反比例函數(shù)中面積問題專題課程教學(xué)教案

1、.反比率函數(shù)中的面積問題合用學(xué)科初中數(shù)學(xué)合用年級初中二年級合用地區(qū)全國課時時長（分鐘）60分鐘知識點1.函數(shù)的相交問題，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及怎樣計算交點坐標(biāo)，并進一步探究x取何值時，一次函數(shù)與反比率函數(shù)值的大小比較；教學(xué)目的教學(xué)重點教學(xué)難點2.相交時所圍成的三角形的面積問題。1嫻熟應(yīng)用函數(shù)圖像與性質(zhì)知識；2靈活掌握反比率函數(shù)中面積問題的幾種題型；3嫻熟一次函數(shù)與反比率函數(shù)的綜合應(yīng)用。反比率函數(shù)中面積問題波及題型的掌握。反比率函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)合出現(xiàn)的面積問題所波及的解題方法的概括。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)由于反比率函數(shù)解析式及圖象的特殊性，好多中考試題都將反比率函數(shù)與面積聯(lián)合起來進行考察。這

2、種考察方式既能考察函數(shù)、反比率函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形聯(lián)合的思想方法，考察的題型寬泛，考察方法靈活，能夠較好地將知識與能力交融在一同。這類反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及相交后求圍成三角形的面積的題型難度很大，并且屬于學(xué)生在計算中的難點問題，概括起來有兩個方面：1、函數(shù)的相交問題，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及怎樣計算交點坐標(biāo)，并進一步探究x取何值時，一次函數(shù)與反比率函數(shù)值的大小比較；2、相交時所圍成的三角形的面積問題?，F(xiàn)以近年中考試題為例加以解析，希望能對同學(xué)自主學(xué)習(xí)有所幫助。二、知識解說1反比率函數(shù)的定義：一般地，形如yk（ykx1或xyk）（k為常數(shù)，k_0）的x.函數(shù)叫

3、做反比率函數(shù)2反比率函數(shù)的性質(zhì)：反比率函數(shù)yk（k0）的圖象是_當(dāng)k0時，兩分x支分別位于第_象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而_；當(dāng)k0,由結(jié)論及已知條件得kk=42，2【例題2】【題干】如圖，已知雙曲線yk(k0)（xf0）經(jīng)過矩形OABC的邊AB，x.BC的中點F、E，且四邊形OEBF的面積為2，則k【答案】k=2【解析】連結(jié)OB，E、F分別為AB、BC的中點而sVOCEsVOAFk，由四邊形OEBF的面積為2得kk2，解得k=2。222評注：第小題中由圖形所在象限可確定k0，應(yīng)用結(jié)論可直接求k值。第小題首先應(yīng)用三角形面積的計算方法解析得出四個三角形面積相等，列出含k的方程求k值。題

4、型二：已知反比率函數(shù)解析式，求圖形的面積【例題3】【題干】在反比率函數(shù)y4的圖象中，陰影部分的面積不等于4的是（）xABCD【答案】B【解析】因為過原點的直線與雙曲線交點對于原點對稱，故B、C、D的面積易求。對于A：S=4，對于B：陰影中所含的三個小直角三角形面積相等，故S=346；對于C：S=4，對2于D：S=4應(yīng)選（B）題型三：利用數(shù)形聯(lián)合思想求點的坐標(biāo)，注意分類議論.【例題4】【題干】已知一次函數(shù)y=kx+b(ko)和反比率函數(shù)y=k的圖象交于點A(1，1)2x求兩個函數(shù)的解析式；(2)若點B是x軸上一點，且AOB是直角三角形，求B點的坐標(biāo)【答案】解：（1）點A（1，1）在反比率函數(shù)k的

5、圖象上，k=2，反比率函數(shù)的y12x解析式為：yy=2x+b，點A（1，1）在一次函數(shù)y=2x+b。設(shè)一次函數(shù)的解析式為：x的圖象上，b=-1，一次函數(shù)的解析式為y=2x-1。（2）如圖，點A（1，1），AOB=45，AOB是直角三角形，點B只能在x軸正半軸上，當(dāng)OBA=90時，即BAOB，AOB=45，BA=OB，B（1，0）；1111111當(dāng)OAB2=90時，AOB2=AB2O=45，B1起OB2的中點，B2（2，0），綜上可知，B點坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）。例4題圖例5題圖【例題5】【題干】如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比率函數(shù)yk的圖象交于M、N兩點x求反比率函數(shù)和一次函數(shù)的

6、函數(shù)關(guān)系式(2)根據(jù)圖象寫出使反比率函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍【答案】解：（1）yk的圖象經(jīng)過N（1，4），k=xy=1（4）=4反比率4x4函數(shù)的解析式為。又點M在yy的圖象上，m=2M（2，2）又直線y=ax+bxx圖象經(jīng)過M，N，一次函數(shù)的解析式為y=2x2；（2）由圖象可知：反比率函數(shù)的值一次函數(shù)的值的x的取值范圍是x1或0 x2.題型四：利用點的坐標(biāo)及面積公式求圖形的面積【例題6】【題干】如圖，已知A(4,n),B(2,4)是一次函數(shù)ykxb的圖像和反比率函數(shù)ym的x圖像的兩個交點（1）求反比率函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標(biāo)及三角形AOB的面

7、積【答案】解：（1）QB(2,4)在ymm8反比率函數(shù)的解析式為：y8上xx點A(4,n)在y8上A(4,2)。經(jīng)過，x，解之得一次函數(shù)的解析式為：（2）是直線與軸的交點，當(dāng)時，點評注：對于例4、例5、例6種類的題目，其解題方法基本上都是分三步：先由條件求函數(shù)解析式，再經(jīng)過解方程組求交點坐標(biāo)，最后由面積公式計算面積。難度屬中檔題。題型五：利用反比率函數(shù)的對稱性求相關(guān)的面積問題【例題7】16【題干】已知,A、B、C、D、E是反比率函數(shù)y（x0）圖象上五個整數(shù)點（橫、縱坐x標(biāo)均為整數(shù)），分別以這些點向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖5所示的五個橄欖

8、形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是（用含的代數(shù)式表示）【答案】x,y為正整數(shù)，x=1,2,4,8,16，即A、B、C、D、E五個點的坐標(biāo)為(1,16)、(2,8)、.(4,4)、(8,2)、(16,1)，因五個橄欖形對于y=x對稱，故有S=13-26。題型六：與其余知識聯(lián)合，如一元二次方程、相像形、二次函數(shù)等【例題7】【題干】如圖，一次函數(shù)y=x+8和反比率函數(shù)yk（x0）的圖象在第一象限內(nèi)有兩個x不同的公共點A(x1，y1)、B(x2，y2)求實數(shù)k的取值范圍若AOB的面積SAOB=24，求k的值【答案】解：（1）y=-x+8與y=k/x聯(lián)立已知k0，x2-8x+k=0，64-4k0

9、，得0k16。2）設(shè)兩個交點橫坐標(biāo)為x1和x2，根據(jù)x2-x1=6以及x2-8x+k=0，（x2+x1）2-4x1x2=36，由韋達定理x1+x2=8；x1x2=k解得k=7?！纠}8】【題干】如圖，已知：一次函數(shù)：yx4的圖像與反比率函數(shù)：y2(x0)的圖像分x別交于A、B兩點，點M是一次函數(shù)圖像在第一象限部分上的隨意一點，過M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M1、M2，設(shè)矩形MM1OM2的面積為S1；點N為反比率函數(shù)圖像上隨意一點，.過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為N1、N2，設(shè)矩形NN1ON2的面積為S2；1）若設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，請寫出S1對于x的函數(shù)表達式，并求x取何值

10、時，S1的最大值；2）察看圖形，經(jīng)過確定x的取值，試比較S1、S2的大小【答案】解：(1)S1x(x4)x24x=(x2)24，當(dāng)x2時，S1最大值4。（2）S22，由S1S2可得：x24x2，x24x20，x22。通過察看圖像可得：當(dāng)x22時，S1S2。當(dāng)0 x22或x22時，S1S2；當(dāng)22x22時，S1S2。四、講堂運用【基礎(chǔ)】例1、2變式1.如圖，矩形ABOD的極點A是函數(shù)yk(k0)與函數(shù)yx(k1)在第二象限的交x點，ABx軸于BADy軸于DABOD，且矩形的面積為3（1）求兩函數(shù)的解析式（2）求兩函數(shù)的交點A、C的坐標(biāo)（3）若點P是y軸上一動點，且，求點P的坐標(biāo).答案解：（1）由

11、圖象知k0，由結(jié)論及已知條件得-k=33反比率函數(shù)的解析式為y，一次函數(shù)的解析式為yx2x（2）由，解得，點A、C的坐標(biāo)分別為（，3），（3，）（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，m）直線與y軸的交點坐標(biāo)為M（0，2），PM5,即m25,22m9或m1，點P的坐標(biāo)為（0，9）或（0，1）。2222y解析依據(jù)圖象及結(jié)論求k值是本題的重點，只有求出k代值，才能A經(jīng)過解方程組求A、C兩點的坐標(biāo)，然后才能解決第小問。S1BS22.例3變式Ox8題圖如圖，點A、B是雙曲線y3上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，若xS陰影1，則S1S2答案解：點A、B是雙曲線y=3上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸

12、作垂線段，x.則根據(jù)反比率函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=3，S1+S2=3+3-12=4故填空答案：4解析欲求S1+S2，只需求出過A、B兩點向x軸、y軸作成的矩形的面積即可，而矩形面積為雙曲線y=的系數(shù)k，由此即可求出S1+S2垂線段求出與坐標(biāo)軸所形3x本題難度較大，考察了反比率函數(shù)的圖象和性質(zhì)及任一點坐標(biāo)的意義例題4、5變式3.若一次函數(shù)y=2x1和反比率函數(shù)y=k的圖象都經(jīng)過點(1，1)2x求反比率函數(shù)的解析式；(2)已知點A在第三象限，且同時在兩個函數(shù)的圖象上，求點A的坐標(biāo)。利用(2)的結(jié)果，若點B的坐標(biāo)為(2，0)，且以點A、O、B、P為極點的四邊形是平行四邊形，請你

13、直接寫出點P的坐標(biāo)答案解：（1）反比率函數(shù)y=k的圖象經(jīng)過點（1，1），1=k，解得k=2，反比率函數(shù)的2x2解析式為y=1；x（2）解方程組得，點A在第三象限，且同時在兩個函數(shù)圖象上，A（13，-2），P（55，2）。，-2）；（3）P（，-2），P（1223222【牢固】1.如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比率函數(shù)y2mA（，）和點B，的圖象相交于點x23與x軸相交于點C（8，0）.（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x取何值時，y1y2變式：當(dāng)x0時，比較y1和y2的大小。答案解：（1）把A（2，3）代入y2mm。反比率函數(shù)的解析式為y26A（，得。把x=6x2+，得2k+b=3k

14、=113）、（8，0）代入y1=，解得。一次函數(shù)的解析式為y1=Ckxb2。8k+b=0 x+4b=42y6xx16x22（2）由題意得。從圖象可得，當(dāng)x0或2x6時，1，解得1，3yx+4y1y22yy。變式：當(dāng)0 x2和x6時，yy；當(dāng)x2或x6時，y1y2；當(dāng)2x6時，121212yy。解析（1）將A、B中的一點代入y2=mx，即可求出m的值，進而獲得反比率函數(shù)解析式，把A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，可獲得k、b的值；（2）根據(jù)圖象可直接獲得y1y2時x的取值范圍本題考察了反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟悉待定系數(shù)法以及理解函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系是解題的重點2.如圖，直

15、線與反比率函數(shù)ym0）的圖象相交于點A、點B，與x軸（x交于點C，其中點A的坐標(biāo)為（2，4），點B的橫坐標(biāo)為4。（1）試確定反比率函數(shù)的關(guān)系式；（2）求AOC的面積.答案解：（1）點A（-2，4）在反比率函數(shù)圖象上，4=k-2，k=-8，反比率函數(shù)解析式為y=8。x（2）B點的橫坐標(biāo)為-4，y=8，y=2B(-4，2)。點A（-2，4）、點B（-4，2）4在直線y=kx+b上，4=-2k+b，2=-4k+b，解得k=1，b=6。直線AB為y=x+6。x軸的交點坐標(biāo)C（-6，0），SAOC=1CO?yA=164=12。22解析k主要考察了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和反比率函數(shù)yx中k的幾何意義，這

16、里體現(xiàn)了數(shù)形聯(lián)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義圖象上的點與原點1所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系S=|k|23.如圖，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比率函數(shù)y1的圖象上，x則圖中陰影部分的面積等于.答案設(shè)圓A的圓心A的坐標(biāo)為(x,y)，由圖可知，x=y，A點在反比率函數(shù)1圖象上，x1y，解得x=1進而所求面積為。xx解析根據(jù)反比率函數(shù)的對稱性，陰影部分的面積正好組成圓，利用圓的面積公式即可求解本題主要考察了反比率函數(shù)的對稱性，理解陰影部分的面積正好組成圓是重點【拔高】1.如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象與坐標(biāo)軸分別交于AB兩點，與反比率函

17、數(shù)ym的x圖象在第二象限的交點為C，CDx軸，垂足為D若OB2，OD4，AOB的面積為1求一次函數(shù)與反比率函數(shù)的解析式；直接寫出當(dāng)x0的解集x答案解：（1）OB=2，AOB的面積為1，B（2，0），OA=1，A（0，1）.b1，k11x102，y2kbb12又OD=4，ODx軸，C（4，y），將x4代入y1x1得y=1，C（4，1）1m，24m4，y4xk（2）當(dāng)x0時，kxb0的解集是x4x解析1）根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)求出一次函數(shù)的解析式再求出C的坐標(biāo)是（-4，1），利用待定系數(shù)法求解即可求反比率函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比率函數(shù)y=mx的圖象在第二象限的交點為C

18、即可求出當(dāng)x0時，kx+b-mx0的解集本題主要考察了反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，用到的知識點是待定系數(shù)法求反比率函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，這里體現(xiàn)了數(shù)形聯(lián)合的思想，重點是根據(jù)反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點求出不等式的解集2.如圖，已知函數(shù)y=x與反比率函數(shù)y=（x0）的圖象交于點A將y=x的圖象向下平移6個單位后與雙曲線y=交于點B，與x軸交于點C（1）求點C的坐標(biāo)；（2）若=2，求反比率函數(shù)的解析式.答案解：（1）y4x向下平移6個位，得y4x6，點C的坐（xC，0），4xC60，33399，0）；xC，點C的坐（22（2）點A的坐（xA，4xA），點B的坐（xB，4xB6），33若OA2，

19、xA2，即xA2xB9CBxB92點A、B在k424，yx上，k3xA,kxB3xB64xA2xB4xB6即2xA22xB29xB，33把代入得：22xB922xB29xB，2xB221xB540，解得x9（舍去），442或xB6，即點B（6，2），k12，反比率函數(shù)的解yB3xB6366212析式y(tǒng)x解析本題考察了反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)知足兩函數(shù)的解析式也考察了相像三角形的判斷與性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象的平移問題課程小結(jié)1.函數(shù)的相交，主要探究函數(shù)相交的交點個數(shù)及怎樣算交點坐，并一步探究x取何，一次函數(shù)與反比率函數(shù)的大小比；2.相交所成的三角形的面。課后作

20、業(yè)【基】.1、反比率函數(shù)yk的圖象如下列圖，點M是該函數(shù)圖象上一點，MN垂直于x軸，垂足是x點N，如果SMON2，則k的值為（）(A)2(B)-2(C)4(D)-4解：由圖象上的點所組成的三角形面積為可知，該點的橫縱坐標(biāo)的乘積絕對值為4，又因為點M在第二象限內(nèi)，所以可知反比率函數(shù)的系數(shù)為k=-4應(yīng)選D解析：根據(jù)反比率函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標(biāo)之積是定值k，同時|k|也是該點到兩坐標(biāo)軸的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積即可解答點評：本題主要考察反比率函數(shù)的比率系數(shù)k的幾何意義反比率函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系，即S=1/2|k|2、若A（a1，

21、b1），B（a2，b2）是反比率函數(shù)y2121圖象上的兩個點，且aa，則bx與b2的大小關(guān)系是（）Ab1b2Bb1=b2Cb1b2D大小不確定解：k0，函數(shù)圖象，圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，a1a20，b1b2應(yīng)選：C解析：根據(jù)反比率函數(shù)的性質(zhì)，k0，a1a20，在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則b1b2.點評：本題考察了由反比率函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，得出兩點所在象限是解題重點3、函數(shù)yxm與ym(m0)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象能夠是（）xyyyyxxxxOOOOABCD解：A、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，相矛盾，

22、故錯誤；B、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，正確；C、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，相矛盾，故錯誤；D、由函數(shù)y=x+m的圖象可知m=0，由函數(shù)y=m/x的圖象可知m0，相矛盾，故錯誤應(yīng)選B解析：先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出m取值，再根據(jù)反比率函數(shù)的性質(zhì)判斷出m的取值，二者一致的即為正確答案點評：本題主要考察了反比率函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題4、如圖，反比率函數(shù)y5的圖象與直線ykx(k0)相交于B兩點，ACy軸，BCxx軸，則ABC的面積等于個面積單位。.解：設(shè)A的坐標(biāo)是：（a，b），則ab

23、=5，B的坐標(biāo)是：（-a，-b），AC=2b，BC=2a，則ABC的面積是：1/2AC?BC=1/22a?2b=2ab=25=10應(yīng)選C解析：設(shè)A的坐標(biāo)是：（a，b），則ab=5，B的坐標(biāo)是：（-a，-b），則AC=2b，BC=2a，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解點評：本題考察了反比率函數(shù)的圖象，以及三角形的面積，正確理解A、B對于原點對稱是重點5函數(shù)y=1與y=x2圖象交點的橫坐標(biāo)分別為a,b，則11的值為。xab解：根據(jù)題意得1/x=x-2，化為整式方程，整理得x2-2x-1=0，函數(shù)y=1/x與y=x-2圖象交點的橫坐標(biāo)分別為a，b，a、b為方程x2-2x-1=0的兩根，a+b=2，a

24、b=-1，1/a+1/b=（a+b）/ab=2/-1=-2故答案為-2解析：先根據(jù)反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)知足兩函數(shù)的解析式獲得1/x=x-2，去分母化為一元二次方程獲得x2-2x-1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)a+b系獲得a+b=2，ab=-1，ab然后變形1/a+1/b得，再利用整體思想計算即可點評：本題考察了反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比率函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)知足兩函數(shù)的解析式也考察了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.變式：函數(shù)y=1與y=x2圖象一個交點的坐標(biāo)為(a,b)，則11。xab【牢固】1.如右圖，直線AB交雙曲線yk于、B，交x軸于點C,B為線段AC的中點，過點B作BMx

25、x軸于M，連結(jié)OA.若OM=2MC,SOAC=12.則k的值為_.解：過A作ANOC于N，BMOCANBM，B為AC中點，MN=MC，OM=2MC，ON=MN=CM，A的坐標(biāo)是（a，b），則B（2a，1/2b），SOAC=121/2?3a?b=12，ab=8，B在y=k/x上，k=2a?1/2b=ab=8，故答案為：8解析：過A作ANOC于N，求出ON=MN=CM，設(shè)A的坐標(biāo)是（a，b），得出B（2a，1/2b），根據(jù)三角形AOC的面積求出ab=8，把B的坐標(biāo)代入即可求出答案點評：本題考察了一次函數(shù)和反比率函數(shù)的交點問題和三角形的面積的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的計算能力2.如果一個正比率函數(shù)的圖象與

26、一個反比率函數(shù)y6A(x1,y1),B(x2,y2)，那的圖象交x么(x2x1)(y2y1)值為.解：正比率函數(shù)的圖象與反比率函數(shù)y=6/x的圖象交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，x1=-x2，y1=-y2，（x2-x1）（y2-y1）=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=64=24故答案為：24解析：正比率函數(shù)與反比率函數(shù)y=6/x的兩交點坐標(biāo)對于原點對稱，依此可得x1=-x2，y1=-y2，將（x2-x1）（y2-y1）展開，依此關(guān)系即可求解點評：考察了反比率函數(shù)與正比率函數(shù)的交點問題，正比率函數(shù)與反比率函數(shù)的兩交點坐標(biāo)對于原點對稱3.已知反比率函數(shù)y6在第一象限的圖象如下列圖，點A在其圖象上，點B為x軸正半x軸上一點，連結(jié)AO、AB，且AOAB，則SAOB解：過點A作ACOB于點C，AO=AB，CO=BC，點A在其圖象上，1/2ACCO=3，1/2ACBC=3，SAOB=6故答案為：6解析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CO=BC，再利用反比率函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出SAOB即可點評：本題主要考察了等腰三角形的性質(zhì)以及反比率函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，正確實割A(yù)OB是解題重點.4.如圖，一次函