yīng)于有以代入(5.10),得(5.11)(5.11)則有這是階貝賽爾方程的標(biāo)準(zhǔn)型。方程(5.11)變?yōu)樗慕夥Q為貝賽爾函數(shù)。這個(gè)方程是變系數(shù)的二階線性常微分方程,在描述柱形域（或圓形域）中發(fā)生的各種物理現(xiàn)象時(shí)，貝賽爾函數(shù)起著重要的作用，因此，也稱之為柱函數(shù).說明(5.8)(5.12)所以，原定解問題歸

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