關(guān)于數(shù)學(xué)三的差分方程

1、關(guān)于數(shù)學(xué)三的差分方程以下材料來自于我的考研數(shù)學(xué)寶典經(jīng)濟(jì)類和互聯(lián)網(wǎng)考綱要求了解差分與差分方程及其通解與特解等概念。掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求階方法。會(huì)應(yīng)用微分方程和差分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。微分方程實(shí)際上只是差分方程的離散化,我們高中就學(xué)過差分方程，只是那時(shí)稱為數(shù)列，如等差數(shù)列，等比數(shù)列等等。還記得我們使用過數(shù)學(xué)歸納法求解數(shù)列通項(xiàng)的么？只是現(xiàn)在有一套固定的解法。不需要技巧?！竞瘮?shù)的差分】一元函數(shù)y(x)在點(diǎn)x處的差分定義為y(x+1)-yG)。當(dāng)x是離散變量時(shí),常將y(x)寫作y，故將差分記作y-y。TOC o 1-5 h zxxx+1x例對(duì)函數(shù)yx2，有Ay2x+1。xx【一階常系數(shù)

2、線性差分方程】是指未知函數(shù)y的如下方程：y-ayf(x)(a主0)xx+1x當(dāng)f(x)0時(shí)，稱其為齊次方程，否則稱為非齊次方程?！君R次方程的基本解和通解】齊次差分方程y-ay0的基本解為yax，通解為x+1xxyCax，其中C為任意常數(shù)。x【非齊次方程的通解結(jié)構(gòu)】非齊次差分方程y-ayf(x)(a豐0)的通解為x+1xyCax+y*，其中Cax是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，y*是非齊次方程的特解。xxx【非齊次方程的特解求法】采用待定系數(shù)法確定特解y*。還是微分方程的特解的六字方針:x同類型，再調(diào)整。具體寫法為：如果重點(diǎn)考慮指數(shù)函數(shù)，當(dāng)f為其他類型是比較麻煩，原理一樣f(x)bxP(x)，則y*bx

3、P(x)-Xk。(其中，P(x)是方程中給定的n次多項(xiàng)式函數(shù),nxnnP6)是待定的n次多項(xiàng)式函數(shù)。如果ba，則取k1，否則取k0，這就是調(diào)整！)n【計(jì)算差分方程的定解】如果問題中給出初始條件如x1,y3，則可以將其代入通解來求出任意常數(shù)得到定解。例y3y2x+1x解對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為y=C3x，非齊特解可設(shè)成y*=A，回代：xA一3A=2A=一1,故原方程的通解為y=C3x-1例2-199703yy=12tt+1t解對(duì)應(yīng)的齊次方程基本解為y二1；非齊特解設(shè)成y=(A+Btbt代回方程得tt2A+Bt2t-Ca+Bt2t12t；求得A-2,B1。因此，原方程通解為yC+(-2+1)2t。練

4、習(xí)-1998032y+5yt。答案：yy+y*C(-5)t+t-t+1t2tc1272例3求差分方程yt+1+yt-3+2t的通解。解：特征方程為九-10，特征根九1。齊次差分方程的通解為ycC。由于f(t)3+2t-Ptp1(t)，P=1是特征根。因此非齊次差分方程的特解為y*(t)t(B0+Bt)。將其代入已知差分方程得B+B+2Bt3+2t，011比較該方程的兩端關(guān)于t的同次幕的系數(shù)，可解得氣-2，B11。故y*(t)2t+12。于是，所求通解為y=y+y*=c+2t+12，(c為任意常數(shù))。tc例4-200103建立差分方程只考過一次某公司每年的工資總額在比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加200萬元，若以w表示第t年t的工資總額，則w滿足的差分方程為w1.2w+2ttt-1【微分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用】對(duì)問題中的經(jīng)濟(jì)變量的變化率的關(guān)系式求解，便可以求得未知函數(shù)的解。例某商品的需求量x對(duì)價(jià)格p的彈性為n=-3p3，市場(chǎng)對(duì)該商品的最大需求量為1萬件，求需求函數(shù)。解由彈性公式得微分方程：dxp,=