高中數(shù)學必修二 第六章 6.2 6.2.1

1、6.2.1向量的加法運算知識點一向量的加法(1)向量加法的定義eq o(,sup4(01)求兩個向量和的運算，叫做向量的加法(2)向量加法的運算法則知識點二向量的三角形不等式對任意兩個向量a，b，均有|ab|eq o(,sup4(01)|a|b|.當a，b同向時有|ab|eq o(,sup4(02)|a|b|；當a，b反向時有|ab|eq o(,sup4(03)|a|b|.知識點三向量加法的運算律(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：abc(ab)ca(bc)1準確理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則(1)兩個法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩

2、個不共線的向量求和(2)當兩個向量不共線時，兩個法則是一致的如圖所示：eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AD,sup16()(平行四邊形法則)，又因為eq o(BC,sup16()eq o(AD,sup16()，所以eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()(三角形法則)(3)在使用三角形法則時，應注意“首尾連接”，這個方法可推廣到多個向量相加的情形；在使用平行四邊形法則時，應注意范圍的限制及和向量與兩向量起點相同2向量ab與非零向量a，b的模及方向的關(guān)系(1)當a與b不共線時，ab的方向與a，b的方向都不相同

3、，且|ab|a|b|.(2)當a與b同向時，ab，a，b的方向相同，且|ab|a|b|.(3)當a與b反向時，若|a|b|，則ab的方向與a的方向相同，且|ab|a|b|.若|a|b|，則ab的方向與b的方向相同，且|ab|b|a|.1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個向量相加結(jié)果可能是一個數(shù)量()(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加()(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線()答案(1)(2)(3)2做一做(1)對任意四邊形ABCD，下列式子中不等于eq o(BC,sup16()的是()A.eq o(BA,sup16()eq o(AC,sup16() B.eq

4、o(BD,sup16()eq o(DA,sup16()eq o(AC,sup16()C.eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16()eq o(DC,sup16() D.eq o(DC,sup16()eq o(BA,sup16()eq o(AD,sup16()(2)如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB1，則|eq o(AB,sup16()eq o(FE,sup16()eq o(CD,sup16()|等于()A1 B2C.eq r(3) D.eq r(5)(3)如圖所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量abc.答案(1)C(2)B(3)解：a，b，c不共線中隱含著a，b，c

5、均為非零向量，因為零向量與任一向量都是共線的利用三角形法則或平行四邊形法則作圖解法一(三角形法則)：如圖所示，作eq o(AB,sup16()a，eq o(BC,sup16()b，則eq o(AC,sup16()ab，再作eq o(CD,sup16()c，則eq o(AD,sup16()eq o(AC,sup16()eq o(CD,sup16()(ab)c，即eq o(AD,sup16()abc.解法二(平行四邊形法則)：因為a，b，c不共線，如圖所示在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OA,sup16()a，eq o(OB,sup16()b，以eq o(OA,sup16()，eq o(OB,su

6、p16()為鄰邊作OADB，則對角線eq o(OD,sup16()ab，再作eq o(OC,sup16()c，以eq o(OC,sup16()，eq o(OD,sup16()為鄰邊作OCED.則eq o(OE,sup16()abc.題型一 向量的三角形和平行四邊形法則例1如下圖中(1)，(2)所示，試作出向量a與b的和解如下圖中(1)，(2)所示，首先作eq o(OA,sup16()a，然后作eq o(AB,sup16()b，則eq o(OB,sup16()ab.(1)應用三角形法則求向量和的基本步驟平移向量使之“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合以第一個向量的起點為起點，并

7、以第二個向量的終點為終點的向量，即為兩個向量的和(2)應用平行四邊形法則求向量和的基本步驟平移兩個不共線的向量使之共起點以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形平行四邊形中，與兩向量共起點的對角線表示的向量為兩個向量的和(1)如圖，已知a，b，求作ab；(2)如圖所示，已知向量a，b，c，試作出向量abc.解(1)如圖，所示首先作eq o(AB,sup16()a，然后作eq o(BC,sup16()b，則eq o(AC,sup16()ab.(2)作法一：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq o(OA,sup16()a，接著作向量eq o(AB,sup16()b，則得向量eq o(OB,su

8、p16()ab；然后作向量eq o(BC,sup16()c，則向量eq o(OC,sup16()(ab)cabc即為所求作法二：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq o(OA,sup16()a，eq o(OB,sup16()b，eq o(OC,sup16()c，以O(shè)A，OB為鄰邊作OADB，連接OD，則eq o(OD,sup16()eq o(OA,sup16()eq o(OB,sup16()ab.再以O(shè)D，OC為鄰邊作ODEC，連接OE，則eq o(OE,sup16()eq o(OD,sup16()eq o(OC,sup16()abc即為所求. 題型二 向量的加法運算例2如圖，在AB

9、C中，O為重心，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點，化簡下列三式：(1)eq o(BC,sup16()eq o(CE,sup16()eq o(EA,sup16()；(2)eq o(OE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(EA,sup16()；(3)eq o(AB,sup16()eq o(FE,sup16()eq o(DC,sup16().解(1)eq o(BC,sup16()eq o(CE,sup16()eq o(EA,sup16()eq o(BE,sup16()eq o(EA,sup16()eq o(BA,sup16().(2)eq o(OE,sup16()eq o(

10、AB,sup16()eq o(EA,sup16()(eq o(OE,sup16()eq o(EA,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(OA,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(OB,sup16().(3)eq o(AB,sup16()eq o(FE,sup16()eq o(DC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16()eq o(DC,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(DC,sup16()eq o(AC,sup16().解決向量加法運算時應關(guān)注的兩點(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算(2)

11、要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.化簡或計算：(1)eq o(CD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()；(2)eq o(AB,sup16()eq o(DF,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(FA,sup16().解(1)eq o(CD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()(eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(AC,sup16()eq o(CD

12、,sup16()eq o(AD,sup16().(2)eq o(AB,sup16()eq o(DF,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(FA,sup16()(eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()(eq o(CD,sup16()eq o(DF,sup16()eq o(FA,sup16()eq o(AC,sup16()eq o(CF,sup16()eq o(FA,sup16()eq o(AF,sup16()eq o(FA,sup16()0.題型三 利用向量加法證明幾何問題例3已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且e

13、q o(AO,sup16()eq o(OC,sup16()，eq o(DO,sup16()eq o(OB,sup16().求證：四邊形ABCD是平行四邊形證明eq o(AB,sup16()eq o(AO,sup16()eq o(OB,sup16()，eq o(DC,sup16()eq o(DO,sup16()eq o(OC,sup16()，又eq o(AO,sup16()eq o(OC,sup16()，eq o(OB,sup16()eq o(DO,sup16()，eq o(AB,sup16()eq o(DC,sup16()，ABDC且ABDC，四邊形ABCD為平行四邊形怎樣用向量方法證明幾何問

14、題用向量方法證明幾何問題，首先要把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應的向量，通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系，然后再還原成幾何問題如圖所示，在平行四邊形ABCD的對角線BD的反向延長線及延長線上取點E，F(xiàn)，使BEDF，求證：四邊形AECF是平行四邊形證明eq o(AE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BE,sup16()，eq o(FC,sup16()eq o(FD,sup16()eq o(DC,sup16()，又eq o(AB,sup16()eq o(DC,sup16()，eq o(FD,sup16()eq o(BE,sup16()，eq o(AE,sup16()eq

15、o(FC,sup16()，即AE與FC平行且相等四邊形AECF是平行四邊形.題型四 向量加法的實際應用例4在水流速度為向東10 km/h的河中，如果要使船實際航行的速度的大小為10eq r(3) km/h，方向垂直于對岸渡河，求船行駛速度的大小與方向解如圖所示，eq o(OA,sup16()表示水速，eq o(OB,sup16()表示船實際航行的速度，eq o(OC,sup16()表示船速，由eq o(OB,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()，易知|eq o(BC,sup16()|eq o(OA,sup16()|10，又OBC90，所以|eq o(OC,

16、sup16()|20，所以BOC30，所以AOC120，即船行駛速度為20 km/h，方向與水流方向的夾角為120.應用向量解決平面幾何和物理學問題的基本步驟在某地抗震救災中，一救護車從A地按北偏東35的方向行駛800 km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55的方向行駛800 km送往C地醫(yī)院，求這輛救護車行駛的路程及兩次位移的和解如圖所示，設(shè)eq o(AB,sup16()，eq o(BC,sup16()分別表示救護車從A地按北偏東35方向行駛800 km，從B地按南偏東55的方向行駛800 km.則救護車行駛的路程指的是|eq o(AB,sup16()|eq o(BC,sup16(

17、)|；兩次行駛的位移的和指的是eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AC,sup16().依題意，有|eq o(AB,sup16()|eq o(BC,sup16()|8008001600(km)又35，55，ABC355590.所以|eq o(AC,sup16()|eq r(avs4al(|o(AB,sup16()|2|o(BC,sup16()|2)eq r(80028002)800eq r(2)(km)其中BAC45，所以方向為北偏東354580.從而救護車行駛的路程是1600 km，兩次行駛的位移和的大小為800eq r(2) km，方向為北偏東80.1下列

18、等式錯誤的是()Aa00aaB.eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AC,sup16()0C.eq o(AB,sup16()eq o(BA,sup16()0D.eq o(CA,sup16()eq o(AC,sup16()eq o(MN,sup16()eq o(NP,sup16()eq o(PM,sup16()答案B解析對于A，根據(jù)0加任何向量都等于原向量，且向量加法滿足交換律，所以A正確；對于B，根據(jù)向量的三角形加法運算可得eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AC,sup16()，故原式等于eq o(AC,sup16()eq

19、o(AC,sup16()0.故B錯誤；對于C，可知eq o(AB,sup16()與eq o(BA,sup16()共線且方向相反，所以eq o(AB,sup16()eq o(BA,sup16()0，所以C正確；對于D，可知eq o(MN,sup16()eq o(NP,sup16()eq o(PM,sup16()eq o(MP,sup16()eq o(PM,sup16()0，又eq o(CA,sup16()eq o(AC,sup16()0，可知D正確故選B.2設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)一點，且eq o(BC,sup16()eq o(BA,sup16()eq o(BP,sup16()eq o(BP,su

20、p16()，則()A.eq o(PA,sup16()eq o(PB,sup16()eq o(PC,sup16()0 B.eq o(PA,sup16()eq o(PB,sup16()0C.eq o(PC,sup16()eq o(PA,sup16()0 D.eq o(PB,sup16()eq o(PC,sup16()0答案C解析因為P是ABC所在平面內(nèi)一點，eq o(BC,sup16()eq o(BA,sup16()eq o(BP,sup16()eq o(BP,sup16()，所以P是AC的中點，所以eq o(PC,sup16()eq o(PA,sup16()0.3若a等于“向東走8 km”，b等于“向北走8 km”，則|ab|_，ab的方向是_答案8eq r(2) km北偏東45解析如圖所示，設(shè)eq o(AB,sup16()a，eq o(BC,sup16()b，則eq o(AC,sup16()ab，且ABC為等腰直角三角