【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 13.5 復(fù)數(shù)1導(dǎo)學(xué)案 理 北師大版

1、PAGE PAGE 1113.5復(fù)數(shù)2014高考會這樣考1.考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)相等的條件；2.考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算，復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)習(xí)備考要這樣做1.復(fù)習(xí)時要理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念如實部、虛部、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等，以及復(fù)數(shù)的幾何意義；2.要把復(fù)數(shù)的基本運算作為復(fù)習(xí)的重點，尤其是復(fù)數(shù)的四則運算與共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等因考題較容易，所以重在練基礎(chǔ)1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如abi (a，bR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部若b0，則abi為實數(shù)，若b0，則abi為虛數(shù)，若a0且b0，則abi為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共軛復(fù)數(shù)：ab

2、i與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(4)復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫作復(fù)平面x軸叫作實軸，y軸叫作虛軸實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)(5)復(fù)數(shù)的模向量eq o(OZ,sup6()的模r叫作復(fù)數(shù)zabi的模，記作_|z|_或|abi|，即|z|abi|eq r(a2b2).2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，bR)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)平面向量eq o(OZ,sup6().3復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1abi，z2cdi (a，b，c，dR)，則加法：z1z2(ab

3、i)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(abicdi,cdicdi)eq f(acbd,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)難點正本疑點清源1對于復(fù)數(shù)zabi必須滿足a、b均為實數(shù)，才能得出實部為a，虛部為b.對于復(fù)數(shù)相等必須先化為代數(shù)形式才能比較實部與虛部2復(fù)數(shù)問題的實數(shù)

4、化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)的模的運算及性質(zhì)1i是虛數(shù)單位，則eq f(1,1i)i_.答案eq f(1,2)eq f(1,2)i解析eq f(1,1i)ieq f(1i,2)ieq f(1i,2)eq f(1,2)eq f(1,2)i.2若復(fù)數(shù)(1i)(1ai)是純虛數(shù)，則實數(shù)a_.答案1解析由(1i)(1ai)(1a)(a1)i是純虛數(shù)得eq blcrc (avs4alco1(1a0,1a0)，由此解得a1.3復(fù)數(shù)(34i)i(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析由于(34i)i43

5、i，因此該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(4,3)，相對應(yīng)的點位于第二象限，選B.4(2011浙江)把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作eq xto(z)，i為虛數(shù)單位若z1i，則(1z)eq xto(z)等于()A3i B3iC13i D3答案A解析(1z)eq xto(z)(2i)(1i)3i.5(2012北京)設(shè)a，bR.“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)a0，且b0時，abi不是純虛數(shù)；若abi是純虛數(shù)，則a0.故“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)已知aR，復(fù)數(shù)z1

6、2ai，z212i，若eq f(z1,z2)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)eq f(z1,z2)的虛部為()A1 Bi C.eq f(2,5) D0(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，則“m1”是“z1z2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件思維啟迪：(1)若zabi(a，bR)，則b0時，zR；b0時，z是虛數(shù)；a0且b0時，z是純虛數(shù)(2)直接根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求解答案(1)A(2)A解析(1)由eq f(z1,z2)eq f(2ai,12i)eq f(2ai12i,5)eq f(22a,5)eq f(4a,5)i是純虛數(shù)，得a1，此時eq

7、 f(z1,z2)i，其虛部為1.(2)由eq blcrc (avs4alco1(m2m13,m2m42)，解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要條件探究提高處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實數(shù)問題來處理(1)若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為()A1 B0C1 D1或1(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(23i)64i(i為虛數(shù)單位)，則z的模為_答案(1)A(2)2解析(1)由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，得eq blcrc (avs4alco1(x210,x10)，解得x1，故選A.(2)方法一z(23i)64i，zeq f(64

8、i,23i)eq f(26i,13)2i，|z|2.方法二由z(23i)64i，得zeq f(64i,23i).則|z|eq blc|rc|(avs4alco1(f(64i,23i)eq f(|64i|,|23i|)eq f(r(6242),r(2232)2.題型二復(fù)數(shù)的運算例2已知z1，z2為復(fù)數(shù)，(3i)z1為實數(shù)，z2eq f(z1,2i)，且|z2|5eq r(2)，求z2.思維啟迪：兩種思路解此類問題：一是設(shè)出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整體代換的思想求解解z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，|z2|5eq r(2)，|z2(55i)|50，z

9、2(55i)50，z2eq f(50,55i)eq f(10,1i)(55i)探究提高復(fù)數(shù)的綜合運算中會涉及模、共軛及分類等，求z時要注意是把z看作一個整體還是設(shè)為代數(shù)形式應(yīng)用方程思想；當(dāng)z是實數(shù)或純虛數(shù)時注意常見結(jié)論的應(yīng)用(1)已知復(fù)數(shù)zeq f(r(3)i,1r(3)i2)，eq xto(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則zeq xto(z)_.(2)復(fù)數(shù)eq f(1r(3)i5,1r(3)i)的值是_(3)已知復(fù)數(shù)z滿足eq f(i,zi)2i，則z_.答案(1)eq f(1,4)(2)16(3)eq f(1,5)eq f(3,5)i解析(1)方法一|z|eq f(|r(3)i|,|1r(3)i2|

10、)eq f(1,2)，zeq xto(z)|z|2eq f(1,4).方法二zeq f(r(3)i,21r(3)i)eq f(r(3),4)eq f(i,4)，zeq xto(z)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)f(i,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)f(i,4)eq f(1,4).(2)eq f(1r(3)i5,1r(3)i)eq f(25blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)5,2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)24eq f(f(1,2)f(r(3),2)i,f

11、(1,2)f(r(3),2)i)16.(3)由eq f(i,zi)2i，得zeq f(i,2i)ieq f(i2i,5)ieq f(2,5)ieq f(1,5)ieq f(1,5)eq f(3,5)i.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例3如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,32i，24i，試求：(1)eq o(AO,sup6()、eq o(BC,sup6()所表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線eq o(CA,sup6()所表示的復(fù)數(shù)；(3)求B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)思維啟迪：結(jié)合圖形和已知點對應(yīng)的復(fù)數(shù)，根據(jù)加減法的幾何意義，即可求解解(1)eq o(AO,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o

12、(AO,sup6()所表示的復(fù)數(shù)為32i.eq o(BC,sup6()eq o(AO,sup6()，eq o(BC,sup6()所表示的復(fù)數(shù)為32i.(2)eq o(CA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(CA,sup6()所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(OB,sup6()所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i，即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.探究提高根據(jù)復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)

13、數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論已知z是復(fù)數(shù)，z2i、eq f(z,2i)均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍解設(shè)zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由題意得y2.eq f(z,2i)eq f(x2i,2i)eq f(1,5)(x2i)(2i)eq f(1,5)(2x2)eq f(1,5)(x4)i，由題意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根據(jù)條件，可知eq blcrc (avs4alco1(124aa20,8a20)，解得2a6，實數(shù)a的取值

14、范圍是(2,6)解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想典例：(12分)已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.審題視角(1)x，y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來；(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題規(guī)范解答解設(shè)xabi (a，bR)，則yabi，xy2a，xya2b2，3分代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，5分根據(jù)復(fù)數(shù)相等得eq blcrc (avs4alco1(4a24,3a2b26)，7分解得eq blcrc (avs4alco1(a1,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1,b1)或eq

15、 blcrc (avs4alco1(a1,b1).9分故所求復(fù)數(shù)為eq blcrc (avs4alco1(x1i,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i,y1i).12分溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法(2)本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解這是常用的數(shù)學(xué)方法(3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.方法與技巧1復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減

16、、乘、除及求低次方根除法實際上是分母實數(shù)化的過程2在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合3要記住一些常用的結(jié)果，如i、eq f(1,2)eq f(r(3),2)i的有關(guān)性質(zhì)等，可簡化運算步驟提高運算速度失誤與防范1判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義2對于復(fù)系數(shù)(系數(shù)不全為實數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立因此解此類方程的解，一般都是將實根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進行求解3兩個虛數(shù)不能比較大小4利用復(fù)數(shù)相等abicdi列方程時，注意a，b，c，dR的前提條件5z20在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立，例如

17、：當(dāng)z3i時z290.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2012廣東)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq f(56i,i)等于()A65i B65iC65i D65i答案D解析eq f(56i,i)eq f(56ii,i2)(5i6i2)(5i6)65i，故選D.2(2012山東)若復(fù)數(shù)z滿足z(2i)117i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A35i B35iC35i D35i答案A解析z(2i)117i，zeq f(117i,2i)eq f(117i2i,2i2i)eq f(1525i,5)35i.3(2012福建)若復(fù)數(shù)z滿足zi1i，則z等于()A

18、1i B1i C1i D1i答案A解析方法一由zi1i得zeq f(1i,i)eq f(1,i)11i.方法二設(shè)zabi(a，bR)，由zi1i，得(abi)i1i，即bai1i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq blcrc (avs4alco1(b1，,a1，)即eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)z1i.4若eq f(a,1i)1bi，其中a，b都是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|abi|等于()A.eq r(5) B.eq r(2) C.eq r(3) D1答案A解析由eq f(a,1i)1bi得a2，b1，所以abi2i，所以|abi|eq r(5).所以選A.二、填空題(每小題

19、5分，共15分)5(2012上海)計算：eq f(3i,1i)_(i為虛數(shù)單位)答案12i解析eq f(3i,1i)eq f(3i1i,1i1i)eq f(24i,2)12i.6(2012江蘇)設(shè)a，bR，abieq f(117i,12i)(i為虛數(shù)單位)，則ab的值為_答案8解析eq f(117i,12i)eq f(117i12i,12i12i)eq f(1,5)(2515i)53i，a5，b3.ab8.7已知復(fù)數(shù)z滿足eq f(12i,z)12i，則復(fù)數(shù)z_.答案eq f(3,5)eq f(4,5)i解析zeq f(12i,12i)eq f(12i2,12i12i)eq f(34i,5)e

20、q f(3,5)eq f(4,5)i.三、解答題(共22分)8(10分)(2011上海)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z12)(1i)1i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.設(shè)z2a2i，aR，則z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.9(12分)復(fù)數(shù)z1eq f(3,a5)(10a2)i，z2eq f(2,1a)(2a5)i，若eq xto(z)1z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值解eq xto(z)1z2eq f(3,a5)(a210)ieq f(2,1a)(2a5)ieq blc(rc)(avs4alco1(f

21、(3,a5)f(2,1a)(a210)(2a5)ieq f(a13,a5a1)(a22a15)i.eq xto(z)1z2是實數(shù)，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1(2012湖北)方程x26x130的一個根是()A32i B32iC23i D23i答案A解析方法一xeq f(6r(3652),2)32i，故應(yīng)選A.方法二令xabi，a，bR，(abi)26(abi)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，eq blcrc (avs4alco1(a2b26a130，,

22、2ab6b0，)解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b2，)即x32i，故應(yīng)選A.2設(shè)f(n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)n(nN*)，則集合f(n)中元素的個數(shù)為()A1 B2 C3 D無數(shù)個答案C解析f(n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)nin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3個元素3對任意復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()A|zeq xto(z)|2y Bz2x2y2C|zeq xto(z)|2x D|z|x|y|答案D解析eq xto(z)xyi(x，yR)，|zeq xto(z)|xyixyi|2yi|2