1.11 位移分量與應變分量 幾何方程

1、 第十節(jié)位移分量與應變分量幾何方程由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點在空間的位置將發(fā)生變化，就是產(chǎn)生位移。這個移動過程，彈性體將可能同時發(fā)生兩種位移變化。第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個點仍然保持初始狀態(tài)的相對位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運動引起的，因此稱為剛體位移。第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置，這是物體變形引起的位移，稱為變形位移。一般來說，上述兩種位移是同時出現(xiàn)的，當然對于彈性力學的研究，主要是討論后一種位移，因為變形位移與彈性體的應力有著直接的關系。根據(jù)連續(xù)性假設，彈性體在變形前和變形

2、后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點在變形過程中由M（x，y，z）移動至M（x，y，z），這一過程也將是連續(xù)的，如圖11.1所示圖10.1在數(shù)學上，x,y，z必為x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。設MM=S為位移矢量，其三個分量u，v，w為位移分量。則u=x（x,y，z）-x=u（x,y，z）v=y（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z（x，y，z）-z=w（x，y，z）顯然，位移分量u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導數(shù)。為進一步研究彈性體的變形情況，假設從彈性體中分割出一個微分六面體單元，其六個面分別與三個坐標軸垂直。對于微分單元體的變形，將分為兩

3、個部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學分別使用正應變和切應變表示這兩種變形的。對于微分平行六面體單元，設其變形前與x，y，z座標軸平行的棱邊分別為MA，MB，MC,變形后分別變?yōu)镸A，MB，MCo假設分別用x,冬表示x，y，z軸方向棱邊的相對伸長度，即正應變；分別用表示x和y，y和z，z和x軸之間的夾角變化，即切應變。則豈二,氣二,”MAMB，5MC&jr二一的MU2If對于小變形問題，為了簡化分析，將微分單元體分別投影到Oxy,Oyz，Ozx平面來討論。顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標面平行的，變形后棱邊將有相應的轉(zhuǎn)動，但我們討論的是小變形問題，這種轉(zhuǎn)動

4、所帶來的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計算，假設各點的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動的誤差是十分微小的，不會導致微分單元體的變形有明顯的變化。首先討論Oxy面上投影的變形。設ma，mb分別為MA，MB的投影，ma，mb分別為MA，MB，即變形后的MA，MB的投影。微分單元體的棱邊長為dx，dy，dz，M點的坐標為（x,y，z），u（x,y，z），v（x,y,z）分別表示M點x，y方向的位移分量。則A點的位移為u（x+dx，y，z），v（x+dx，y，z）,B點的位移為u（x，y+dy，z），v（x，y+dy,z）。按泰勒級數(shù)將A，B兩點的位移展開，并且略去二

5、階以上的小量，則A，B點的位移分別為因為所以同理可得dvv+dy卽Fhr冷丄MrArmrar=dx+(bc-M=d?c+dx;StSxMAdx+dx-dxr紀迦二迦dx3xTOC o 1-5 h zdu.dv.du.u+dx,v+dx和就+dy.I-.I-.I-.J HYPERLINK l bookmark8 dx.tb：甥9vs-$卽由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點微分線段的相對伸長度，即正應變。顯然微分線段伸長，則正應變Ss,s大于零，反之則小于零。xyz以下討論切應變表達關系假設卩為與x軸平行的微分線段ma向y軸轉(zhuǎn)過的角度，卩為與y軸平行的mb向x軸轉(zhuǎn)過的角yxxy度。則切應變JFJINRA

6、T卻二一Zb訕W二22因為你tanc+dxBxSv1*加卩兀3x上式的推導中，利用了小變形條件下位移的導數(shù)是高階小量的結論。同理可得卩和卩可為正或為負，其正負號的幾何意義為：卩大于零，表示位移v隨坐標x而增加，即x方向1yx1xy1yx的微分線段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應變表達式，則同理可得Su+切應變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。綜上所述，應變分量與位移分量之間的關系為上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程。柯西方程給出了位移分量和應變分量之間的關系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導數(shù)即可求得應變；但是如果已知應變，由于六個應變分量對應三個位移分量，則其求解將相對復雜。這

7、個問題以后作專門討論。幾何方程給出的應變通常稱為工程應變。如果使用張量符號，則幾何方程可以表達為則應變分量備將滿足二階張量的座標變換關系,應變張量分量與工程應變分量的關系可表示為第十一節(jié)純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移學習思路：應變分量通過位移的偏導數(shù)描述了一點的變形，對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。旦是這還不能完全描述彈性體的變形，原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動。通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移與純變形位移之間的關系。剛體轉(zhuǎn)動通過轉(zhuǎn)動分量描述。剛性轉(zhuǎn)動位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點沒有變形，則無限鄰近它的任意一點的位移由兩部分組成，平

8、動位移和轉(zhuǎn)動位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。應變可以描述一點的變形，即對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應變分析僅僅討論了棱邊伸長和夾角變化，而沒有考慮微分單元體位置的改變，即單元體的剛體轉(zhuǎn)動。通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移與純變形位移之間的關系。設P點無限鄰近O點，P點及其附近區(qū)域繞O作剛性轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過微小角度。設轉(zhuǎn)動矢量為血，OP之間的距離矢量為P，如圖12.1所示圖11.13=十氣j十叫比p=xivyjzk引入拉普拉斯算符矢量dySz設P點的位移矢量為S，有由于位移矢量可以表示

9、為S=xp,所以S=ui+vj+wkVx=Vx（wx二卩P）曲一3-（些色乜=3w-（少，十叫j十叫氐）-2o其中13譏1屜Sw叭，叭，叟為轉(zhuǎn)動分量，是坐標的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動。設M點的坐標為（x,y，z）,位移（u,v，w）。與M點鄰近的N點，坐標為（x+dx，y+dy，z+dz），位移為（u+du.v+dv,w+dw）。即dz則MN兩點的相對位移為（du,dv,dw）。因為位移為坐標的函數(shù)，所以同理可得以上位移增量公式中，前三項為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項是某點鄰近區(qū)域的材料繞該點像剛體一樣轉(zhuǎn)動的剛性轉(zhuǎn)動位移。剛性轉(zhuǎn)動位移的物理意義為，如果彈性體中某點及鄰近區(qū)域沒有

10、變形，則無限鄰近這一點的位移，根據(jù)剛體動力學可知，是由兩部分組成。分別是隨這點的平動位移和繞這點的轉(zhuǎn)動位移。對于彈性體中某一點，一般還要發(fā)生變形，因此位移中還包括純變形位移?？偟膩碇v，與M點無限鄰近的N點的位移由三部分組成的：隨同M點作平動位移。繞M點作剛性轉(zhuǎn)動在N點產(chǎn)生的位移。由于M點及其鄰近區(qū)域的變形在N點引起的位移。轉(zhuǎn)動分量,，對于微分單元體，描述的是剛性轉(zhuǎn)動，但其對于整個彈性體來講，仍屬于xyz變形的一部分。三個轉(zhuǎn)動分量和六個應變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了方位的變化。位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得dz顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉(zhuǎn)動分

11、量引起的剛體轉(zhuǎn)動位移，另一部分是應變分量引起的變形位移增量。第十二節(jié)應變的坐標變換與應變張量上一節(jié)我們引入了應變分量，本節(jié)將討論不同坐標系下一點的應變分量的關系。與坐標轉(zhuǎn)軸時的應力分量的變換一樣，我們將建立應變分量轉(zhuǎn)軸的變換公式，即已知.在舊坐標系中的分量，求其在新坐(/標系中的各分量o根據(jù)幾何方程，坐標平動將不會影響應變分量。因此只需坐標轉(zhuǎn)動時的應變分量變換關系，設新坐標系Oxyz是舊坐標系Oxyz經(jīng)過轉(zhuǎn)動得到的，如圖13.1所示圖12.1新舊坐標軸之間的夾角的方向余弦為J7x婦m、克z4込如圖所示，設變形前的M點，變形后移至M點，設其位移矢量MM=S，則g二皿十M十詡止二口十1所以，新坐標

12、系的位移分量為，冰（工；兒刃）二S二站+加1+wnLvr（r?iy,Jjr）=SJf=ul2亠伽2*誹閔二少馭二叫+*叫+w用g根據(jù)幾何方程，根據(jù)復合函數(shù)的微分關系durdur3x3iiFdzddd.sK,二二十十二（A十擁1+M,）就9cFSxdydz5xr3工3y撫+叫2+吃if）OA+蝕i+m）二閉+眈冷卅耳+h吋呷+蝕角+唧（?adydz同理推導可得其余五個應變分量的變換公式，即耳二彳6十硏5十川;耳十A心十用/V加十如卉二錯耳F利+說+暢2蔦+朋2切4榔幾耳二好6十玩銳十用烈十叫為十蝕弧十叢嘉人P二2站孔十加嚴灼十2角抵爲十山叫十帥1）&十（叫十叫）*十（叩2十哪1）入畑二2厘耳十2

13、叫馮4加代爲十（帥乜叫）&十（叫花卄叫）*十花十從也二2即1+2叫尬灼+2角叫務+腔+AJy呼+（腮瀘1+蝕小產(chǎn)+（川叢如皿如果以n.（i,j=1,2,3）表示新舊坐標系之間的夾角的方向余弦，并注意到應變張量表達式，則上述應（/變分量變換公式可以寫作%因此，如果將應變分量寫作下列形式虧二產(chǎn)ySA則應變分量滿足張量變換關系。與應力張量相同，應變張量也是二階對稱張量。由公式可知，一點的六個獨立的應變分量一旦確定，則任意坐標系下的應變分量均可確定，即一點的應變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標變換后各應變分量均發(fā)生改變，但它們作為一個整體，所描述的一點的應變狀態(tài)是不會改變的。第十三節(jié)體積應變本節(jié)介紹物

14、體變形后的單位體積變化，即體積應變。討論微分平行六面體單元，如圖14.1所示圖13.1變形前，單元體的三條棱邊分別為MA，MB，MC，長dx，dy，dz，其體積為：V=dxdydz設M點坐標為（x,y，z）,則A，B，C點坐標分別為（x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x,y,z+dz）。彈性體變形后，其三條棱邊分別變?yōu)镸A，MB，MC。其中際4匕（L十竺）dxM空切十也畑oxrttM砂竺如亠（1+空）切7也粧如即卽妙C匕竺血十空対十（H迦）應dzdzdz若用V表示變形后的微分單元體體積，則二二將行列式展開并忽略二階以上的高階小量，則 iiVf-(1+=(1+若用e表示單位體積的變化即

15、體積應變，則由上式可得VVe=+Vxyz顯然體積應變e就是應變張量的第一不變量人。因此e常寫作dudvdwTe+Jdxdydz1體積應變e大于零表示微分單元體膨脹，小于零則表示單元體受壓縮。若彈性體內(nèi)e處處為零,則物體變形后的體積是不變的。第十四節(jié)主應變和應變不變量彈性體內(nèi)任一點的六個應變分量，即應變張量隨著坐標軸的旋轉(zhuǎn)而改變。因此是否可以像應力張量一樣，對于某一個確定點，在某個坐標系下所有的切應變分量都為零，僅有正應變分量不等于。即能否找到三個相互垂直的方向，在這三個方向上的微分線段在物體變形后只是各自改變長度，而其夾角仍為直角。答案是肯定的。在任何應變狀態(tài)下，至少可以找到三個這樣的垂直方向

16、，在該方向僅有正應變而切應變?yōu)榱?。具有該性質(zhì)的方向，稱為應變主軸或應變主方向，該方向的應變稱為主應變。設手為物體內(nèi)某點在已知坐標系的應變張量，求其主應變1，2，3及應變主軸方向幻，n2,n3。設MN為M點的主軸之一，其變形前的方向余弦為1，m，n，主應變?yōu)?。令dp表示MN的長度，則MN相對伸長為dp，如圖15.1所示圖14.1設M點的位移為（u,v，w）,則N點的位移為（u+du，v+dv,w+dw）。因為du=在x方向的變形位移分量+剛性轉(zhuǎn)動位移在x方向的分量=1dp+剛性轉(zhuǎn)動位移在x方向的分量根據(jù)公式血二耳占十半打如十+役血-叫如+弓血即du等于純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移在x方向的分量之和。

17、根據(jù)上述公式，可得或者寫作同理可得的+弓y二。十扌？十（耳旬兀二上述公式是關于l,m,n的齊次線性方程組。對于l,m,n的齊次線性方程組，其非零解的條件為其系數(shù)行列式的值為零。即將上式展開，可得求解主應變得特征方程，m-瀘-73=o其中A二務二耳+5+務J2=邑弓為!爲兮扌+心+化）顯然與應力不變量相同，J,J2，J3為應變不變量，分別稱為第一，第二和第三應變不變量。根據(jù)特征方程，可以求解得到三個主應變。將求解后的主應變代入公式，并注意到任意一點三個方向余弦的平方和等于1,貝y可解應變主軸的方向余弦。由應力張量和應變張量，應力不變量和應變不變量之間的公式的比較可知，主應變和應變主軸的特性與主應

18、力和應力主軸是類似的。第十五節(jié)應變協(xié)調(diào)方程學習思路:變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學意義是：要使以三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不矛盾，則應變分量必須滿足的必要條件。應變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)性質(zhì)作出解釋。如果變形不滿足一定的關系，變形后的物體將出現(xiàn)縫隙或嵌入現(xiàn)象，不能重新組合成連續(xù)體。為使變形后的微分單元體連續(xù)，應變分量必須滿足一定的關系，這一關系就是應變協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南(SaintVenant)方程。假如彈性體是單連通域的，應變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。利用位移函數(shù)的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應變協(xié)調(diào)方程。對于

19、多連通域問題，應變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上位移連續(xù)補充條件作為充分條件。幾何方程表明，六個應變分量是通過三個位移分量表示的，因此六個應變分量將不可能是互不相關的,應變分量之間必然存在某種聯(lián)系。這個問題對于彈性力學分析是非常重要的。因為如果已知位移分量，容易通過幾何方程的求導過程獲得應變分量；但是反之，如果已知應變分量，則幾何方程的六個方程將僅面對三個未知的位移函數(shù),方程數(shù)顯然超過未知函數(shù)的個數(shù)，方程組將可能是矛盾的。隨意給出六個應變分量，不一定能求出對應的位移。例如：例1設應變分量為：廿證廠/耳=嘉=厲丸求其位移解：加一敗9V一37二応怎二寸宀產(chǎn)(刃=2兒二八炎)顯

20、然該應變分量沒有對應的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個應變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。首先從幾何方程中消去位移分量，把幾何方程的第一式和第二式dudvdxdvdudvJ=Sz利用第四式，可得色尤分別對x和y求二階偏導數(shù)，然后相加，并 若將幾何方程的第四，五，六式分別對z，x,y求一階偏導數(shù)，然后四和六兩式相加并減去第五式,莖+生+九二2空dy&dz將上式對x求一階偏導數(shù)，則二2吃f)ybz3sydxdyd2vdz2dyBzdydzdxdydzdxdy分別輪換x,y,z，則可得如下六個關系式，玉佇&23/2竺+汽竺+空二&23x2dxdz(-生+亙+如)二2絲3xdzd

21、ydz上述方程稱為應變協(xié)調(diào)方程或者變形協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南(SaintVenant)方程.變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學意義是：要使三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾，則應變分量必須滿足的必要條件。應變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應變分量必須滿足一定的關系，這一關系就是應變協(xié)調(diào)方程。假如彈性體是單連通域的，則應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。為

22、證明應變協(xié)調(diào)方程是變形體連續(xù)的必要和充分條件，我們可利用彈性體變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。我們的目的就是證明：如果已知應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程，則對于單連通域，就一定可以通過幾何方程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。下面我們推導單連通域的變形協(xié)調(diào)關系。所謂的單連通域，是指該物體內(nèi)任一條閉曲線可以收縮到一點而不越出界外。設應變分量萬單值連續(xù)，并有連續(xù)的二階導數(shù)，則由+)dz1du1du.du.1du=dx+dy+dz二占”dx+3y3z城二如心処咖+處血dxdydz輪換x,y,z計算，可得dv,dw和d,dyz如果能夠通過積分，計算出r11=o+J兀十（亍子智

23、_%）十（廳尸茫+環(huán)）止馨2V=Vw二肌fl?=fl?+氣）砥十虧十弓&_叫）血）血+（払S）加+泌巴趣+也My+啦血3kdydz HYPERLINK l bookmark90 一dx+一-dy+血dxdydz旦去+理咖+理血dxdydz上述位移和轉(zhuǎn)動分量如果是單值連續(xù)的，則可得到彈性體的位移單值連續(xù)的條件。保證上述位移單值連續(xù)的條件是其積分與積分路徑Pf無關。其充分與必要條件為dz2叫)叫）dzxaj、+叫）=亦（芒廠叫）dz根據(jù)上述公式的第三式，可得同理根據(jù)上述公式的第四和第八式，可得x對y,z的偏導數(shù)。即日叫=屮冷_%）dx23y&3叫_1西嚴一嗎卽2dy3z日叫_為_1%3zdy2dz

24、將計算x對y,Z的偏導數(shù)回代到公式的第一式，則可以得到轉(zhuǎn)動分量X表達式。如使H單值連續(xù)，其必要與充分條件是1A雖-生）=AJ%_込dydydzdx2dydz（咤dydy或?qū)懽鱠y2dz2dydz切8忑dydtz3低同理討論y和z的單值連續(xù)條件可得出類似的四個公式。將單值連續(xù)的x,y和z代入位移計算公式，則可得到單值連續(xù)的位移u，v，wo%由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。如果彈性體中的一條封閉曲線，若收縮至一點必須越出域外，則為：多連通域物體一個多連通域物體，可用若干個截面將物體部分的截開，使之成為單連通域。如果所需的截面數(shù)為n則物體為n+1連域。平面為有兩個環(huán)形孔的

25、物體，兩個截面即可使其成為單連通域，所以為三連域。對于多連通域問題，應變滿足變形協(xié)調(diào)方程并不能確保位移在分割后的單連通域內(nèi)單值連續(xù)。因為當位移分別從截面兩側(cè)趨近于截面上的某一點時，一般的說其將趨于不同的值。分別用u+，v+，w+和u-，v-，w-表示截面兩側(cè)的位移，則多連通域的位移單值連續(xù)條件還需要IIn補充條件u+=u-，v+=v-，w+=w-因此，對于多連通域問題，應變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上上述補充條件后，條件才是充分的。第十六節(jié)彈性應變能函數(shù)彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要發(fā)生變化。當外力緩慢地（不致引起物體產(chǎn)生加速運動）加到物體

26、上時，視作靜力，便可略而不計系統(tǒng)的動能，同時也略去其他能量（如熱能等）的消耗，則外力勢能的變化就全部轉(zhuǎn)化為應變能（一種勢能）儲存于物體的內(nèi)部。我們給出單位體積應變能的表達式。為此，以丿乍用在微小單元ABCD兩對邊為例來說明（圖18.1）。x圖16.1由圖可知，作用在abcd單元上的外力為AD與CB邊的。而bdydz在AD邊單位應變上所做的功為dydzdu,cdydz在CB邊單位應變xxxx上所做的功為bdydzxJddu7、du+dxIx丿。所以，外力在ABCD變形上所做的總功為4(警1邛皿=urder(16.1)而y方向雖有變形，但沒有外力作用，所以沒有做功。上述b所做的功，將全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)