江蘇省南通市2020屆高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課程資源-三次型函數(shù)最值問題(教師版)

1、三次型函數(shù)的最值問題一、合理賦值，解決三次型函數(shù)最值問題：例1：已知定義在上的函數(shù)滿足對任意整數(shù)有，且.（1）求的表達式（）；（2）若對任意整數(shù)，有恒成立，試求的最大值.思路分析：第（1）小問難點有兩個，其一，是如何合理對賦值求出的表達式，常規(guī)策略是保留一個變量，對另一變量賦值，根據(jù)條件，可以將另一變量賦予值1；其二，不一定是正整數(shù)。第（2）小問處理三次函數(shù)恒成立問題時我們經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)這一工具求解，通過本題求解可以反思一下：一定要求導(dǎo)嗎？解：（1）令，得1 當(dāng)為正整數(shù)時，以上個式子相加，得.2 當(dāng)時，令，得3 當(dāng)為負整數(shù)時，為正整數(shù)，由題設(shè)，則.綜上，.（2）由（1）得 對任意整數(shù)，恒成立，即

2、恒成立，亦即恒成立，由，知，于是恒成立，從而.的最大值為3.練習(xí)1：已知對任意實數(shù)均有成立，求.思路分析：本題的最大難度如何處理中的和，可以聯(lián)系函數(shù)的奇偶性通過恰當(dāng)賦值逼出和的值.解：令，考察，易得，又，則，解得，代入得，又，可得.練習(xí)2：設(shè)，當(dāng)取遍所有實數(shù)時，求的最小值.解：令，則原問題等價于，令，則.因此，此時.不難得到，此時.故的最小值為.二、抓住主元，解決三元最值問題：例2已知且，求的最大值和最小值.思路分析：本題最大值通過放縮較易下手，問題在求解最小值時難以控制.可以考慮扣住最高次，利用條件化三元為二元，再抓主元得到原問題最小值的求解策略.解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.（2）求的最小值，考慮運用逐步調(diào)整法，即假設(shè)為定值，則，有，對求導(dǎo)數(shù)有，所以當(dāng)時，有最小值，此時，故的最小值，而，所以，在處取到的最小值即為在區(qū)間上最小值.，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.綜上，.練習(xí)1：設(shè)，并且存在，使得.求的最小值.解：，由抽屜原理，可知三個實數(shù)中至少有兩個相等.（1） 三個實數(shù)完全相等，則必有，從而.（2） 三個數(shù)不全相等，不妨設(shè)，則必有，從而當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.綜上，.練習(xí)2：已知是滿足的正數(shù)，求函數(shù)的最小值.解：.（此不等式也可直接作差因式分解得到）故，即.同