六年級奧數(shù)數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用（二）教師版

1、PAGE |初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-提高-精英學(xué)生版| 第1講 第頁 PAGE 頁碼 7 / NUMPAGES 總頁數(shù) 75-2-2.數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用（二）教學(xué)目標(biāo)六年級奧數(shù)數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用二教師版運用整除的性質(zhì)解題；整除性質(zhì)的綜合運用.知識點撥一、常見數(shù)字的整除判定方法1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除,這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被4或25整除,這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除,這個數(shù)就能被8或125整除；2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除,這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除,這個數(shù)就能被9整除；3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字

2、之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除,那么這個數(shù)能被11整除.4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除,那么這個數(shù)能被7、11或13整除.5.如果一個數(shù)能被99整除,這個數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的所有數(shù)如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個數(shù)字,如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)的和是99的倍數(shù),這個數(shù)一定是99的倍數(shù)。【備注】以上規(guī)律僅在十進制數(shù)中成立.二、整除性質(zhì)性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除,那么它們的和或差也能被c整除即如果ca,cb,那么cab性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除,b又能被數(shù)c整除,那么a也能被c整除即如果ba,

3、cb,那么ca用同樣的方法,我們還可以得出：性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除,那么a也能被b或c整除即如果bca,那么ba,ca性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除,也能被數(shù)c整除,且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì),那么a一定能被b與c的乘積整除即如果ba,ca,且b,c=1,那么bca 例如：如果312,412,且3,4=1,那么34 12性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除,那么am也能被bm整除如果 ba,那么bmamm為非0整數(shù)；性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除,且數(shù)c能被數(shù)d整除,那么ac也能被bd整除如果 ba ,且dc ,那么bdac；例題精講模塊一、11系列以多位數(shù)142857為例,說明被11整除的另一規(guī)律

4、就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能否被11整除. 【考點】整除之11系列 【難度】2星 【題型】解答略【答案】因為根據(jù)整除性質(zhì)1和鋪墊知,等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被11整除,再根據(jù)整除性質(zhì)1,要判斷能否被11整除,只需判斷能否被11整除,因此結(jié)論得到說明.試說明一個4位數(shù),原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是11的倍數(shù)如：1236為原序數(shù),那么它對應(yīng)的反序數(shù)為6321,它們的和7557是11的倍數(shù)【考點】整除之11系列 【難度】2星 【題型】解答略【答案】設(shè)原序數(shù)為,則反序數(shù)為,則 ,因為等式的右邊能被整除,所以 能被11整除一個4位數(shù),把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個新的4位數(shù).已知這兩個4位數(shù)

5、的和是以下5個數(shù)的一個：9865；9866；9867；9868；9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? 【考點】整除之11系列 【難度】2星 【題型】解答設(shè)這個4位數(shù)是,則新的4位數(shù)是.兩個數(shù)的和為,是11的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9867是11的倍數(shù),故正確的答案為9867【答案】9867模塊二、7、11、13系列以多位數(shù)為例,說明被7、11、13整除的規(guī)律. 【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】解答略【答案】 因為根據(jù)整除性質(zhì)和鋪墊知,等式右邊第一個括號內(nèi)的數(shù)能被7、11、13整除,再根據(jù)整除性質(zhì)1,要判斷能否被7、11、13整除,只需判斷能否被7、11、13整除,因

6、此結(jié)論得到說明.已知道六位數(shù)是13的倍數(shù),求中的數(shù)字是幾？ 【考點】整除之7、11、13系列 【難度】2星 【題型】填空根據(jù)一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除,那么這個數(shù)能被7、11或13整除的特點知道：,是13的倍數(shù),是8的時候是13倍數(shù),所以知道方格中填1?！敬鸢浮?三位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是5,a和b,將它連續(xù)重復(fù)寫2008次成為：.如果此數(shù)能被91整除,那么這個三位數(shù)是多少？ 【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】填空因為,所以也是7和13的倍數(shù),因為能被7和13整除的特點是末三位和前面數(shù)字的差是7和13的倍數(shù),由此可知也是

7、7和13的倍數(shù),即也是7和13的倍數(shù),依次類推可知末三位和前面數(shù)字的差即為：也是7和13的倍數(shù),即也是7和13的倍數(shù),由此可知也是7和13的倍數(shù),百位是5能被7和13即91整除的數(shù)是：,所以.【答案】546已知四十一位數(shù)其中5和9各有20個能被7整除,那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空我們知道這樣的六位數(shù)一定能被7、11、13整除。原41位數(shù)中從高位數(shù)起共有20個5,從低位數(shù)起共有20個9,那么我們可以分別從低位和高位選出555555,和999999,從算式的結(jié)構(gòu)上將就是進行加法的分拆,即：555555100035個0+5555551000

8、29個0+5599+999999100012個0+999999.這個算式的和就是原來的41位數(shù),我們可以發(fā)現(xiàn)每一組含有555555或999999因數(shù)的部分都已經(jīng)是7的倍數(shù),唯獨剩余5599待定,那么只要令5599是7的倍數(shù)即可,即只要44是7的倍數(shù)即可,應(yīng)為6?！敬鸢浮?應(yīng)當(dāng)在如下的問號“？”的位置上填上哪一個數(shù)碼,才能使得所得的整數(shù)可被7整除？ 【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空由于可被7整除,因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個數(shù)碼,并不改變其對7的整除性,于是還剩下“”從中減去63035,并除以10,即得“”可被7整除.此時不難驗證,具有此種形式的三位數(shù)中,只

9、有322和392可被7整除所以？處應(yīng)填2或9.【答案】2或9是77的倍數(shù),則最大為_?【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,4年級,第9題 既不是的倍數(shù),也不是的倍數(shù) 所以是和的倍數(shù) , 所以【答案】一個19位數(shù)能被13整除,求內(nèi)的數(shù)字 【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空13|,13|,13|7777770000000+13|777777,13|7777770000000,13|,13|444,13|2,設(shè)=7770,0【答案】6稱一個兩頭首位與末尾都是的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”。一個四位數(shù)的“兩頭蛇數(shù)”去掉兩頭,得到一個兩位數(shù),它恰

10、好是這個“兩頭蛇數(shù)”的約數(shù)。這個“兩頭蛇數(shù)”是 。寫出所有可能【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,5年級,決賽,第9題,10分去掉頭尾后的兩位數(shù)必為的約數(shù)。的兩位數(shù)的約數(shù)有,所有可能的數(shù)為,?！敬鸢浮克锌赡艿臄?shù)為,模塊三、特殊的數(shù)字系列學(xué)生問數(shù)學(xué)老師的年齡老師說：“由三個相同數(shù)字組成的三位數(shù)除以這三個數(shù)字的和,所得結(jié)果就是我的年齡?！崩蠋熃衲?歲?！究键c】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,決賽,第10題,12分方法一：操作找規(guī)律,當(dāng)這個三位數(shù)為時,當(dāng)這個三位數(shù)為時,所以老師今年歲。方法二,設(shè)而不求設(shè)這個三位數(shù)為

11、時,根據(jù)題意列出式子整理得到：。 【答案】已知兩個三位數(shù)與的和能被37整除,試說明：六位數(shù)也能被37整除【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】解答略【答案】,因為999能被37整除,所以能被37整除,而也能被37整除,所以其和也能被37整除,即能被37整除一個4位數(shù),把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個新的4位數(shù).再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個更新的四位數(shù),已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：9865；9867；9462；9696；9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少? 【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】解答設(shè)這個4位數(shù)是,則最新的4位數(shù)

12、是.兩個數(shù)的和為,是101的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9696是101的倍數(shù),故正確的答案為9696.【答案】9696一個六位數(shù)各個數(shù)字都不相同,且這個數(shù)字能被17整除,則這個數(shù)最小是_？【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,4年級,第11題各個數(shù)字不同的六位數(shù)最小是,2 ,123505+17=123522, , 最小是【答案】王老師在黑板上寫了這樣的乘法算式:,然后說道:“只要同學(xué)們告訴我你們喜歡1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪個數(shù),我在括號里填上適當(dāng)?shù)某藬?shù),右邊的積一定全由你喜歡的數(shù)字組成?！毙∶鲹屩f：“我喜歡3?！蓖趵蠋熖钌铣藬?shù)“27”結(jié)果

13、積就出現(xiàn)九個3；小宇舉手說：“我喜歡7?！敝灰娡趵蠋熖钌铣藬?shù)“63”,積久出現(xiàn)九個7：,小麗說：“我喜歡8?！蹦敲此闶街袘?yīng)填上的乘數(shù)是 .【考點】整除之特殊的數(shù)字系列 【難度】2星 【題型】填空實際上有,因此12345679乘以為1,2,3,4,5,6,7,8,9得到的積就能出現(xiàn)9個,所以要想得到9個8應(yīng)該乘以【答案】模塊四、綜合系列有四個非零自然數(shù),其中, .如果能被2整除, 能被3整除, 能被5整除, 能被7整除,那么最小是 【考點】整除之綜合系列 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,高年級,復(fù)賽,6題令,則,因為能被7整除,最小14,此時取不到5的倍數(shù)；若,則,所以最小是28【答

14、案】若四位數(shù)能被15整除,則代表的數(shù)字是多少？【考點】整除之綜合系列 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,復(fù)賽,第4題,6分因為15是3和5的倍數(shù),所以既能被3整除,也能被5整除能被5整除的數(shù)的個位數(shù)字是0或5,能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)當(dāng)時,不是3的倍數(shù)；當(dāng)時,是3的倍數(shù)所以,代表的數(shù)字是5【答案】5在六位數(shù)的三個方框里分別填入數(shù)字,使得該數(shù)能被15整除,這樣的六位數(shù)中最小的是_.【考點】整除之綜合系列 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,初賽,第13題,5分15=53,最小數(shù)為302010【答案】06這7個數(shù)字能組成許多個沒有重復(fù)數(shù)字的7位數(shù),其

15、中有些是55的倍數(shù),最大的一個是 ?！究键c】整除之綜合系列 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,五年級,初賽,第8題如果組成的7位數(shù)是55的倍數(shù),說明這個數(shù)既是5的倍數(shù)也是11的倍數(shù)。能被5整除個位為5或者0,能被11整除說明這7位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位的差是11的倍數(shù),為0、11、22,拆成的兩組數(shù)的差分別為：5和16,又因為組成的數(shù)要最大為：6431205或者6342105,所以答案為6431205【答案】兩個四位數(shù)和相乘,要使它們的乘積能被72整除,求和.【考點】整除之綜合系列 【難度】2星 【題型】解答考慮到,而是奇數(shù),所以必為8的倍數(shù),因此可得；四位數(shù)2752各位數(shù)字之和為不是3的倍數(shù)也不是9的倍數(shù),因此必須是9的倍數(shù),其各位數(shù)字之和能被9整除,所以.【答案】,一位后勤人員買了72本筆記本,可是由于他吸煙不小心,火星落在帳本上,把這筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本,共元為被燒掉的數(shù)字,請把處數(shù)字補上,并求筆記本的單價. 【考點】整除之綜合系列 【難度】3星 【題型】填空把元作為整數(shù)分.既然是72本筆記本的總線數(shù),那就一定能被72整除,又因為,8,9 .所以,. ,根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征,8 |79,通過計算個位的.又,根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征, ,顯然前面的應(yīng)是3.所以這筆帳筆記本的單價是： 元.【答案】5.11小紅為班里買