用空間向量求空間角

1、關(guān)于用空間向量求空間角第一張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)習(xí)回顧直線的方向向量:兩點平面的法向量：三點兩線一方程設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)則(1)ab. a1b1a2b2a3b3第二張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)直線l1、l2的方向向量分別為a、b，平面、的法向量分別為n1、n2.則l1l2或l1與l2重合 . l1l2 . 或與重合 . . l或l . l .復(fù)習(xí)回顧aba tbaba b 0n1n2n1tn2n1t an1 an1n2n1 n2 0n1 an1 a 0第三張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月引例：求二面角M-BC-D的平

2、面角的正切值； 求CN與平面ABCD所成角的正切值；求CN與BD所成角的余弦值；(4)求平面SBC與SDC所成角的正弦值 第四張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月范圍： 一、線線角：異面直線所成的銳角或直角思考：空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么關(guān)系？結(jié)論：第五張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月xzy 向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小結(jié) 傳統(tǒng)法：平移例1.如圖所示的正方體中，已知F1與E1為四等分點，求異面直線DF1與BE1的夾角余弦值？第六張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月所以 與 所成角的余弦值為解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo) 系 ,如圖所示，設(shè) 則：

3、所以：練習(xí)：第七張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月悟一法 利用向量求異面直線所成的角的步驟為： (1)確定空間兩條直線的方向向量； (2)求兩個向量夾角的余弦值； (3)確定線線角與向量夾角的關(guān)系；當(dāng)向量夾角為銳角時，即為兩直線的夾角；當(dāng)向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向量夾角的補角第八張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月直線與平面所成角的范圍： 結(jié)論：二、線面角：直線和直線在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？AOB第九張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B

4、與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O向量法 傳統(tǒng)法第十張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月N解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則即在長方體 中，練習(xí)：第十一張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月N又在長方體 中，練習(xí)：第十二張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月悟一法 利用向量法求直線與平面所成角的步驟為： (1)確定直線的方向向量和平面的法向量； (2)求兩個向量夾角的余弦值； (3)確定線面角與向量夾角的關(guān)系：向量夾角為銳角時，線面角與這個夾角互余；向量夾角為鈍角時，線面角等于這個夾角減去90.第十三張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二面角的平面角必須滿足

5、：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi) 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：第十四張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月ll三、面面角：向量法關(guān)鍵：觀察二面角的范圍第十五張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 證明：以 為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得例3.已知正方體 的邊長為2，O為AC和BD的交點，M為 的中點 （1）求證： 直線 面MAC;（2）求二面角 的余弦值. B1A1 C1D1DCBAOMxyz第十六張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于202

6、2年6月 B1A1 C1D1DCBAOMxyz由圖可知二面角為銳角第十七張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月悟一法 利用法向量求二面角的步驟 (1)確定二個平面的法向量； (2)求兩個法向量夾角的余弦值； (3)確定二面角的范圍；二面角的范圍要通過圖形觀察，法向量一般不能體現(xiàn)第十八張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月練 習(xí)：如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求： 異面直線SA和OB所成的角的余弦值， OS與面SAB所成角的正弦值 ， 二面角BASO的余弦值。則A（2，0，0）；于是我們有OABCS解：如圖建立直角坐標(biāo)系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）； O（0，0，0）；第十九張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月令x=1，則y=1，z=2；從而（2）設(shè)面SAB的法向量顯然有OABCSxyz第二十張，PPT共二十二頁，創(chuàng)作于2022年6月.由知面SAB的法向量 =（1，1，2） 又OC面AOS， 是面AOS的法向量，令則有由于所