分類討論思想

1、分類討論思想1. 分類討論思想的概念。人們面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)無(wú)法通過(guò)統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問(wèn)題得到解決，這種解決問(wèn)題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實(shí)質(zhì)是把問(wèn)題“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”。其分類規(guī)則和解題步驟是：（1）根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）恰當(dāng)?shù)貙?duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，分類后的所有子項(xiàng)之間既不能“交叉”也不能“從屬”，而且所有子項(xiàng)的外延之和必須與被分類的對(duì)象的外延相等，通俗地說(shuō)就是要做到“既不重復(fù)又不遺漏”；（3）逐類逐級(jí)進(jìn)行討論；（4）綜合概括、歸納得出最后結(jié)論。分類討論既是解決問(wèn)題

2、的一般的思想方法，適應(yīng)于各種科學(xué)的研究；同時(shí)也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域解決問(wèn)題較常用的思想方法。2. 分類討論思想的重要意義。課程標(biāo)準(zhǔn)在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠有條理地思考，這種有條理性的思考就是一種有順序的、有層次的、全面的、有邏輯性的思考，分類討論就是具有這些特性的思考方法。因此，分類討論思想是培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考和良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一種重要而有效的方法。無(wú)論是解決純數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是解決聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題，都要注意數(shù)學(xué)原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下的不適用性，注意分類討論，從而做到全面地思考和解決問(wèn)題。從知識(shí)的角度而言，把知識(shí)從宏觀到微觀不斷地分類學(xué)習(xí)，既可以把握全局、又能夠由表及里、細(xì)致入微，

3、有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。分類討論思想與集合思想也有比較密切的聯(lián)系，知識(shí)的分類無(wú)時(shí)不滲透著集合的思想。另外，分類討論思想還是概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。3. 分類討論思想的具體應(yīng)用。分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有很多應(yīng)用，例如從宏觀的方面而言，小學(xué)數(shù)學(xué)可以分為數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率和實(shí)踐與綜合應(yīng)用四大領(lǐng)域。從比較具體的知識(shí)來(lái)說(shuō)，幾大領(lǐng)域的知識(shí)又有很多分支，例如小學(xué)數(shù)學(xué)中負(fù)數(shù)成為必學(xué)的內(nèi)容以后，小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)的認(rèn)識(shí)范圍實(shí)際上是在有理數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)又可以分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)，整數(shù)根據(jù)它的整除性又可以分為偶數(shù)和奇數(shù)。正整數(shù)又可以分為1、素

4、數(shù)和合數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用如下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例分類討論思想分類一年級(jí)上冊(cè)物體的分類，滲透分類思想、集合思想數(shù)的認(rèn)識(shí)數(shù)可以分為正數(shù)、負(fù)數(shù)有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)）整數(shù)的性質(zhì)整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)正整數(shù)可以分為1、素?cái)?shù)和合數(shù)圖形的認(rèn)識(shí)平面圖形中的多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形、六邊形三角形按角可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊可以分為；不等邊三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形四邊形按對(duì)邊是否平行可以分為：平行四邊形、梯形和兩組對(duì)邊都不平行的四邊形統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分類整理和描述排列組合分類討

5、論是小學(xué)生了解排列組合思想的基礎(chǔ)概率排列組合是概率計(jì)算的基礎(chǔ)植樹(shù)問(wèn)題先確定是幾排樹(shù)，再確定每排樹(shù)的情況：兩端都不栽、一端栽一端不栽、兩端都栽抽屜原理構(gòu)建抽屜實(shí)際上是應(yīng)用分類標(biāo)準(zhǔn)，把所有元素進(jìn)行分類4分類討論思想的教學(xué)。如前所述，分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有比較重要的地位，而且應(yīng)用比較廣泛。在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。第一，在分類單元的教學(xué)中，注意滲透分類思想和集合思想，一方面是一般物體的分類，如柜臺(tái)上的商品、文具等；另一方面要注意從數(shù)學(xué)的角度分類，如立體圖形、平面圖形、數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算等。同時(shí)注意滲透集合的思想，就是說(shuō)當(dāng)把某些屬性相同的物體放在一起，作為一個(gè)整體，就可以看作一個(gè)集合。第二，在三大領(lǐng)域

6、知識(shí)的教學(xué)中注意經(jīng)常性地滲透分類思想和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類、數(shù)的分類。第三，注意從數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的方法上滲透分類思想，如排列組合、概率的計(jì)算、抽屜原理等問(wèn)題經(jīng)常運(yùn)用分類討論思想解決。第四，在統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的教學(xué)中，滲透分類的思想。現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)豐富多彩，很多時(shí)候需要把收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類整理和描述，從而有利于分析數(shù)據(jù)和綜合地做出推斷。第五，注意讓學(xué)生體會(huì)分類的目的和作用，不要為了分類而分類。如對(duì)商品和物品的分類是為了便于管理和選購(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行分類，是為了更深入地研究問(wèn)題、理解知識(shí)、優(yōu)化解決問(wèn)題的方法。第六，注意有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用

7、性。也就是說(shuō)，有些數(shù)學(xué)規(guī)律在一般情況下成立，在特殊情況下不一定成立；而這種特殊性在小學(xué)數(shù)學(xué)里往往被忽略，長(zhǎng)此以往，容易造成學(xué)生思維的片面性。如在小學(xué)里經(jīng)常有爭(zhēng)議的判斷題：如果5a2b，那么a：b2：5；有人認(rèn)為是對(duì)的，有人認(rèn)為是錯(cuò)的。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這道題是錯(cuò)的，因?yàn)檫@里并沒(méi)有規(guī)定a和b不等于0。之所以產(chǎn)生分歧，是因?yàn)樵谛W(xué)數(shù)學(xué)里有一個(gè)不成文的約定：在討論整數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般情況下不包括0。這種約定是為了避免麻煩，有一定道理；但是這樣就造成了在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生分歧，而且不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，尤其是學(xué)生進(jìn)入初中后的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題不全面、忽略特殊情況而出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤。 案例1：下圖中共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？ 分析：此題可分類計(jì)數(shù)，分以下幾步：?jiǎn)我坏拈L(zhǎng)方形：339；由兩個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：橫數(shù)236，豎數(shù)236，6+6=12；由三個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：橫數(shù)133，豎數(shù)133，3+3=6；由四個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：4；由六個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：4；由九個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：1。共計(jì) 9+12+6+4+4+1=36（個(gè)）。案例2：任意給出4個(gè)兩兩不等的整數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明：其中必有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)。分析：任意一個(gè)整數(shù)除以3，余數(shù)只有三種可能