初二第一講動(dòng)態(tài)幾何教案

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載動(dòng)態(tài)幾何問題一、動(dòng)態(tài)幾何問題涉及的幾種情形動(dòng)態(tài)幾何問題就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言,有：1、點(diǎn)動(dòng)（有單動(dòng)點(diǎn)型、多動(dòng)點(diǎn)型）. 2、線動(dòng)（主要有線平移型、旋轉(zhuǎn)型）；線動(dòng)實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)動(dòng),即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng),進(jìn)而仍會(huì)產(chǎn)生形動(dòng),因而線動(dòng)型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問題來求解 . 3、形動(dòng)（就其運(yùn)動(dòng)形式而言,有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)）二、解決動(dòng)態(tài)幾何問題的基本摸索策略與分析方法：動(dòng)態(tài)型問題綜合了代數(shù)、幾何中較多的學(xué)問點(diǎn),解答時(shí)要特殊留意以下七點(diǎn): 1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程；2、摸索運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系,以及可求出的幾何量；3、動(dòng)中取靜： （最重要的一點(diǎn)）要善于在“ 動(dòng)” 中取“ 靜”（讓圖

2、形和各個(gè)幾何量都“ 靜” 下來）,抓住變化中的“ 不變量”和不變關(guān)系為“ 向?qū)А?求出相關(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量 ; 4、找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、相像三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān) 系,找出基本的等量關(guān)系式 ; 5、列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型；某些幾何元素的變化會(huì)帶來其它幾何量的變化,所以在求變量之間的關(guān)系時(shí),通常建立函數(shù) 模型或不等式模型求解；在解決有關(guān)特殊點(diǎn)、特殊值、特殊位置關(guān)系問題經(jīng)常結(jié)合圖形建立方程 模型求解 6、是否分類爭論：將變化的幾何元素按題目指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍,從動(dòng)態(tài)的角度去分析觀看可能

3、顯現(xiàn)的情 況,看圖形的外形是否轉(zhuǎn)變,或圖形的有關(guān)幾何量的運(yùn)算方法是否轉(zhuǎn)變,以明確是否需要依據(jù)運(yùn) 動(dòng)過程中的特殊位置分類爭論解決,7、確定變化分界點(diǎn)：如需分類爭論,要以運(yùn)動(dòng)到達(dá)的特殊點(diǎn)為分界點(diǎn),畫出與之對(duì)應(yīng)情形相吻合的圖形,找到情 況發(fā)生轉(zhuǎn)變的時(shí)刻,確定變化的范疇分類求解；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載例：如圖,有一邊長為 5cm 的正方形 ABCD 和等腰三角形RQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm ,點(diǎn) B、C、Q、R 在同一條直線 上, 當(dāng) C、Q 兩點(diǎn)重合時(shí)開頭,t 秒后正方形ABCD 與等腰PQR重合部分的面積為Scm2. .解答以下問題： （1）當(dāng) t=3 秒時(shí),求 S 的值；（2）當(dāng) t=

4、5 秒時(shí),求 S 的值；A （3）當(dāng) 5 秒 t8 秒時(shí),求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式,并求出S 的最大值 . D P B Q C R 分析：當(dāng)?shù)妊黀QR 從 C、Q 兩點(diǎn)重合開頭,以1cm/秒的速度沿直線向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),正方形 ABCD 與等腰PQR 重合部分圖形的外形在轉(zhuǎn)變,因此, 我們需要依據(jù)運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置分類爭論解決；運(yùn)動(dòng)過程中有四個(gè)特殊位置點(diǎn) ,它們分別是點(diǎn) B、C、R 和等腰PQR 底邊的中點(diǎn) E,這四個(gè)特殊位置點(diǎn)就是分類爭論問題的“ 分界點(diǎn)”. 由于正方形 ABCD 的邊長為 5cm,等腰三角形RQR 的底邊 QR=8cm ,（1）所以當(dāng) t 4 秒時(shí), QE 逐步地與與

5、BC 完全重合,就 S 是 QCG 的面積,所以,當(dāng) t=3 秒時(shí), S 是 QCG 的面積（如圖一的“ 靜態(tài)”）；（2）當(dāng) 4 秒 t5 秒時(shí),即在點(diǎn) E 落在線段上到點(diǎn) 圖二的“ 靜態(tài)”）；Q 與點(diǎn) B 重合,S 是四邊形 QCGP 的面積 （如（3）當(dāng) 5 秒 t8 秒時(shí),點(diǎn)Q、R 都在線段 BC 外,點(diǎn) E 在 BC 上, S 是一個(gè)五邊形BCGPH 的面積（如圖三的“ 靜態(tài)”）. A D A D P G P R G B （Q C E B （Q）E C R 圖一 圖二 A D 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載P Q H E G R B C 圖三 即 1、運(yùn)動(dòng)規(guī)律； 2、摸索初始； 3、動(dòng)中取靜； 4

6、、找等量關(guān)系 ; 5、列方程； 6、是否分類討論： 7、確定分界點(diǎn)；三、典型例題（2022 重慶）如圖 1 所示,一張三角形紙片ABC, ACB=90 ,AC=8,BC=6. 沿斜邊 AB的中線CD把這張紙片剪成 AC D 和 BC D 兩個(gè)三角形 （如圖 2 所示）. 將紙片 AC D 沿直線 D B（AB）方向平移（點(diǎn) A D 1 , D 2 , B 始終在同始終線上） ,當(dāng)點(diǎn) D 于點(diǎn) B 重合時(shí),停止平移 . 在平移過程中,C D 與 BC 交于點(diǎn) E, AC 與 C D 2、BC 2 分別交于點(diǎn) F、P. 1 當(dāng) AC D 平移到如圖 3 所示的位置時(shí),猜想圖中的 D E 與 D F

7、 的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想；2 設(shè)平移距離D D 為 x ,AC D 與BC D 重疊部分面積為y ,請寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量的取值范疇；（3）對(duì)于（ 2）中的結(jié)論是否存在這樣的x 的值,使重疊部分的面積等于原ABC 面積的1 4. 如存在,求x 的值；如不存在,請說明理由. C2C1CC1C2PADBAD 1D2BAF圖 3 D1ED2B圖 1 圖 2 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載分析： 1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程：點(diǎn)題目條件：將AC D 沿直線D B （AB）方向平移（點(diǎn)A D 1,D2,B 始終在同始終線上） ,當(dāng)D 于點(diǎn) B 重合時(shí),停止平移. 所以這是一個(gè)圖形的平移運(yùn)

8、動(dòng)2、摸索初始；找出初始位置時(shí)某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系：（1）由于在 Rt ABC 中,AC8,BC6,所以由勾股定理,得AB10.DADB , 即（ 2 ） 因 為ACB90, CD是 斜 邊 上 的 中 線 , 所 以 , DCC D 1C2D2B D. A D（3）C 1A,C 1C290. 第 1 問：“ 動(dòng)” 中取“ 靜”：讓圖形和各個(gè)幾何量都“ 靜” 下來；由于是平移,所以C D 1C D2,所以C 1AFD2.C 1A所以AFD2A ,所以,AD2D F.同理：BD1D E . 又由于AD1BD ,所以AD2BD .所以D ED F第 2 問：（1）是求變量之間的關(guān)系,就建立函數(shù)

9、模型；（2）按題目指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍,重疊部分圖形的外形不發(fā)生轉(zhuǎn)變,就不需要分類爭論解決；x2（3）找等量關(guān)系式：用面積割補(bǔ)法知道ySBC D 22SBED 1SFC P 21SABC125x2622525（4）“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量；為便于求其面積,留意挑選三角形的底和高；三角形 角形 C2OF 的底和高；BD 1E 的底為 BD 1,需求高；需求直角三我們視自變量為“ 不變量”,以D D 1x 為“ 向?qū)?” 去求出三角形的底和高；C Ex ,（A）、BC D 的面積等于ABC面積的一半,等于12. （B）、又由于D D 1x ,

10、所以D EBD 1D FAD25x ,所以C F由C D 1C D2得BC D2BED1,又ABC的 AB 邊上的高,為學(xué)習(xí)好資料歡迎下載24.設(shè)BED 的BD 邊上的高為 h ,5所以h55x. x2x 2245所以h245x .SBED 11BD 1h12 5 25x 2252（C）、又由于C 1C290,所以FPC290. 在直角三角形PFC2 中, C2F=X ,又由于C2B ,sinB4,cosB3. 55所以PC 23x PF4x ,SFC P 21PC 2PF655225而ySBC D 22SBED 1SFC P 21SABC125x 2622525所以y182 x24 0 5x

11、525第 3 問：是求特殊值問題,就建立方程模型求解；存在 . 當(dāng)y1SABC時(shí),即182 x24x6x4255整理,得3x220 x250.解得,x 15 , 3x 25. 即當(dāng)x5或x5時(shí),重疊部分的面積等于原ABC 面積的1 4. 3解析 （1）D ED F .由于C D 1C D2,所以C 1AFD . 又由于ACB90,CD 是斜邊上的中線,所以, DCDADB,即C D 1C D2BD2AD1所以,C 1A,所以AFD2A所以,AD2D F .同理：BD1D E . 又由于AD1BD ,所以AD2BD .所以D ED F（2）由于在 Rt ABC 中,AC8,BC6,所以由勾股定理

12、,得AB10.即AD1BD2C D 1C D25又由于D D 1x ,所以D EBD1D FAD25x .所以C FC E在BC D 中,C 到學(xué)習(xí)好資料歡迎下載24. BD 的距離就是ABC的 AB 邊上的高,為5設(shè)BED 的BD 邊上的高為 h ,由探究,得BC D2BED1,所以h55x. 245所以h245x .SBED 11BD 1h12 5 25x 2252又由于C 1C 290,所以FPC290. 又由于C2B ,sinB4,cosB3. 55所以PC 23x PF4x ,SFC P 21PC 2PF6x255225. 而ySBC D 22SBED 1SFC P 21SABC12

13、5x 262 x22525所以y182 x124 0 5x52 x24x625183 存在 . 當(dāng)ySABC時(shí),即4255整理,得3x220 x250.解得,x 15 , 3x 25. 即當(dāng)x5或x5時(shí),重疊部分的面積等于原ABC 面積的1 43（2022 山東青島）如圖,有兩個(gè)外形完全相同的直角三角形ABC 和 EFG 疊放在一起 （點(diǎn)A 與點(diǎn) E 重合）,已知 AC8cm,BC6cm, C90 , EG4cm, EGF90 ,O 是 EFG 斜邊上的中點(diǎn)如圖,如整個(gè)EFG 從圖的位置動(dòng)身, 以 1cm/s 的速度沿射線AB 方向平移,在 EFG 平移的同時(shí), 點(diǎn) P從 EFG 的頂點(diǎn) G

14、動(dòng)身,以 1cm/s 的速度在直角邊GF 上向點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) F 時(shí),點(diǎn) P 停止運(yùn)動(dòng),EFG 也隨之停止平移設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x（s）,FG 的延長線交 AC 于H,四邊形 OAHP 的面積為 y（cm 2（不考慮點(diǎn) P 與 G、F 重合的情形） （1）當(dāng) x 為何值時(shí), OP AC . （2）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x 的取值范疇1324？如存在,求出（3）是否存在某一時(shí)刻,使四邊形OAHP 面積與ABC 面積的比為x 的值；如不存在,說明理由（參考數(shù)據(jù)： 114 2 12996,115 2 13225,116 2 13456 或 4.4219.36,4.

15、5 2 20.25,4.6 2 21.16）學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載分析： 1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程：題目條件： 如整個(gè)EFG 從圖的位置動(dòng)身, 以 1cm/s 的速度沿射線 AB 方向平移, 在 EFG 平移的同時(shí),點(diǎn) P 從 EFG 的頂點(diǎn) G 動(dòng)身,以 1cm/s 的速度在直角邊 GF 上向點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn) F 時(shí),點(diǎn) P 停止運(yùn)動(dòng),EFG 也隨之停止平移（1）整個(gè)EFG 從圖的位置動(dòng)身,以 1cm/s 的速度沿射線 AB 方向平移；（2）點(diǎn) P 從 EFG 的頂點(diǎn) G 動(dòng)身,以 1cm/s 的速度在直角邊2、摸索初始；（1）留意參考數(shù)據(jù)運(yùn)用于運(yùn)算平方、平方根或估算；（2）找

16、出初始位置時(shí)某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；Rt EFG Rt ABC ,EG AC4FG,4FGBC866FG3cm8EG AC 第 1 問：（1）是特殊位置關(guān)系問題,建立方程模型求解；GF 上向點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)； 0 x3. （2）“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,讓圖形和各個(gè)幾何量都在特殊位置關(guān)系（OP AC ）“ 靜” 下來,畫出與對(duì)應(yīng)情形相吻合的圖形；O 是 EFG 斜邊上的中點(diǎn)當(dāng)OP ACP 為 FG 的中點(diǎn)時(shí), OP EG ,EG AC , x 1 FG 211 3 1.5（s）2當(dāng) x 為 1.5s 時(shí), OP AC 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載第 2 問：（1）是求變量之間的關(guān)系,就建立函數(shù)模型；（2）

17、題目明確了是求四邊形 OAHP 的面積,就不需要分類爭論解決；（3）找等量關(guān)系式：用面積割補(bǔ)法知道Y=S 四邊形 OAHP S AFH S OFP（4）“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量；為便于求其面積,挑選OFD 的底為 FP,需求邊 FP 上的高；我們視自變量為“ 不變量”,以 PG=X 為“ 向?qū)?”去求出OFD 的底和高；在 Rt EFG 中,由勾股定理得：EF5cmEG AH , EFG AFH EGEFFG3 （x 5）5D AHAFFH4x553AHFH AH 4 （ x 5）,FH5過點(diǎn) O 作 OD FP ,垂足為點(diǎn) O 為 EF

18、中點(diǎn),OD 1EG2cm2FP3x ,S 四邊形 OAHP S AFH S OFP1 2AH FH1 2OD FP 1 2 （ 3x ）21 24 （x 5）53 （x5）56x217x 3 255（0 x3）第 3 問：是求特殊值問題,就建立方程模型求解；假設(shè)存在某一時(shí)刻x,使得四邊形OAHP 面積與ABC 面積的比為1324就 S 四邊形 OAHP13 S ABC 246x217x 313 241 6 8 22556x2 85x 2500 （運(yùn)算時(shí)留意參考數(shù)據(jù)的運(yùn)用）解得 x15 , x2 2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載50 （舍去）30 x3,當(dāng) x5 （s）時(shí),四邊形 2OAHP 面積與ABC

19、面積的比為1324解析 （1） Rt EFGRt ABC ,EG AC4FG,4FGBC866FG3cm8當(dāng) P 為 FG 的中點(diǎn)時(shí), OP EG ,EG AC , x 1 FG 21 3 1.5（s）21當(dāng) x 為 1.5s 時(shí), OP AC （2）在 Rt EFG 中,由勾股定理得：EF5cmEG AH , EFG AFH EGEFFG3 （x 5）5D AHAFFH4x553AHFH AH 4 （ x 5）,FH5過點(diǎn) O 作 OD FP ,垂足為點(diǎn) O 為 EF 中點(diǎn),OD 1EG2cm2FP3x ,S 四邊形 OAHP S AFH S OFP1 2AH FH1 2OD FP 1 2

20、（ 3x ）21 24 （x 5）53 （x5）56x217x 3 255（0 x3）（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1324x,使得四邊形OAHP 面積與ABC 面積的比為就 S 四邊形 OAHP13 S ABC246x 217x 313 1 6 8 25 5 24 26x 2 85x 2500 解得 x15 , x2 50 （舍去）2 30 x3,當(dāng) x5 （s）時(shí),四邊形 2OAHP 面積與ABC 面積的比為1324（2022 河北）如圖,在 Rt ABC 中, C90 , AC12,BC16,動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 動(dòng)身沿AC 邊向點(diǎn) C 以每秒 3 個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q 從

21、點(diǎn) C 動(dòng)身沿 CB 邊向點(diǎn) B 以每秒 4 個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng) P,Q 分別從點(diǎn) A,C 同時(shí)動(dòng)身, 當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在t運(yùn)動(dòng)過程中,PCQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱的圖形是PDQ設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）設(shè)四邊形PCQD 的面積為 y,求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；（2）t 為何值時(shí),四邊形PQBA 是梯形？（3）是否存在時(shí)刻t,使得 PD AB？如存在,求出t 的值；如不存在,請說明理由；（4）通過觀看、畫圖或折紙等方法,猜想是否存在時(shí)刻t,使得 PDAB？如存在,請估量的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0t1；1t 2；2A t3；3t4）；如不存在,請簡要說明理由P

22、分析： 1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程：題目條件：動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn) A 動(dòng)身沿 AC 邊向點(diǎn) C 以每秒 3 個(gè)單D B PDQ 位長的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q 從點(diǎn) C 動(dòng)身沿 CB 邊向點(diǎn) B 以每秒 4 個(gè)C Q 單位長的速度運(yùn)動(dòng)P,Q 分別從點(diǎn) A,C 同時(shí)動(dòng)身,當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí), 另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中, PCQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱的圖形是所以,這是雙動(dòng)點(diǎn)P、Q+圖形 PCQ 翻折的運(yùn)動(dòng)；（1）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 動(dòng)身沿 AC 邊向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)；（2）動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 動(dòng)身沿 CB 邊向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)；（3） PCQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱的圖形是PDQ.2、摸索初始；找出初始位置時(shí)

23、某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載216220,在 Rt ABC 中, C 90 , AC 12,BC16, AB=12第 1 問：（1）是求變量之間的關(guān)系,就建立函數(shù)模型；（2）題目明確了是求四邊形 PCQD 的面積,就不需要分類爭論解決；（3）找等量關(guān)系式： PCQ 與 PDQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱, y= 2S PCQ（4）“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量；為便于求其面積,留意挑選直角我們視自變量（動(dòng)量）為“ 不變量”3t,PCQ 的兩直角邊為底和高；（靜量）,就以 CQ 4t,AP=3t 為“ 向?qū)?”求出 PC 12S PCQ

24、=1PCCQ6t224 t2 PCQ 與 PDQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱,y= 2S PCQ12 t248 t第 2 問：（1）實(shí)質(zhì)是特殊位置關(guān)系問題,建立方程模型求解；（2）“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,讓圖形在特殊情形（四邊形PQBA 是梯形）“ 靜” 下來,畫出與對(duì)應(yīng)情形相吻合的圖形 . 當(dāng)四邊形 PQBA 是梯形時(shí)有 PQ AB.（2）PQ AB 時(shí),應(yīng)有CPCQ,就以此建立方程模型求解. CACB（3）求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量；）當(dāng)CPCQ時(shí),有 PQ AB,而 AP 與 BQ 不平行,這時(shí)四邊形PQBA 是梯形,CACBCA=12,CB=16,CQ4t, CP

25、123t,123 t4t,解得 t2t 的值；如不存在,請說明理1216當(dāng) t2 秒時(shí),四邊形PQBA 是梯形第 3 問：題目條件：是否存在時(shí)刻t,使得 PD AB？如存在,求出由；（1）實(shí)質(zhì)是求兩線的特殊位值關(guān)系,就仿照第 2 問的方法建立比例方程求解 . （2）“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,讓圖形在 PD AB 的情形“ 靜” 下來 . 畫出與對(duì)應(yīng)情形相吻合的圖形 . 設(shè)存在時(shí)刻 t,使得 PD AB,那么延長 PD 交 BC 于點(diǎn) M,如下圖, PD AB,學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載A P D C Q M B t 的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量；（3）視“ 動(dòng)量” 為“ 靜量”,求出相關(guān)的常量或者以含有變

26、量如 PD AB,就CP CACM,12216220,CBQD=CQ=4t,CP=AC-AP=12-3t, AC12,AB= QMD =B, QDM = C=90 ,Rt QMD Rt ABC,從而QMQD,ABACQM4 t2012QM = 20 3t CM=CQ+QM=4t+20t3123 t4 t20t,解得 t12 1131216當(dāng) t12 11秒時(shí), PD AB第 4 問：通過觀看、畫圖或折紙等方法,猜想是否存在時(shí)刻t,使得 PDAB？如存在,請估量 t 的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0 t1；1t2；2t3；3t4）；如不存在,請簡 要說明理由1“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,讓圖形“ 靜”

27、 下來 . 畫出與對(duì)應(yīng)情形相吻合的圖形. . 2由第 3 問知道當(dāng)秒1t12 11秒時(shí), PD AB應(yīng)有 1t,（3）“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,讓圖形“ 靜” 下來. 畫出與對(duì)應(yīng)情形相吻合的圖形假設(shè) PDAB 于 D,AP=3t ,CPPD=123t,學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載Rt APDRt ABC AP ABPD BC3 t 20 512 3 t 16 44t=20-5t , t= 20 319存在時(shí)刻 t,使得 PDAB時(shí)間段為： 2t3解析 （ 1）由題意知 CQ4t,PC123t,S PCQ =1PCCQ6t224 t2 PCQ 與 PDQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱,y= 2S PCQ12 t2

28、48 tPQBA 是梯形,（2）當(dāng)CPCQ時(shí),有 PQ AB,而 AP 與 BQ 不平行,這時(shí)四邊形CACBCA=12,CB=16,CQ4t, CP123t,123 t4t,解得 t2B 1216當(dāng) t2 秒時(shí),四邊形PQBA 是梯形（2）設(shè)存在時(shí)刻t,使得 PD AB,延長 PD 交 BC 于點(diǎn) M,如下圖,如 PD AB,就CP CACM,CBQD=CQ=4t,CP=AC-AP=12-3t, AC12,AB=12216220, QMD =B, QDM = C=90 ,A Rt QMD Rt ABC,P 從而QMQD,D ABACQM4 tQM= 20 3t C Q M 2012CM=CQ+

29、QM=4t+20t3123 t4t20t,解得 t12 1131216當(dāng) t12 11秒時(shí), PD AB（4）存在時(shí)刻學(xué)習(xí)好資料歡迎下載t,使得 PDAB時(shí)間段為： 2t3（ 2022 年 河 北 省 ）如圖 16,在直角梯形 ABCD 中,AD BC,B 90,AD=6,BC=8,AB 3 3,點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)點(diǎn) P 從點(diǎn) M 動(dòng)身沿 MB 以每秒 1 個(gè)單位長的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn) B 后馬上以原速度沿 BM 返回； 點(diǎn) Q 從點(diǎn) M 動(dòng)身以每秒 1 個(gè)單位長的速度在射線 MC上勻速運(yùn)動(dòng)在點(diǎn) P,Q 的運(yùn)動(dòng)過程中,以 PQ 為邊作等邊三角形 EPQ,使它與梯形 ABCD

30、在射線 BC 的同側(cè)點(diǎn) P, Q 同時(shí)動(dòng)身,當(dāng)點(diǎn) P 返回到點(diǎn) M 時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn) Q 也隨之停止設(shè)點(diǎn) P,Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 t 秒t0（1）設(shè) PQ 的長為 y,在點(diǎn) P 從點(diǎn) M 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)的過程中, 寫出 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式 （不必寫 t 的取值范疇）（2）當(dāng) BP= 1 時(shí),求EPQ 與梯形 ABCD 重疊部分的面積（3）隨著時(shí)間 t 的變化,線段 AD 會(huì)有一部分被EPQ 掩蓋,被掩蓋線段的長度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值,請回答：該最大值能否連續(xù)一個(gè)時(shí)段？如能,直接寫出 t 的取值范疇；如不能,請說明理由A D E P M Q C 圖 1 A D B M C （備用圖）分析

31、： 1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程：題目條件：點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)點(diǎn) P 從點(diǎn) M 動(dòng)身沿 MB 以每秒 1 個(gè)單位長的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn) B 后馬上以原速度沿 BM 返回；點(diǎn) Q 從點(diǎn) M 動(dòng)身以每秒 1 個(gè)單位長的速度在射線 MC 上勻速運(yùn)動(dòng)在點(diǎn) P,Q 的運(yùn)動(dòng)過程中,以 PQ 為邊作等邊三角形 EPQ,使它與梯形 ABCD 在射線 BC的同側(cè)點(diǎn) P,Q 同時(shí)動(dòng)身,當(dāng)點(diǎn) P 返回到點(diǎn) M 時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn) Q 也隨之停止說明上動(dòng)的是兩點(diǎn),實(shí)際上由兩點(diǎn)引出的等邊三角形 EPQ 是運(yùn)動(dòng)圖形； 題目中點(diǎn) P 從點(diǎn) M 出學(xué)習(xí)好資料歡迎下載Q 從點(diǎn) M 動(dòng)身在射線發(fā)沿 MB 向 B 點(diǎn)

32、勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B 后馬上以原速度沿BM 返回；而點(diǎn)MC 上勻速運(yùn)動(dòng),由于點(diǎn) P 的來回運(yùn)動(dòng),且 P、Q 兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同,所以這兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的等邊三角形 EPQ 的特點(diǎn)為：當(dāng) 0t4 時(shí),三角形 EPQ 的大小隨著時(shí)間的增加逐步變大,但 PQ邊的中點(diǎn)始終是點(diǎn) M, 相當(dāng)于位似變換；當(dāng) t4 時(shí),隨著時(shí)間的增加,三角形 EPQ 的大小始終不變,相當(dāng)于平移變換； （這樣的變換特別新奇,但是涉及的變換又是很簡潔的）2、摸索初始；找出初始位置時(shí)某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；在直角梯形ABCD 中, AD BC,B90, AD=6,BC=8,AB33,點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn),就 MB=MC=4. CD

33、 可求；PCQ 與 PDQ 關(guān)于直線 PQ 對(duì)稱,第 1 問：在點(diǎn) P 從點(diǎn) M 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)的過程中,y=MP+MQ=t+t=2t P、Q 兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同,第 2 問：（1）BP= 1 有點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) B 點(diǎn)前、后兩種情形,就需分類爭論解決；當(dāng) BP=1 時(shí),有兩種情形：如圖 2,如點(diǎn) P 從點(diǎn) M 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng),有 MB =1BC= 4,MP=MQ =3,2PQ= 6A E D （現(xiàn)在判定點(diǎn)E 落在梯形 ABCD 內(nèi)、外的位置, 以確定EPQ 與梯形 ABCD 重疊部分的圖形外形；連接 EM ,B P M Q C EPQ 是等邊三角形,EM PQEM33圖 2 AB= 3 3,點(diǎn)

34、 E 在 AD 上EPQ 與梯形 ABCD 重疊部分就是EPQ,其面積為 9 3如點(diǎn) P 從點(diǎn) B 向點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng),由題意得 t=4+1=5 PQ=BM+MQ BP=4+5-1=8,PC=8-1=7此時(shí)點(diǎn) E 明顯是在 AD 上方；“ 動(dòng)” 中取“ 靜”,讓圖形“ 靜” 下來,畫出與對(duì)應(yīng)情形相吻合的圖形. 以確定EPQ 與梯形 ABCD 重疊部分的圖形外形 . 設(shè) PE 與 AD 交于點(diǎn) F,QE 與 AD 或 AD 的延長線交于點(diǎn) G,過點(diǎn) P 作 PH AD 于點(diǎn) H,E 就 HP= 3 3,AH=1A H F G D 在 Rt HPF 中, HPF =90 -60 =30 , HF=3,

35、PF =6B P M C Q FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2 圖 3 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載又 FD=AD-AH+HF=6-1+3=2,FG= FD=2 ,點(diǎn) G 與點(diǎn) D 重合；如圖3此時(shí)EPQ 與梯形 ABCD 的重疊部分就是梯形FPCG,其面積為2732（把握運(yùn)動(dòng)變化的全過程,確定EPQ 與梯形 ABCD 重疊關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵）第 3 問：求隨著時(shí)間 t 的變化, 線段 AD 被 EPQ 掩蓋線段的長度能否連續(xù)一個(gè)時(shí)段達(dá)到最大值；由于當(dāng) t4 時(shí),隨著時(shí)間的增加,三角形EPQ 的大小始終不變,相當(dāng)于平移變換；這樣,線段 AD 被 EPQ 掩蓋線段的長度達(dá)到最大值,且連續(xù)

36、到被掩蓋線段的右端點(diǎn)到達(dá) D 點(diǎn),依據(jù)前面的解答知,此時(shí) t=5；所以,能 4t5解：（1）y=2t；（2）當(dāng) BP=1 時(shí),有兩種情形：如圖 2,如點(diǎn) P 從點(diǎn) M 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng),有 MB =1BC= 4,MP=MQ =3,EM332A E D PQ=6連接 EM, EPQ 是等邊三角形,EM PQAB=3 B 3,點(diǎn) E 在 AD 上P M C 圖 2 EPQ 與梯形 ABCD 重疊部分就是EPQ,其面積為 9 3如點(diǎn) P 從點(diǎn) B 向點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng),由題意得 t 5PQ=BM+MQ BP=8,PC=7設(shè) PE 與 AD 交于點(diǎn) F,QE 與 AD 或 AD 的E 延長線交于點(diǎn) G ,過點(diǎn) P 作 PH AD 于點(diǎn) H,就A H F G D HP= 3 3,AH=1在 Rt HPF 中, HPF=90 -60 =30 ,B P M C Q HF=3,PF =6 FG=FE=2又 FD=2,點(diǎn) G 與點(diǎn) D 重合,如圖3此時(shí)EPQ 與梯形 ABCD 圖 3 的重疊部分就是梯形FPCG,其面積為2732（3）能 4t5四、家庭作業(yè)1. 如下列圖,在直角梯形 ABCD 中, ABC 90