Black-Scholes期權定價模型

1、2022/8/241Black-Scholes期權定價模型.2022/8/242Black-Scholes期權定價模型的根本思緒期權是標的資產的衍生工具，其價錢動搖的來源就是標的資產價錢的變化，期權價錢遭到標的資產價錢的影響。標的資產價錢的變化過程是一個隨機過程。因此，期權價錢變化也是一個相應的隨機過程。金融學家發(fā)現(xiàn)，股票價錢的變化可以用Ito過程來描畫。而數(shù)學家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價錢的Ito過程推導出衍生證券價錢所遵照的隨機過程。在股票價錢遵照的隨機過程和衍生證券價錢遵照的隨機過程中， Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只遭到同一種不確定性的影響，假設經過買入和賣空一定

2、數(shù)量的衍生證券和標的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風險利率。從而得到一個重要的方程： Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權價錢的解析解。.2022/8/243為什么要研討證券價錢所遵照的隨機過程?期權是衍生工具，運用的是相對定價法，即相對于證券價錢的價錢，因此要為期權定價首先必需研討證券價錢。期權的價值正是來源于簽署合約時，未來標的資產價錢與合約執(zhí)行價錢之間的預期差別變化，在現(xiàn)實中，資產價錢總是隨機變化的。需求了解其所遵照的隨機過程。研討變量運動的隨機過程，可以協(xié)助我們了解在特定時辰，變量取值的概率分布情況。.2022/8/244隨

3、機過程隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。隨機過程的分類離散時間、離散變量離散時間、延續(xù)變量延續(xù)時間、離散變量延續(xù)時間、延續(xù)變量.2022/8/245幾種隨機過程規(guī)范布朗運動維納過程 來源于物理學中對完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運動的描畫。 設t代表一個小的時間間隔長度，z代表變量z在t時間內的變化，遵照規(guī)范布朗運動的z具有兩種特征：特征1： 其中，代表從規(guī)范正態(tài)分布即均值為0、規(guī)范差為1.0的正態(tài)分布中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔t ，z的值相互獨立。特征的了解特征1： ;方差為特征2: 馬爾可夫過程：只需變量的當前值才與

4、未來的預測有關，變量過去的歷史和變量從過去到如今的演化方式與未來的預測無關。規(guī)范布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊方式。 .2022/8/246規(guī)范布朗運動續(xù)調查變量z在一段較長時間T中的變化情形：zTz(0)表示變量z在T中的變化量 又可被看作是在N個長度為t的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/ t 。很顯然，這是n個相互獨立的正態(tài)分布的和：因此，zT-z0也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N t =T，規(guī)范差為 。為何定義為：當我們需求調查恣意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而規(guī)范差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間

5、長度成比例，不受時間劃分方法的影響。相應的一個結果就是：規(guī)范差的單位變?yōu)檠永m(xù)時間的規(guī)范布朗運動：當t 0時，我們就可以得到極限的規(guī)范布朗運動.2022/8/247普通布朗運動變量x遵照普通布朗運動：其中，a和b均為常數(shù)，z遵照規(guī)范布朗運動。 這里的a為漂移率Drift Rate，是指單位時間內變量x均值的變化值。 這里的b2為方差率Variance Rate，是指單位時間的方差。 這個過程指出變量x關于時間和dz的動態(tài)過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它闡明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。 可以發(fā)現(xiàn)，恣意時

6、間長度后，x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，規(guī)范差為 ,方差為b2T.2022/8/248Ito過程和Ito引理伊藤過程Ito Process：普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，假設把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們就得到其中，z遵照一個規(guī)范布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2都隨時間變化。這就是伊藤過程。Ito引理假設變量x遵照伊藤過程，那么變量x和t的函數(shù)G將遵照如下過程：其中，z遵照一個規(guī)范布朗運動。由于a 和b都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵照伊藤過程，它的漂移率為方差率為.2022/8/249證券價錢的變化過程目的：找

7、到一個適宜的隨機過程表達式，來盡量準確地描畫證券價錢的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學處置上的簡單性。根本假設：證券價錢所遵照的隨機過程：其中，S表示證券價錢，表示證券在單位時間內以延續(xù)復利表示的期望收益率又稱預期收益率，2 表示證券收益率單位時間的方差，表示證券收益率單位時間的規(guī)范差，簡稱證券價錢的動搖率Volatility，z遵照規(guī)范布朗運動。 普通和的單位都是年。很顯然，這是一個漂移率為S、方差率為2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運動.2022/8/2410Black-Scholes微分方程：根本思緒思緒：由于衍生證券價錢和標的證券價錢都受同一種不確定性dz影響，假設匹配適當?shù)脑?，這種不確定

8、性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個包括一單位衍生證券空頭和假設干單位標的證券多頭的投資組合。假設數(shù)量適當?shù)脑挘瑯说淖C券多頭盈利或虧損總是會與衍生證券空頭的虧損或盈利相抵消，因此在短時間內該投資組合是無風險的。那么，在無套利時機的情況下，該投資組合在短期內的收益率一定等于無風險利率。 .2022/8/2411BlackScholes微分方程B-S微分方程所需的假設條件：1、證券價錢遵照幾何布朗運動，且期望收益率和動搖率為常數(shù)2、允許賣空標的資產3、沒有買賣費用和稅收，一切證券都是完全可分的4、在衍生證券的有效期內沒有紅利支付5、不存在無風險套利時機6、證券買賣是延續(xù)的，價錢變動是延

9、續(xù)的7、在衍生證券的有效期內，無風險利率r為常數(shù)。.布萊克舒爾斯微分方程的推導 我們假設證券價錢S遵照幾何布朗運動：那么： 1 假設 f 是依賴于 S 的衍生證券的價錢，那么： (2) . 為了消除 ，我們可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值， 那么： (3) 在 時間后： 4將式1和2代入式4，可得： (5) .在沒有套利時機的條件下：把式3和5代入上式得：化簡為： (6) 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價錢取決于標的證券價錢S的一切衍生證券的定價。 .2022/8/2415注：此方程有許多解，解方程時得到的特定衍生證券取決于運

10、用的邊境條件，這些邊境條件確定了在S和t 的能夠取值的邊境上的衍生證券的價值。歐式看跌期權邊境條件為對于歐式看漲期權邊境條件為.2022/8/2416BS公式的一個重要結論風險中性定價原理 從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決議公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當前市價S、時間t、證券價錢的動搖率和無風險利率r，它們全都是客觀變量，獨立于客觀變量風險收益偏好。而受制于客觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決議公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結論，作出一個可以大大簡化我們的任務的風險中性假設：在對衍生證券定價時，一切投資者都是風險中性的。.2022/8/2417風險中性定價原理所謂風險中性，即無論實踐風險如何，投資者都只需求無風險利率報答。風險中性假設的結果：我們進入了一個風險中性世界