2.2.2　反證法-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選修2-2

1、 2.2.2反證法新課標(biāo)人教版 選修2-2 第二章 推理與證明1、了解反證法是間接證明的一種基本方法；2、理解反證法的思考過程；3、會用反證法證明數(shù)學(xué)問題.推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明間接證明類比推理歸納推理 分析法 綜合法 反證法知識結(jié)構(gòu)思考：A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。誰在說謊？假設(shè)C沒有撒謊, 則C真. 那么A假且B假;由A假, 知B真. 這與B假矛盾.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.二、新課引入 運用了反證法思想.運用了什么論證思想？(1)定義 假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成

2、立,這樣的的證明方法叫反證法。三、反正法的定義 (2)反證法常見的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實矛盾等.反證法是間接證明的一種基本方法.用反證法證題的一般步驟是什么？(1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)論的反面成立。(2)歸謬從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)存真由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。假設(shè)結(jié)論反面成立正確推理導(dǎo)出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論類型一用反證法證明否定性命題例1、已知a，b，c，dR，且adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1.證明假設(shè)a2b2c2d2abcd1

3、.因為adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，則abcd0，這與已知條件adbc1矛盾，故假設(shè)不成立.所以a2b2c2d2abcd1.反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類型：結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法.(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟類型二用反證法證明“至多、至少”類問題例2、a，b，c(0,2)，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.反思與感悟應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反

4、設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜.這時，可用反證法證明，證明時常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n1個p或q非p且非q至多有n個至少有n1個p且q非p或非q變式1：已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點.證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3

5、cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證.類型三用反證法證明唯一性命題例3、求證：方程2x3有且只有一個根.證明2x3，xlog23.這說明方程2x3有根.下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的.假設(shè)方程2x3至少有兩個根b1，b2(b1b2)，則 3, 3，兩式相除得 1，b1b20，則b1b2，這與b1b2矛盾.假設(shè)不成立，從而原命題得證.反思與感

6、悟用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性.當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性.變式1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根.證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個實根，設(shè)，為其中的兩個實根.因為 ，不妨設(shè)，又因為函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()f().這與假設(shè)f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根.例4、如果兩個平面平行,在一

7、個平面內(nèi)的直線是否平行另一個平面.abl 在一個平面內(nèi)的直線一定平行另一個平面.如圖, 平面a/b, 直線 la.假設(shè) l 與 b 不平行,l 又不在 b 內(nèi),那么 l 必與 b 相交, 設(shè)交點為P,由于 la,則 Pa,于是 a 與 b 就有公共點P,P這與已知的 a/b 矛盾,所以假設(shè)是錯誤的.類型四用反證法證明定理(公理)用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。變式1：已知：如圖，在O中，弦 AB、CD交于點P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.證明：假設(shè)弦AB、CD被P平分，連結(jié) AD、BD、BC、AC, DPOBAC因為弦AB、CD被P點平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形所以因為 ABCD為圓內(nèi)接四邊形所以因此所以，對角線AB、CD均為直徑，這與已知條件矛盾，即假設(shè)不成立所以，弦AB、CD不被P平分。POBADC由于P點一定不是圓心O，連結(jié)OP，根據(jù)垂徑定理的推論，有所以，弦AB、CD不被P平分。證明：假設(shè)弦AB、CD被P平分，即過點P有兩條直線與OP都垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設(shè)不成立證法二OPAB，OPCD，變式2：已知直線 a, b 和平面 a, 如果 aa, ba,且 a/b, 求證 a/a.aab證明:因為 a/b,所以 a, b 確定一個平面,設(shè)為 b (如圖),因為 aa, ba,所