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1、第三講比例法比例是數(shù)量之間的對(duì)比關(guān)系,或指一種事物在整體中所占的分量,運(yùn)用比例法的目的是為了將繁瑣的數(shù)值簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)值來(lái)進(jìn)行分析,同時(shí)比例法的實(shí)則也是把握住了數(shù)學(xué)的核心 “相對(duì)關(guān)系”。比例問(wèn)題的重點(diǎn)在于找出兩種相關(guān)聯(lián)的量,并明確兩者間的比例關(guān)系。比和比例的性質(zhì):若 a:b=c:d;則(a+c):(b+d)=a:b=c:d;若 a:b=c:d;則(ac):(bd)=a:b=c:d;若 a:b=c:d;則(a+xc):(b+xd)=a:b=c:d(x 為常數(shù))若 a:b=c:d;則ad=bc(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積)正比例:如果 ab=k(k=常數(shù)),則稱 a、b 成正比;反比例:如果 ab=k(k
2、=常數(shù)),則稱 a、b 成反比;采用比例法的一個(gè)重要條件就是含有一個(gè)固定的乘除等式關(guān)系,即、所述的正、反比例,實(shí)際應(yīng)用中如路程=速度時(shí)間,總量=效率時(shí)間,溶劑=溶液濃度,利潤(rùn)=成本利潤(rùn)率。在使用比例法解題的過(guò)程中需特別注意:三個(gè)量中必須有一個(gè)量是固定的,這樣兩外兩個(gè)量才會(huì)有相對(duì)關(guān)系。例如:ab=k,當(dāng) K 固定,則 a 和 b 之間就是反比關(guān)系;當(dāng) a 固定時(shí),k 和b 之間就是正比關(guān)系,當(dāng) b 固定時(shí)k 和 a 也是正比關(guān)系。整體比例:albl=kl 和a2b2=k2,當(dāng) Kl=k2 時(shí),相當(dāng)于albl=a2b2,此時(shí) al:a2= b2:bl,為反比關(guān)系;當(dāng) al=a2 時(shí),kl: k2=
3、bl: b2,當(dāng) bl=b2 時(shí),kl: k2=al: a2。差值比例法:與前面所述的式原理相同,表達(dá)形式一般為 a:b=c:d;分?jǐn)?shù)表達(dá)式為 ab=cd,兩邊同時(shí)減去 l,得(a-b)b=( c-d)d,這里的則(a-b)和( c-d)就是差值比例法的基本表達(dá)形式。斜月沉沉幫大家搜集了一些生活中常見(jiàn)的比例關(guān)系:速度、路程與時(shí)間??倳r(shí)間、要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間。汽車行駛時(shí)每公里的耗油量、所行駛的距離和耗油總量。總產(chǎn)量、畝產(chǎn)量和播種面積。整除情況下的被除數(shù)、除數(shù)和商。同時(shí)同地,竿高和影長(zhǎng)。半徑一定,圓心角的度數(shù)和扇形面積。兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)速和齒數(shù)。體積、底面積和高。房間面積
4、、每塊地板磚的面積與用磚的塊數(shù)。一、常規(guī)比例法【斜月沉沉一題目一】某公司計(jì)劃采購(gòu)一批電腦,正好趕上促銷期,電腦打 9 折出售,同樣的A60可以比平時(shí)多買10 臺(tái)電腦。問(wèn)該公司的在平時(shí)能買多少臺(tái)電腦?【山東2012-52】B70C80】DD90【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:方程法,假設(shè)單價(jià)為 1,同樣原來(lái)可以買 X 臺(tái),現(xiàn)在可以買 X+10 臺(tái),可以列方程式X1=(X+10)0.9,解得 X=90。選 D1思路二:比例法,一定,單價(jià)比 10:9,數(shù)量反比 9:10,差值是 1 份,一份對(duì)應(yīng) 10臺(tái),則90。秒殺 D?!拘痹鲁脸烈活}目二】經(jīng)技術(shù)改進(jìn),開(kāi)往 AB 兩地的某列車的運(yùn)行速
5、度由 150 千米小時(shí)提升到了 250 千米小時(shí),行車時(shí)間因此縮短了 48 分鐘,則 AB 兩城間的距離為多少?【江蘇 2012C-26】A300 千米B291 千米C310 千米D320 千米【斜月沉沉一正確】A【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:方程法,假設(shè)原來(lái)用時(shí)X,改造后為 X0.8 小時(shí),列方程,150X=250( X0.8),解得 X=2 小時(shí),AB 路程=1502=300,選 D。思路二:比例法:原來(lái)現(xiàn)在速度比 150:250=3:5,時(shí)間比則為 5:3,兩份是 48 分鐘,則原來(lái)需要的時(shí)間為 524=120 分鐘=2 小時(shí)。AB 兩城間的距離=2150=300 千米。選A?!拘痹鲁脸?/p>
6、一題目三】一輛汽車從A 地開(kāi)到 B 地需要一個(gè)小時(shí),返回時(shí)速度為每小時(shí) 75 公里,比去時(shí)節(jié)約了 20 分鐘,問(wèn) AB 兩地相距多少公里?【2012-71】A30B50C60】BD75【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:返回時(shí)用時(shí) 6020=40 分鐘=2/3 小時(shí),路程=752/3=50,選 B。思路二:根據(jù)題意 A 地開(kāi)到 B 地需要一個(gè)小時(shí),返回需要 40 分鐘,時(shí)間比 60:40=3:2,速度比 2:3,3 對(duì)應(yīng) 75,則 2 對(duì)應(yīng) 50,AB 兩地相距 50 公里,選 B。【斜月沉沉一題目四】甲每分鐘走 80 米,乙每分鐘走 72 米,兩人同時(shí)從 A 地出發(fā)到B 地,乙比甲
7、多用 4 分鐘,AB 兩地的距離為多少米()?A. 320B.288C.1440D.2880【斜月沉沉一正確】D【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:方程法,假設(shè)甲用時(shí) X,乙為 X+4 分鐘,列方程,80 x=72 (X+4),解得 X=36 ,AB 路程=8036=2880,選 D。思路二:比例法:速度比 10:9,時(shí)間比 9:10,差值 1,1 對(duì)應(yīng) 4 分鐘,也就是速度 80 米分所需時(shí)間=49=36 分鐘,3680=2880,選擇 D?!拘痹鲁脸烈活}目五】甲乙丙三名羽毛球選手訓(xùn)練共用了 48 個(gè)羽毛球,其中甲比乙多用了4 個(gè),乙比丙多用了 4 個(gè),他們?nèi)齻€(gè)用的羽毛球數(shù)之比為()?A 5:4:
8、3B. 6:5:4C 4:3:2D 3:2:1【斜月沉沉一正確】A【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:設(shè)丙用羽毛球 X 個(gè),X+(X+4)+(X+4+4)=48,X=12,甲 20,乙 16,丙 12,比例為 5:4:3,選擇A。思路二:差值比例法。根據(jù)選項(xiàng),甲乙丙比例之間的差值為 1,而且甲乙丙之間的羽毛球數(shù)量差為 4,則很明顯比例中的l 對(duì)應(yīng)羽毛球數(shù)量為 4,羽毛球總 48 個(gè),1 對(duì)應(yīng) 4 個(gè),那么應(yīng)該是 12 份,結(jié)合選項(xiàng),秒殺 A?!拘痹鲁脸烈活}目六】同時(shí)2 年期、5 年期和 10 年種國(guó)債,投資額的比為 5:3:2。后又以與前次相同的投資總額全部額占兩次總投資額的比例是:5 年期國(guó)債,則
9、此人兩次對(duì) 5 年期國(guó)債的投資A. 3/5B.710C.3/4】DD.13/20【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】2 年期、5 年期、10 年期分別為 5,3,2,后又的 5 年期是 10,2總和是 20,5 年期占 3+10,因此所占比例 13/20,選D?!拘痹鲁脸烈活}目七】甲乙丙丁四個(gè)隊(duì)植樹(shù)造林,己知甲隊(duì)的植樹(shù)畝數(shù)是其余三隊(duì)植樹(shù)總畝數(shù)的的四分之一,乙隊(duì)的植樹(shù)畝數(shù)是其余三隊(duì)植樹(shù)總畝數(shù)的三分之一,丙隊(duì)的植樹(shù)畝數(shù)是其余三隊(duì)植樹(shù)總畝數(shù)的一半, 植樹(shù) 3900 畝。那么甲的植樹(shù)畝數(shù)是多少?A. 9000B.3600C.6000】BD.4500【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】甲是其余三隊(duì)植
10、樹(shù)總量的 14,則是四隊(duì)植樹(shù)總量的 15,同理乙是四隊(duì)植樹(shù)息量的 14,丙是四隊(duì)植樹(shù)總量的 13,則總量看作是 3,4,5 的最小公倍數(shù) 60,甲為 12,乙為 15,丙為 20,則13,13 對(duì)應(yīng) 3900,甲是 12,對(duì)應(yīng) 3600?!拘痹鲁脸烈活}目八】甲乙兩個(gè)工廠的平均技術(shù)比例為 45%,其中甲廠的人數(shù)比乙廠多 12. 5%,技術(shù)的人數(shù)比乙廠的多 25%,非技術(shù)有多少人?A. 680B.840C.960D.1020人數(shù)比乙廠多 6 人。甲乙兩廠共【斜月沉沉一正確】A【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:方程法,設(shè)乙工廠有 X 人,技術(shù)Y 人,列出方程,不細(xì)講。思路二:甲比乙多 12. 5%,也就
11、是甲比乙多 1/8,如果乙為 8 份,則甲為 9 份,甲乙和為 17份,是 17 倍數(shù),排除BC,將 A帶入題目驗(yàn)算一下,如果A 符合,那就是A,如果 A 不符合那就是 D,經(jīng)驗(yàn)證A 符合,因此選A。帶入 A680,甲乙分別為 360、320,總的技術(shù)員:68045%=306,甲乙技術(shù)員比 5:4,則甲乙技術(shù)員分別 170、136,非技術(shù)員分別 190、184,相差 6。滿足。選A?!拘痹鲁脸烈活}目九】某企業(yè)為全體員工定制工作服,請(qǐng)服裝公司的裁縫量體裁衣。裁縫每小時(shí)為 52 名男員工和 35 名女員工量尺寸。幾小時(shí)后,剛好量完所有女員工的尺寸,這時(shí)還有 24 名男員工沒(méi)量。若男員工與女員工的人
12、數(shù)比為 1 1:7,則該企業(yè)共有(東 2012-6】)名員工?!緩VA. 720B.810C.900D.1080【斜月沉沉一正確】A【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】 思路一:方程法,不贅述。思路二:尾數(shù)法。一小時(shí),測(cè)量的男女和為 52+35=87,N 小時(shí),總測(cè)量 87N。87N+24=選項(xiàng),看選項(xiàng)尾數(shù)均為 0,0-4 尾數(shù)得 6,7 乘以 8 尾數(shù)為 6,所以 N=8???cè)藬?shù) 878+24=720。思路三:比例法。男女比例為 11 比 7,如果每小時(shí)測(cè)量的男女比也為 11 比 7 的話,最后應(yīng)該是男女一起測(cè)量完成,不會(huì)有人剩下,但是現(xiàn)在剩下了,說(shuō)明按照 11 比 7 的比例,應(yīng)該每小時(shí)測(cè)量 55 人,與
13、 52 多 3,最后剩下 24 人,所以是測(cè)量 8 小時(shí),總 878+24=720。二、和、差比例法【斜月沉沉一題目一】步行的速度比跑步慢 50%,跑步的速度比騎車慢 50%。如果他騎車從A 城去B 城,再步行返回A 城共需要 2 小時(shí),問(wèn)鐘?!?011 年國(guó)考】跑步從A 城到 B 城需要多少分A 45B 48C 56D60【斜月沉沉一正確】B【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】步行速度 1,跑步速度 2,汽車速度 4?,F(xiàn)在騎車去,步行回,速度比 4 比 1,時(shí)間比 1 比 4,時(shí)間和 1+4=5,因此步行在整個(gè)時(shí)間中占比為 4/5,總時(shí)間 1203分鐘,所以步行時(shí)間為96 分鐘,而步行與跑步速度比1 比2
14、,那么時(shí)間比2 比1,所以選B.48?!拘痹鲁脸烈活}目二】對(duì)分?jǐn)?shù) 11/1000 進(jìn)行操作,每次分母加 15,分子加 7,問(wèn)至少經(jīng)過(guò)幾次這樣的操作能使得到的分?jǐn)?shù)不小于 1/5?【2014 年浙江省考】A. 46 次 B. 47 次 C. 48 次 D. 49 次【斜月沉沉-參考】C【斜月沉沉-】網(wǎng)上的方法很多,但是很繁瑣,用差值比例可以速解。原數(shù) 11/1000,每次分母增加 15,分子增加 7,1/5=200/1000,現(xiàn)在分子是 11,距離 200 差 20011=189,每次按“分母增加15,分子增加7”,在滿足不低于1/5 的前提下,實(shí)際上分子只增加了=7151/5=4,次數(shù)=1894
15、=47.25, 要求不小于 1/5,取整,次數(shù)=48 次,正確為 C。【斜月沉沉一題目三】某商品每件銷售毛利 5 元時(shí),能售 30 萬(wàn)件,毛利 15 元時(shí),能售 20萬(wàn)件,假設(shè)兩種情況的銷售收入比為 5:6,則每件商品的成本是多少元?【2014 年黑龍江省考】A.8B.10C.12.5D.7.5【斜月沉沉-參考【斜月沉沉-】D】方法一:銷售收入比=5 比 6,銷售數(shù)量比 3 比 2,則銷售單價(jià)比=5 比 9,差值 4,4 對(duì)應(yīng)(155)=10,則 5 對(duì)應(yīng) 12.5,即(X5)=12.5,X=7.5。方法二:毛利 15 時(shí)銷售收入是 6 倍數(shù),銷售收入=(毛利成本)銷量=(15成本)20 萬(wàn)件
16、,特殊因子 6 必然是(15成本)帶來(lái)的,則成本=6X15,該表達(dá)式是 3 倍數(shù),秒殺 D?!拘痹鲁脸烈活}目四】現(xiàn)有若干支鉛筆,若只平均分給一年級(jí)一班的,每名可以得到 15 支,若只平均分給該班的男生,每名男生可以得到 10 支?,F(xiàn)將這些鉛筆平均分給該班的所有同學(xué),則每名同學(xué)可以得到多少支鉛筆:【2015 年春季聯(lián)考陜西卷】A.4B.5C.6D.7 E.8】CF.9G.10H.11【斜月沉沉-參考【斜月沉沉-】方程法:設(shè)共有 30 支鉛筆。則人數(shù)=3015=2,男生人數(shù)=3010=3。平均分給班里所有同學(xué),每名同學(xué)到:305=6 支。故正確為 C。比例法:女男前后的人均數(shù)量比=15 比 10=
17、3 比 2;則女與數(shù)比=2 比 3,總?cè)藬?shù) 5;在女人數(shù) 2 時(shí),對(duì)應(yīng)人均 15,則總?cè)藬?shù) 5 時(shí),對(duì)應(yīng)人均=1525=6。三、恒值比例法恒值比例法,在研究比例問(wèn)題的時(shí)候,有一個(gè)量是恒定不變的,它在題干所述的情況下,從頭到尾都沒(méi)有發(fā)生變化,那么可以利用這樣的一個(gè)對(duì)象所代表的比例點(diǎn)來(lái)求解。一般情況下,這種恒量對(duì)象在不同的情況下代表的比例點(diǎn)不同,這個(gè)時(shí)候,需要學(xué)會(huì)把這些不同的比例點(diǎn)化為相同的數(shù)值來(lái)代替?!拘痹鲁脸烈活}目一】一個(gè)袋子里放著各種顏色的小球,其中紅球占四分之一,后來(lái)又往袋子里放了 10 個(gè)紅球,這時(shí)紅球占總數(shù)的三分之二,問(wèn)原來(lái)袋子里有多少小球?A8B.12C16D20】A【斜月沉沉一正確
18、【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:在放入紅球的過(guò)程中,另外顏色的小球數(shù)量是不發(fā)生任何變化的,也就是所謂的恒值。原來(lái)其他顏色的球與紅色球的比例是 3:1,后來(lái)放入 10 個(gè)紅球后,比例變成 1:2=3:6,6 與 1 之間的差值為 5,5 份對(duì)應(yīng) 10 個(gè)紅球,因此原來(lái)有紅球 1個(gè),其他顏色球 6 個(gè),總數(shù) 8 個(gè),選 A。思路二:加 10 是 3 倍數(shù),排除 BC,驗(yàn)證 A 是否正確,A 正確就選A,A 不正確就選D?!拘痹鲁脸烈活}目二】某引進(jìn) 4 名技術(shù)型后,非技術(shù)型在職工中的從 50%下降到 43.75%,問(wèn)該在引進(jìn) A.28B.32C.36D.44【斜月沉沉一正確】A之前有多少名職工?【20
19、14 年國(guó)考】【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】這個(gè)題目類似資料分析, 根據(jù)分小轉(zhuǎn)化, 確定 43.75%4=7/16,這個(gè)題目就做出了一半。在題目所述的變化過(guò)程中,有個(gè)不變量是非技術(shù)型,利用恒值比例法,如果把非技術(shù)型看做 7 份,原來(lái)總?cè)藬?shù) 14 份,后來(lái)總?cè)藬?shù) 16 份,增加了 2 份,2 份對(duì)應(yīng) 4 人,則原來(lái)總?cè)藬?shù) 14 份對(duì)應(yīng) 28 人。本題的為A 項(xiàng)?!拘痹鲁脸烈活}目三】某校六年級(jí)有甲,乙兩個(gè)班,甲班學(xué)生人數(shù)是乙班的 5/7,如果從乙班調(diào) 3 人到甲班,甲班人數(shù)是乙班的 4/5,則乙班原有學(xué)生多少人?A 49B63C72】BD84【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:這個(gè)題目的恒量是甲
20、乙兩個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù),發(fā)現(xiàn)題目所有的變動(dòng)只是活動(dòng)沒(méi)有外界的加入和整體的流失,所以總?cè)藬?shù)就是一個(gè)恒定量。開(kāi)始的時(shí)候,乙班人數(shù):總?cè)藬?shù)=7: 12,從乙班調(diào) 3 人進(jìn)入甲班則比例發(fā)生變化為,乙班人數(shù):總?cè)藬?shù)=5:9,總?cè)藬?shù)分別是 12 和 9 個(gè)比例點(diǎn),是不的,即每個(gè)比例值不相同了,所以首先進(jìn)行的就是比例值,12 和9 的最小公倍數(shù)是36,那么調(diào)動(dòng)前后的比例就可以表示為21: 36 和20: 36。發(fā)現(xiàn)乙班的人數(shù)少了一個(gè)比例點(diǎn),那么這 1 個(gè)比例點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的調(diào)出的 3 人,乙班對(duì)應(yīng)21 個(gè)比例點(diǎn),因此乙班人數(shù)是 321=63 人。思路二:秒殺。減去 3 是 5 倍數(shù),秒?!拘痹鲁脸烈活}目四】有銀銅合
21、金 10 公斤,加入銅后,其中含銀 2 份,含銅 3 份。如加入的銅增加 1 倍,那么銀占 3 份,銅占 7 份,試問(wèn)初次加入的銅是多少公斤?A3B4C5D6】C【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】思路一:整個(gè)過(guò)程中,銀的質(zhì)量是不變的。第一次加入銅后,銀與銅比值為 2 比 3; 第二次加入銅后,銀與銅比值為 3 比 7;將銀的比值為 6,則第一次加入銅后,銀銅比為 6 比 9,第二次加入銅后,銀銅比為 6比 14,14 與 9 的差值是 5,也就是第二次加入銅的質(zhì)量等于 5 份,結(jié)合選項(xiàng)可以迅速選出C。如果要具體求值再繼續(xù)思考。2 次增加的銅是一樣多,那么回歸到 10 公斤的時(shí)候,銅應(yīng)該是
22、95=4 份,銀與銅的和是 4+6=10 份,10 份對(duì)應(yīng) 10 千克,因此 5 份對(duì)應(yīng) 5 千克。思路二:10+是 5 倍數(shù),秒殺C.5。【斜月沉沉一題目五】年初,甲、乙兩種產(chǎn)品的價(jià)是 3:5,年末,由于成本上漲,兩種產(chǎn)品的價(jià)格都上漲了9 元,價(jià)變成了 2:3,則年初時(shí)乙的價(jià)甲高出多少元。【2014年 A.9市考】 B.18C.27D.36【斜月沉沉-參考】B【斜月沉沉-】思路一:代入法:原來(lái)價(jià)格分別為 3X 和 5X,差值=2X,是偶數(shù),排除AC選項(xiàng),BD 選項(xiàng)二選一,帶入一個(gè)驗(yàn)證正確的話就選,否則選另外一個(gè),驗(yàn)證后 B 選項(xiàng) 18 符合,過(guò)程略。本題正確為 B 選項(xiàng)。思路二:方程法。原來(lái)
23、價(jià)格分別為 3X 和 5X,后來(lái)價(jià)格:(3X9)和(5X9),兩者比值關(guān)系=2 比 3,有方程:(3X9)比(5X9)=2 比 3,解得 X=9,原來(lái)差值 2X=18。本題正確答案為 B 選項(xiàng)。思路三:比例法。和 2012 年省考量衣服的題目點(diǎn)一致。原來(lái)價(jià)格分別為 3X 和 5X,如果增加部分也按照 3:5 增加,則最終價(jià)格仍是 3:5,此時(shí)甲增加了 9 元,滿足 3:5 的話,乙需要增加 15 元,而實(shí)際只增加 9 元,差值 6 元。這里把甲的價(jià)格起來(lái),最初價(jià):6:10,后來(lái)價(jià)6:9,差值 1,1 對(duì)應(yīng) 6 元,則 9 對(duì)應(yīng) 54 元,54 是增加了 9 之后的價(jià)格,增加 9 之前是 45,
24、45 對(duì)應(yīng) 5,原來(lái)乙比甲多的價(jià)格為 2 份,2 份對(duì)應(yīng) 18。本題正確為 B 選項(xiàng)。5思路四:差值比例。各自增加9 元后,甲乙之間的價(jià)格差值不變,將這個(gè)差值看做2 份(53),則第二次需要份對(duì)應(yīng) 18 元。為 4 比 6。34,增加 1 份,5增加 1 份,則 1 份對(duì)應(yīng) 9 元,原來(lái)差值 2【斜月沉沉一題目六】甲乙兩個(gè)的員工都不到 20 人,如果從甲調(diào)到乙若干人,則甲的人數(shù)是乙的人數(shù)的 2 倍;如果乙調(diào)到甲相同的人數(shù),則甲的人數(shù)就是乙的 3 倍,則原來(lái)甲有多少人?【2015 年黑龍江】 D.19】BA.16B.17C.18【斜月沉沉-參考【斜月沉沉-】總?cè)藬?shù)第一次是 3 倍數(shù),第二次是 4
25、 倍數(shù),說(shuō)明總?cè)藬?shù)是 12 倍數(shù),看作12X。則第一次分配完之后,甲、乙人數(shù)分別為 8X、4X;第人次分配完之后,甲、乙人數(shù)分別為 9X、3X;中間調(diào)動(dòng)的人數(shù)=(4X3X)2=0.5X,則甲最初人數(shù) 8.5X,選個(gè) 8.5 倍數(shù)的,直接秒。工程比例工程問(wèn)題是的熱點(diǎn)題型之一,在公頻頻出現(xiàn),足以顯示其在中重要地位,與行程問(wèn)題,排列組合并稱為公考數(shù)量關(guān)系三大問(wèn)題。一、工程問(wèn)題本質(zhì):工程問(wèn)題,是將一般的工作問(wèn)題分?jǐn)?shù)化,換句話說(shuō)就是研究工作總量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系問(wèn)題。二、常用數(shù)量關(guān)系式為:工作總量=工作效率工作時(shí)間工作效率=工作總量工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量工作效率三、解決工程問(wèn)題的兩大
26、利器 1、比例法:2、特值法,其中需要注意的是,很多機(jī)構(gòu)和老師“設(shè) 1 法”,即將工程總量設(shè)為 1,斜月老師認(rèn)為不妥,因?yàn)楣こ炭偭繛?1,那個(gè)人工作效率、時(shí)間必然出現(xiàn)分?jǐn)?shù),大家也知道,在運(yùn)算過(guò)程中,計(jì)算分?jǐn)?shù)是耗時(shí)耗力的,所以工程總量應(yīng)根據(jù)題干要求,求時(shí)間和效率的最小公倍數(shù),轉(zhuǎn)化為整數(shù)進(jìn)行計(jì)算。3、簡(jiǎn)言之:用比例不用方程,用份數(shù)不用分?jǐn)?shù)。四、題型分類主要包括:?jiǎn)稳送瓿晒こ虇?wèn)題全程合作問(wèn)題分階段工程問(wèn)題輪流合作型水管問(wèn)題時(shí)間效率比例轉(zhuǎn)化【斜月沉沉一題目一】甲、乙、丙三個(gè)工廠承接 A 和 B 兩批完全相同的加工訂單,如果甲廠和乙廠負(fù)責(zé)A 訂單而丙廠負(fù)責(zé)B 訂單,則丙廠要比甲廠和乙廠晚 15 天完成;
27、如在上述條件下甲廠分配 1/3 的生產(chǎn)資源或者乙廠分配 1/5 的生產(chǎn)資源用于 B 訂單的生產(chǎn),則A、B 兩個(gè)訂單同時(shí)完成。問(wèn)如果合并三個(gè)工廠的生產(chǎn)能力,第幾天可以完成 A 訂單的生產(chǎn)任務(wù)?【2014 年省考】C.25A. 22B. 24D.26【斜月沉沉-參考】D【斜月沉沉-】根據(jù)“甲廠分配 1/3 的生產(chǎn)資源或者乙廠分配 1/5 的生產(chǎn)資源用于B 訂單6的生產(chǎn),則 A、B 兩個(gè)訂單同時(shí)完成”,則甲的 1/3=乙的 1/5,說(shuō)明甲乙的生產(chǎn)能力比=3 比 5,分割之后甲乙和=7,丙得到 1 之后=7,說(shuō)明丙能力為 6。第一條件下,甲乙和與丙的效率比=8 比 6,時(shí)間比 6 比 8,差值 2,2
28、 對(duì)應(yīng) 15 天,則工程總量=81562=360,第三種條件下時(shí)間=360(86)=25.726 天?!拘痹鲁脸烈活}目二】早上 7 點(diǎn)兩組農(nóng)民開(kāi)始在麥田里收割,其中甲組 20 人,乙組 15人。8 點(diǎn)半,甲組分出 10 人捆組捆;如果乙組農(nóng)民一直在割;10 點(diǎn),甲組將本組所有已割的捆好后,全部幫乙,且假設(shè)每個(gè)農(nóng)民的工作效率相同,則乙組捆好所有已割的時(shí)間是:【2013 年春季聯(lián)考】A.10:45B.11:00C.11:15D.11:30【斜月沉沉一正確】B投入的人力=201.5101.5=45(人小時(shí)),【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】先看甲組,割捆投入的人力=101.5=15(人小時(shí)),說(shuō)明一個(gè)人割與捆
29、的效率比=1 比 3;從 7 點(diǎn) 10 點(diǎn),乙組割投入的人力=153=45(人小時(shí)),后來(lái)割與捆的人數(shù)比=3 比 4,效率比=1 比 4,差值 3,3 對(duì)應(yīng) 45,則 4 對(duì)應(yīng) 60,T=60203=1,則完成時(shí)間=11 點(diǎn),選 B?!拘痹鲁脸烈活}目三】加工一批零件,原計(jì)劃每天加工 15 個(gè),若干天可以完成。當(dāng)完成加工任務(wù)的 60%時(shí),采用新技術(shù),效率提高 20%。結(jié)果,完成任務(wù)的時(shí)間提前 10 天,這批零件共有幾個(gè)?()A. 1500B.2250C.1800】BD.2700【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】考慮后半段工作,即剩下 40%,效率提高 20%,效率比 5:6時(shí)間比 6:5,減
30、少一份,一份對(duì)應(yīng)是 10 天。那么原來(lái) 6 份對(duì)應(yīng)的 60 天。整個(gè)工作需要 6040%=150 天??偭慵?15150=2250,選B?!拘痹鲁脸烈活}目四】2 臺(tái)大型收割機(jī)和 4 臺(tái)小型收割機(jī)在一天內(nèi)可收完全部小麥的 3/10, 8 臺(tái)大型收割機(jī)和 10 臺(tái)小型收割機(jī)在一天內(nèi)可收完全部小麥。如果單獨(dú)用大型收割機(jī)和單獨(dú)用小型收割機(jī)進(jìn)行比較。要在一天內(nèi)收完小麥,小型收割機(jī)要比大型收割機(jī)多用多少臺(tái)?【2013 年山東】A.8B.10C.18D.20【斜月沉沉一正確】C【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】差值比例的典型應(yīng)用,工程總量看做“100 份”,切記斜月沉沉老師提醒的“工程問(wèn)題設(shè)份數(shù),不要設(shè) 1”。第一次的
31、大小設(shè)備乘以 4,變成 8 大16 小=120,第二次是:8 大10 小=100,則小的效率為 10/3,求出大的效率=25/3,大小效率比 5 比 2,完成同樣的工程需要的設(shè)備數(shù) 2 比 5,差值 3,直接根據(jù)選項(xiàng),秒個(gè) 3 倍數(shù),C?!拘痹鲁脸烈活}目五】有A 和B 兩個(gè)公司向承包某項(xiàng)工程。A 公司需要 300 天才能完工,費(fèi)用為 1.5 萬(wàn)元/天。B 公司需要 200 天就能完工,費(fèi)用為 3 萬(wàn)元/天,綜合考慮時(shí)間和費(fèi)用等問(wèn)題,在 A 公司開(kāi)工 50 天后,B 公司才加入工程。按以上方案,該項(xiàng)工程的費(fèi)用為多少?【2015 年春季聯(lián)考】A.475 萬(wàn)元B.500 萬(wàn)元 C.525 萬(wàn)元D.6
32、15 萬(wàn)元【斜月沉沉-參考【斜月沉沉-】C】普通方法:工程總量=600,A 效率 2,B 效率 3,則 A50 天做 100,余下500,A 與B 效率和=5,合作需要 100 天,工作費(fèi)用=1501.51003=525。秒殺方法:根據(jù)普通方法得到 1501.51003,很明顯這個(gè)式子是3 倍數(shù),排除 AB 選項(xiàng),又根據(jù)題意總花費(fèi)在(3001.5)=450 與(2003)=600 之間,再排除 D 選項(xiàng)?!拘痹鲁脸烈活}目六】A、B、C 三輛卡車一起現(xiàn)三輛卡車一起執(zhí)行該種貨物共 40 集裝箱的1 次,正好能運(yùn)完一集裝箱的某種貨物。任務(wù),A 運(yùn) 7 次、B 運(yùn) 5 次、C 運(yùn) 4 次,7正好運(yùn)完
33、5 集裝箱的量。此時(shí) C 車休息,而 A、B 車各運(yùn)了 21 次,又完成了 12 集裝箱的量。問(wèn)如果此后換成 A、C 兩車同時(shí),至少還需要各運(yùn)多少次才能運(yùn)完剩余的該種貨物?【2013 年】A.30B.32C.34D.36【斜月沉沉一正確】D【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】根據(jù)“A、B、C 三輛卡車一起1 次,正好能運(yùn)完一集裝箱的某種貨物”可以推得:A、B、C 三輛卡車一起5 次,正好能運(yùn)完一集裝箱的某種貨物。又知“A 運(yùn) 7 次、B 運(yùn) 5 次、C 運(yùn) 4 次,正好運(yùn)完 5 集裝箱的量?!?,說(shuō)明 A 多運(yùn) 2 次等于C少運(yùn) 1 次的量,說(shuō)明 A 效率為 1,C 效率為 2。設(shè) B 效率為 X,則:1X2
34、=1 集裝箱,2121X=12 集裝箱,兩式聯(lián)立,消去集裝箱,得X=5/3,1 集裝箱貨物=14/3。則 40 集裝箱貨物已經(jīng)完成17 箱,剩下23 箱=14/323,A、C 效率和=3,所需次數(shù)=14/323335.78,取整=36,選擇 D 選項(xiàng)?!拘痹鲁脸烈活}目七】由于汛期暴雨某路段發(fā)生塌陷,要進(jìn)行搶修,需在規(guī)定日期內(nèi)完成,如果由甲工程隊(duì)修,恰好按期完成;如果由乙工程隊(duì)修,則要超過(guò)規(guī)定日期 3 天。如果兩個(gè)工程隊(duì)合作了 2 天,余下的部分由乙工程隊(duì)單獨(dú)做,正好在規(guī)定日期內(nèi)完成。則規(guī)定日期的天數(shù)是:【2015 年】A.4B.5 C.6D.7【斜月沉沉-參考】C【斜月沉沉-】方法一:乙單獨(dú)完
35、成“要超過(guò)規(guī)定日期 3 天”,如果甲幫忙做 2 天,乙“正好在規(guī)定日期內(nèi)完成”,甲 2 天的的工作量等于乙 3 天的工作量,甲工作效率看做3,乙工作效率看做 2,則:3T=322T,T=6,故正確為 C。方法二:乙單獨(dú)完成“要超過(guò)規(guī)定日期 3 天”,如果甲幫忙做 2 天,乙“正好在規(guī)定日期內(nèi)完成”,甲 2 天的的工作量等于乙 3 天的工作量,甲乙效率比 3 比 2 ,做同樣的工作所需的時(shí)間比=2 比 3,時(shí)間差值 1,1 對(duì)應(yīng) 3 天,則 2 對(duì)應(yīng) 6 天。故正確為 C?!拘痹鲁脸烈活}目八】有兩箱數(shù)量相同的文件需要整理。單獨(dú)整理一箱文件要用 4.5小時(shí),小錢要用 9 小時(shí),要用 3 小時(shí)。和一
36、起整理第一箱文件,小錢同時(shí)開(kāi)始整理第二箱文件。一段時(shí)間后,又轉(zhuǎn)去和小錢一起整理第二箱文件,最后兩箱文件同時(shí)整理完畢。則和、小錢一起整理文件的時(shí)間分別是( )?!?015 年】A.1 小時(shí),2 小時(shí)B.1.5 小時(shí),1.5 小時(shí) C.2 小時(shí),1 小時(shí) D.1.2 小時(shí),1.8 小時(shí)【斜月沉沉-參考【斜月沉沉-】A】工程總量設(shè)為 18,則、小錢、的效率分別為 4、2、6,三人同時(shí)工作,整理兩箱所需時(shí)間=18(213)=3,的工作量為 6,剩余 3 由做;小錢的工作量為 3,剩余 6 由做。所以在兩邊的工作量之比為 1:2,時(shí)間比也是 1:2。故正確為 A?!拘痹鲁脸烈活}目九】甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)
37、的效率比為 6:5:4,現(xiàn)將 A、B 兩項(xiàng)工作量相同的工程交給這三個(gè)工程隊(duì),甲隊(duì)負(fù)責(zé) A 工程,乙隊(duì)負(fù)責(zé) B 工程,丙隊(duì)參與A 工程若干天后轉(zhuǎn)而參與B 工程。兩項(xiàng)工程同時(shí)開(kāi)工,耗時(shí) 16 天同時(shí)結(jié)束,問(wèn)丙隊(duì)在A 工程中參與施工多少天?【國(guó)考 2011-67】A6B7C8D9】A【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】 思路一:方程法,不解釋。思路二:整體+賦值法:假設(shè)甲乙丙三隊(duì)效率分別為 6、5、4,三者工作天數(shù)相同,將兩工程看做整體;則有(6+5+4) 16=240,于是 A 的工作量為 120,其中甲完成 616=96,剩下12096=24 由丙完成,則丙在A 工程施工天數(shù)=244=6,為A
38、。8思路三:比例法,效率比看做份數(shù),甲比乙每天多一份,16 天多 16 份,丙完成這 16 份需要 4 天,因此丙在A 工程比B 工程少工作 4 天,丙在A 工程施工時(shí)間=(164)2=6?!拘痹鲁脸烈活}目十】某工廠接了一批訂單,要生產(chǎn) 2400 件產(chǎn)品。在開(kāi)始生產(chǎn) 10 天后,由于工藝改進(jìn)每天多生產(chǎn) 30 件產(chǎn)品,結(jié)果提前 2 天交貨,問(wèn)該廠沒(méi)有改進(jìn)工藝前,每天能生產(chǎn)多少件產(chǎn)品:【2015 年山西】A.100B.120C.150D.180【斜月沉沉-參考【斜月沉沉-】B】方法一:設(shè)沒(méi)有改進(jìn)工藝前,每天生產(chǎn) N 件,則:10(N30)(2400/N102)=2400,解得:N=120。故正確為
39、B。方法二:設(shè)中間效率變化的時(shí)間段=X 天,則 30X=22400/(10X2),解得:X=8,則原來(lái)效率=2400/(1082)=120。方法三:總工作量是 2400,則每天加工的數(shù)量是 2400 的約數(shù),排除 D 選項(xiàng)(2400 不能整除 18)。中間效率變化的天數(shù)為 X,則與原計(jì)劃相比較多生產(chǎn)的數(shù)量=30X=2 天的原計(jì)劃產(chǎn)量,則原計(jì)劃產(chǎn)量能整除 3,排除 A 選項(xiàng)。此時(shí)可以擇一代入,如不想代入,也可以這樣做,如果是C 選項(xiàng)的話,則增加 30 后的效率是 180,又含有了 9 因子,用排除D 選項(xiàng)的方法亦可排除。綜合選B 選項(xiàng)?!拘痹鲁脸烈活}目十一】一條隧道,甲用 20 天的時(shí)間可以挖完
40、,乙用 10 天的時(shí)間可以挖完,現(xiàn)在按照甲挖一天,乙再甲挖一天,然后甲再需要多少天?乙挖一天如此循環(huán),挖完整個(gè)隧道A14B16C15】AD13【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】設(shè)總工程量 20,甲效率 1,乙效率 2,按甲乙一組為一個(gè)循環(huán),效率和 3,總 20,20 除以 3=6 余 2,剩下的 2,甲做 1 天,乙做 0.5 天,算整天,因此總時(shí)間 62+2=14,選 A?!拘痹鲁脸烈活}目十二】某項(xiàng)工程,甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要 30 天完成,乙施工隊(duì)單獨(dú)施工需要 25 天完成,甲隊(duì)單獨(dú)施工了 4 天后改由兩隊(duì)一起施工,期間甲隊(duì)休息了若干天,最后整個(gè)工程共耗時(shí) 19 天完成,問(wèn)甲隊(duì)中途休息了
41、幾天?【2015 年黑龍江】A.1B.3C.5 D.7【斜月沉沉-參考】D【斜月沉沉-】思路一:工程總量=150,甲效率=5,乙效率=6。甲單獨(dú)施工了 4 天,剩余工作量15045130。乙工作的天數(shù)=19415,乙的施工量=61590,留給甲的工作量=1309040,甲完成需要的天數(shù)=4058。甲中途休息的天數(shù)=1587。故正確為 D。思路二:工程總量=150,甲效率=5,乙效率=6。假設(shè) 19 天甲乙都在施工,完成的工作總量=19(56)=209,比總工程量多出的部分=209150=59;其中最開(kāi)始的 4 天乙少完成的工作量=46=24,則余下的多出部分=5924=35 需要通過(guò)甲通過(guò)休息
42、來(lái)對(duì)沖,甲需要休息的天數(shù)=355=7。【斜月沉沉一題目十三】某工程由、兩人合作剛好可在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成。如果小張的工作效率提高 20%,那么兩人只需用規(guī)定時(shí)間的 9/10 就可完成工程;如果效率降低 25%,那么兩人就需延遲 2.5 小時(shí)完成工程。規(guī)定的時(shí)間是的工作A. 20 小時(shí)B24 小時(shí)C26 小時(shí)D. 30 小時(shí)【斜月沉沉一正確】A工作效率提高后,完成工程為規(guī)定時(shí)間的 9/10,可知前后時(shí)間【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】比 10:9,效率和成反比為 9:10,這個(gè)差值 1 是的工作效率提高 20%造成的,所以效率為 5,效率為 4,;后來(lái)如果的工作效率降低25%,即變?yōu)?3,效率和為 53=8,9效率比 9:8,時(shí)間成反比為 8:9,時(shí)間增加一份,為 2.5 小時(shí),原來(lái)需要 2.58=20 小時(shí),為A?!拘痹鲁脸烈活}目十四】同時(shí)打開(kāi)游泳池的AB 兩個(gè)水管,加滿水需 1 小時(shí) 30 分鐘,且 A B 管多進(jìn)水 180 立方米。若單獨(dú)打開(kāi)A 管,加滿水需要 2 小時(shí) 40 分鐘。則 B 管每分鐘進(jìn)水多少立方米?【國(guó)考 2011-77】A6B7C8D9】B【斜月沉沉一正確【斜月沉沉一思路點(diǎn)撥】由題意知A 比B 每分鐘多進(jìn)水 1809
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