2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)與重難點(diǎn)

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修一 各章節(jié)學(xué)問(wèn)點(diǎn)與重難點(diǎn)第一章 集合與函數(shù)概念1.1 集合1.1.1 集合的含義與表示【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、集合的含義一般地,我們把爭(zhēng)論對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素,把一些元素組成的總體叫做集合；2、集合的中元素的三個(gè)特性（1）元素的確定性；（2）元素的互異性；（3）元素的無(wú)序性2、“ 屬于” 的概念我們通常用大寫(xiě)的拉丁字母 A,B,C, 表示集合,用小寫(xiě)拉丁字母 a,b,c, 表示元素如：假如 a 是集合 A 的元素,就說(shuō) a 屬于集合 A 記作 a A,假如 a 不屬于集合 A 記作 a A 3、常用數(shù)集及其記法非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作 記作 ：Q；實(shí)數(shù)集記作 ：R 4、集合的表示法：N

2、；正整數(shù)集記作 ：N* 或 N+ ；整數(shù)集記作 ：Z；有理數(shù)集（1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái),然后用一個(gè)大括號(hào)括上；（2）描述法：用集合所含元素的公共特點(diǎn)表示集合的方法稱(chēng)為描述法；語(yǔ)言描述法：例：不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式（3）圖示法（ Venn 圖）【重點(diǎn)】 集合的基本概念和表示方法x-32 的解集是 x R| x-32 或x| x-32 【難點(diǎn)】 運(yùn)用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡(jiǎn)潔的集合1 / 21 1.1.2 集合間的基本關(guān)系【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、“ 包含” 關(guān)系子集一般地,對(duì)于兩個(gè)集合A 與 B,假如集合A 的任何一個(gè)元素都是集合B 的元素,我們就說(shuō)

3、這兩個(gè)集合有包含關(guān)系,稱(chēng)集合A 為集合 B 的子集,記作AB 2、“ 相等” 關(guān)系假如集合 A 的任何一個(gè)元素都是集合 B 的元素, 同時(shí) ,集合 B 的任何一個(gè)元素都是集合 A 的元素,我們就說(shuō)集合 A 等于集合 B,即： A=B A B 且 B A3、真子集假如 AB,且 AB 那就說(shuō)集合A 是集合 B 的真子集,記作AB或 BA 4、空集不含任何元素的集合叫做空集,記為 規(guī)定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集 . 【重點(diǎn)】 子集與空集的概念；用 Venn 圖表達(dá)集合間的關(guān)系【難點(diǎn)】 弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)分2 / 21 1.1.3 集合的基本運(yùn)算【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

4、】1、交集的定義一般地,由全部屬于A 且屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集記作A B讀作“A交 B” ,即 AB=x| x A,且 xB 2、并集的定義一般地,由全部屬于集合A 或?qū)儆诩螧 的元素所組成的集合,叫做A,B 的并集；記作：AB 讀作“A 并 B”,即 A B=x | x A,或 xB 3、交集與并集的性質(zhì)AA = A , A = , AB = B A,AA = A ,A = A , A B = B A. 4、全集與補(bǔ)集（1）全集假如集合 U 含有我們所要爭(zhēng)論的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集；通常用U 來(lái)表示；（2）補(bǔ)集設(shè) U 是一個(gè)集合, A 是

5、 U 的一個(gè)子集（即 A U）,由 U 中全部不屬于 A 的元素組成的集合,叫做 U 中子集 A 的補(bǔ)集（或余集） ；記作：CUA ,即 CSA =x | x U 且 x A （3）性質(zhì)CUC UA=A ,C UA A= ,C UAA=U ；C UA C UB=C UA B,C UAC UB=C UA B. 【重點(diǎn)】集合的交集、并集、補(bǔ)集的概念【難點(diǎn)】集合的交集、并集、補(bǔ)集的概念與應(yīng)用3 / 21 1.2 函數(shù)及其表示1.2.1 函數(shù)的概念【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、函數(shù)的概念設(shè) A 、B 是非空的數(shù)集,假如依據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x,在集合 B 中都有唯獨(dú)確定的數(shù) f

6、x 和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng) f ：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù) 記作： y=fx ,xA其中, x 叫做自變量, x 的取值范疇A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對(duì)應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合 fx| x A 叫做函數(shù)的值域【留意】（1）假如只給出解析式y(tǒng)=fx ,而沒(méi)有指明它的定義域,就函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；（2）函數(shù)的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式【定義域補(bǔ)充】求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零；（3）對(duì)數(shù)式的真數(shù)必需大于零 ; （4）指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底數(shù)必需大于零且不等于 1.

7、 （5）假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四就運(yùn)算結(jié)合而成的 意義的 x 的值組成的集合 . （6）指數(shù)為零底不行以等于零.那么,它的定義域是使各部分都有（7）實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域仍要保證明際問(wèn)題有意義 . 留意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域 . 2、構(gòu)成函數(shù)的三要素 定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域【留意】（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系打算的,所以,假如兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣,即稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣,而與表示自變量和函數(shù)值的 字母無(wú)關(guān)；3、相同函數(shù)的判定方法（1）定義域一樣

8、；（2）表達(dá)式相同兩點(diǎn)必需同時(shí)具備 【值域補(bǔ)充】（1）函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法就,不論實(shí)行什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定 義域 . （2）應(yīng)熟識(shí)把握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜4 / 21 函數(shù)值域的基礎(chǔ)；4、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；（2）無(wú)窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示【重點(diǎn)】 懂得函數(shù)的模型化思想,用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)【難點(diǎn)】 符號(hào)“y=fx ” 的含義,函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示5 / 21 1.2.2 函數(shù)的表示法【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)（1）函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是

9、直線、折線、離散的點(diǎn)等等,留意判定一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)：作垂直于（2）函數(shù)的表示法x 軸的直線與曲線最多有一個(gè)交點(diǎn)；解析法：必需注明函數(shù)的定義域；圖象法：描點(diǎn)法作圖要留意：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；觀看函數(shù)的特點(diǎn)；列表法：選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特點(diǎn)【留意】解析法：便于算出函數(shù)值；列表法：便于查出函數(shù)值；圖象法：便于量出函數(shù)值2、分段函數(shù) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)；在不同的范疇里求函數(shù)值時(shí)必需把自變量 代入相應(yīng)的表達(dá)式；分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程,而應(yīng)寫(xiě)成函數(shù)值幾種不同的表達(dá) 式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái),并分別注明各部分的自變量的

10、取值情形留意：（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；的并集3、復(fù)合函數(shù)（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域假如 y=fu,u M,u=gx,x A,就 y=fgx=Fx ,x A 稱(chēng)為 f 是 g 的復(fù)合函數(shù) . 4、函數(shù)圖象學(xué)問(wèn)歸納（1）定義在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=fx , x A中的 x 為橫坐標(biāo),函數(shù)值 y 為縱坐標(biāo)的點(diǎn) Px,y的集合 C,叫做函數(shù) y=fx,x A 的圖象C 上每一點(diǎn)的坐標(biāo) x,y均滿意函數(shù)關(guān)系 y=fx ,反過(guò)來(lái), 以滿意 y=fx 的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y 為坐標(biāo)的點(diǎn) x,y,均在 C 上 . 即記為 C= Px,y |

11、 y= fx , xA 圖象 C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線 或直線 ,也可能是由與任意平行于 Y 軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的如干條曲線或離散點(diǎn)組成 . （2）畫(huà)法A、描點(diǎn)法依據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出 x,y 的一些對(duì)應(yīng)值并列表,以 x,y 為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn) Px, y ,最終用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來(lái) . B、圖象變換法常用變換方法有三種,即平移變換、對(duì)稱(chēng)變換和伸縮變換（）對(duì)稱(chēng)變換將 y= fx 在 x 軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)= fx 的圖象如：書(shū)上x(chóng)P21 例 5 y= fx 和 y= f-x 的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)；如yax 與yax1axlog1xy= fx 和 y= -

12、fx 的圖象關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng)；如ylogax 與ylogaa6 / 21 （）平移變換由 fx 得到 fxa 左加右減；由 fx 得到 fxa 上加下減（3）作用A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)覺(jué)解題中的錯(cuò)誤；5、映射定義 ：一般地,設(shè) A、B 是兩個(gè)非空的集合,假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法就 f,使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)元素 x,在集合 B 中都有唯獨(dú)確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng) f：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)映射；記作“f：A B”給定一個(gè)集合 A 到 B 的映射,假如 aA,b B.且元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng),那

13、么,我們把元素 b叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象【說(shuō)明 】函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)（1）集合 A 、B 及對(duì)應(yīng)法就f 是確定的；A 到集合 B 的對(duì)應(yīng),它與從B 到 A 的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是（2）對(duì)應(yīng)法就有“ 方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合不同的；（3）對(duì)于映射 f： A B 來(lái)說(shuō),就應(yīng)滿意：（）集合 A 中的每一個(gè)元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯獨(dú)的；（）集合 A 中不同的元素,在集合 B 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（）不要求集合 B 中的每一個(gè)元素在集合 A 中都有原象；6、函數(shù)的解析式（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是

14、要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法就,二是要求出函數(shù)的定義域 . （2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等A、假如已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí),可用待定系數(shù)法；B、已知復(fù)合函數(shù) fgx 的表達(dá)式時(shí),可用換元法,這時(shí)要留意元的取值范疇；當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)潔時(shí),也可用湊配法；C、如已知抽象函數(shù)表達(dá)式,就常用解方程組消參的方法求出 fx 【重點(diǎn)】 函數(shù)的三種表示法,分段函數(shù)的概念,映射的概念【難點(diǎn)】 依據(jù)不同的需要挑選恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù),分段函數(shù)的表示及其圖象,映射的概念1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1 函數(shù)單調(diào)性與最大（?。┲怠緦W(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、函數(shù)的單調(diào)性定義設(shè)函數(shù) y=fx 的定義域?yàn)镮 ,假如

15、對(duì)于定義域I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng) x1x 2 時(shí),都有 fx 1fx 2,那么就說(shuō) fx 在區(qū)間 D 上是 增函數(shù) ；區(qū)間 D 稱(chēng)為 y=fx 的單調(diào)增區(qū)間；7 / 21 假如對(duì)于區(qū)間 D 上的任意兩個(gè)自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2 時(shí),都有 fx 1fx 2,那么就說(shuō) fx在這個(gè)區(qū)間上是 減函數(shù) .區(qū)間 D 稱(chēng)為 y=fx 的單調(diào)減區(qū)間 . 【留意】（1）函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2）必需是對(duì)于區(qū)間D 內(nèi)的 任意 兩個(gè)自變量x1, x2；當(dāng) x 1x 2 時(shí),總有 fx 1fx 2 （或 fx 1fx 2）；2、圖象的

16、特點(diǎn)假如函數(shù) y=fx 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說(shuō)函數(shù) y=fx 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的 . 3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法A 定義法任取 x 1,x 2 D,且 x 1 0 （C 為常數(shù)）時(shí),yf x 與yC f x 的單調(diào)性相同；當(dāng) C 0（C 為常數(shù)）時(shí),yf x 與yC f x 的單調(diào)性相反；函數(shù)f x 、g x 都是增（減）函數(shù),就f x g x 仍是增（減）函數(shù)；如f x 0,g x 0且f x 與g x 都是增（減）函數(shù),就f x g x 也是增（減）函數(shù)；如f x 0,g x 0且f

17、x 與g x 都是增（減）函數(shù),就f x g x 也是減（增）函數(shù)；設(shè)f x 0,如f x 在定義域上是增函數(shù),就n f x 、k f x k0、fn x n11增函數(shù),而 f x 是減函數(shù) . 5、函數(shù)的最大（?。┲刀x（）一般地,設(shè)函數(shù)y=fx 的定義域?yàn)镮 ,假如存在實(shí)數(shù)M 滿意：（ 1）對(duì)于任意的xI ,都有 fx M ；（ 2）存在 x 0I,使得 fx 0 = M 8 / 21 那么,稱(chēng) M 是函數(shù) y=fx 的最大值（）一般地,設(shè)函數(shù)y=fx 的定義域?yàn)镮 ,假如存在實(shí)數(shù)M 滿意（ 1）對(duì)于任意的xI ,都有 fx M ；（ 2）存在 x 0I,使得 fx 0 = M 那么,稱(chēng)

18、M 是函數(shù) y=fx 的最大值 . 【留意】1 函數(shù)最大（?。┑谝粦?yīng)當(dāng)是某一個(gè)函數(shù)值,即存在 x 0I,使得 fx0 = M ；（小） 的,即對(duì)于任意的 xI,都有 fx M（fx2 函數(shù)最大 （?。?應(yīng)當(dāng)是全部函數(shù)值中最大M ）6、利用函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)的最大（小）值的方法1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲? 利用函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)的最大（小）值 假如函數(shù) y=fx 在區(qū)間 a, b上單調(diào)遞增,在區(qū)間 b,c上單調(diào)遞減就函數(shù) y=fx 在 x=b 處有最 大值 fb ；假如函數(shù) y=fx 在區(qū)間 a,b上單調(diào)遞減,在區(qū)間b,c上單調(diào)遞增就

19、函數(shù)y=fx 在 x=b 處有最小值 fb ；【重點(diǎn)】 函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義,函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x【難點(diǎn)】 利用函數(shù)的單調(diào)性定義判定、證明函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（小）值. 9 / 21 1.3.2 函數(shù)的奇偶性【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、偶函數(shù)定義一般地,對(duì)于函數(shù)fx 的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做偶函數(shù)2、奇函數(shù)定義一般地,對(duì)于函數(shù)fx 的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有 fx=fx ,那么 fx 就叫做奇函數(shù)【留意】函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；對(duì)于定義

20、域內(nèi)的任意一個(gè)x,由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,就 x 也肯定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特點(diǎn)偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)4、利用定義判定函數(shù)奇偶性的格式步驟第一確定函數(shù)的定義域,并判定其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；確定 f x與 fx 的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：如 fx = fx 或 f x fx = 0 ,就 fx 是偶函數(shù)；如 fx = fx 或 fxfx = 0 ,就 fx 是奇函數(shù)5、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上如有單調(diào)性,就其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上如有單調(diào)

21、性,就其單調(diào)性恰恰相反 . 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) , 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng) . 如 f x 為偶函數(shù),就 f x f x f | x | . 如奇函數(shù) f x 定義域中含有 0,就必有 f 0 0 . 定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù),都可表示成“ 一個(gè)奇函數(shù) F x 與一個(gè)偶函數(shù)f f x G x 的和（或差） ” . 如設(shè) f x 是定義域?yàn)?R的任一函數(shù),就 F x ,2G x f x f x . 2復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“ 內(nèi)偶就偶,內(nèi)奇同外”. 既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（f x 0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集）. 【重點(diǎn)】 函數(shù)的奇偶性的定義及其幾何意義【難點(diǎn)

22、】 判定函數(shù)的奇偶性的方法與格式10 / 21 其次章 基本初等函數(shù) 2.1 指數(shù)函數(shù)2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、根式的概念 ：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0 的任何次方根都是0,記作n0=0. |a a00n1【留意】1 n a nanan|a2當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí),nana ,當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí),a a2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪nama0,m nN,且m（1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定：an1（2）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：a_m1 ma0,m nN,且nnan（3）0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0, 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義3、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)r s r s（1）a a a aa0, , r s

23、R R （2） arsarsa0, , r sR （3） brr a br0,b0,r【留意】在化簡(jiǎn)過(guò)程中,偶數(shù)不能輕易約分；如12 2 112而應(yīng) =212【重點(diǎn)】 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化,有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)【難點(diǎn)】 根式的概念,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化,明白無(wú)理數(shù)指數(shù)冪11 / 21 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、指數(shù)函數(shù)的概念yax叫做指數(shù)函數(shù),其中x 是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽一般地,函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0a1 圖象定義域 R ,值域（ 0,+）（1）過(guò)定點(diǎn)（ 0,1） ,即 x=0 時(shí), y=1 性質(zhì)2在 R 上是減函數(shù)2在 R

24、 上是增函數(shù)（3）當(dāng) x0 時(shí),0y0 時(shí),y1; 共性當(dāng) x1 1 當(dāng) x0 時(shí),0y1 圖象特點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)向 x 軸正負(fù)方向無(wú)限延長(zhǎng)函數(shù)的定義域?yàn)镽 0a0 時(shí) ,0y1;在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 當(dāng) x1圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩函數(shù)值開(kāi)頭減小極快,到了某一值后減小速度較慢；a1 自左向右看,圖象逐步上升1 增函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于當(dāng) x0 時(shí) ,y1;在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 當(dāng) x0 時(shí) ,0y0 且 a 1；（2）真數(shù) N0；（3）留意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式2、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)（1）常用對(duì)數(shù)：以10 為底的對(duì)數(shù) , log10N記為lgN；lnN（2）自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e

25、 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù), logeN記為3、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化xx log a N aN對(duì)數(shù)式指數(shù)式對(duì)數(shù)底數(shù)a 冪底數(shù)對(duì)數(shù)x 指數(shù)真數(shù)N 冪【結(jié)論】（1）負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)（2） logaa=1, loga1=0,特殊地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）對(duì)數(shù)恒等式：a log a N N 4、假如 a 0 ,a 1 ,M 0 ,N 0 有（1） log（a M N）log a M log a N兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)和（1）logaMlogaMlogaNN兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)差（3） logaMnnlogaM（nR）n 倍一個(gè)正數(shù)

26、的n 次方的對(duì)數(shù)等于這個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)【說(shuō)明】（1）簡(jiǎn)易語(yǔ)言表達(dá) : ”積的對(duì)數(shù) =對(duì)數(shù)的和 ” （2）有時(shí)可逆向運(yùn)用公式（3）真數(shù)的取值必需是a0, aMalogaNaN（4）特殊留意：logMNloglogaMNlogMlog5、換底公式13 / 21 logablogcblgba0,a1,c0,c1,b0logcalga利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論logab1a logablogbclogcdlogad logambnnlogablogbm【重點(diǎn)】 對(duì)數(shù)的概念,對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化【難點(diǎn)】 對(duì)數(shù)概念的懂得,換底公式的應(yīng)用14 / 21 2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、對(duì)數(shù)函數(shù)的

27、概念x 是自變量,函數(shù)的定義域是（0,+）函數(shù)ylog ax a0,且 a 1 叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中【留意】（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類(lèi)似,都是形式定義,留意辨別；如：ylogax1,ylogax2都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù)（2）對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：a0,且 a 1 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)ylog ax a0,且 a 1 0 a 1 a 1 圖像yy01,0 x性質(zhì)定義域：（0,）值域： R 01,0 x過(guò)點(diǎn) 1 ,0, 即當(dāng) x 1 時(shí),y0 在0,+上是減函數(shù) 在 0,+ 上是增函數(shù)當(dāng) x1 時(shí), y1 時(shí), y0 當(dāng) x=1 時(shí), y=0 當(dāng) x=1 時(shí), y=

28、0 當(dāng) 0 x0 當(dāng) 0 x1 時(shí), y0; a a當(dāng) a,b 不同在 0,1 內(nèi),或不同在 1,+ 內(nèi)時(shí) ,有 log b0；當(dāng) a,b 在 1 的異側(cè)時(shí) , log ab 0,值域求法用單調(diào)性. 、辨論不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象利用1=log aa ,用 y=1 去截圖象得到對(duì)應(yīng)的底數(shù)；、 y=axa0 且 a 1 與 y=log axa0 且 a 1 互為反函數(shù),圖象關(guān)于 y=x 對(duì)稱(chēng)；5 比較兩個(gè)冪的形式的數(shù)大小的方法1對(duì)于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較 ,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判定 . 2對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較 ,可以利用比商法來(lái)判定 . 3對(duì)于底數(shù)不同也指數(shù)不同的

29、兩個(gè)冪的大小比較 ,就應(yīng)通過(guò)中間值來(lái)判定 .常用 1 和 0. 6 比較大小的方法1利用函數(shù)單調(diào)性同底數(shù) ；2 利用中間值（如:0,1.）； 3變形后比較； 4作差比較【重點(diǎn)】 把握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【難點(diǎn)】 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及應(yīng)用16 / 21 2.3 冪函數(shù)【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、冪函數(shù)定義一般地, 形如 yx 的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù),其中 x 是自變量, 為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）全部的冪函數(shù)在（0,+）都有定義,并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1,1）；（2） 0 時(shí),冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),別地,當(dāng) 1 時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 凸；并且在 0,+ ）上是增函數(shù) 特 0 1 時(shí),冪函數(shù)的圖

30、象上（3） 0 時(shí),冪函數(shù)的圖象在 （0,+）上是減函數(shù) 在第一象限內(nèi),當(dāng) x 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在y 軸右方無(wú)限地靠近y 軸正半軸,當(dāng)x趨于 +時(shí),圖象在x 軸上方無(wú)限地靠近x 軸正半軸【重點(diǎn)】 從五個(gè)詳細(xì)冪函數(shù)中熟識(shí)冪函數(shù)的一些性質(zhì)【難點(diǎn)】 畫(huà)五個(gè)詳細(xì)冪函數(shù)的圖象并由圖象概括其性質(zhì),體會(huì)圖象的變化規(guī)律17 / 21 第三章 函數(shù)的應(yīng)用3.1 函數(shù)與方程3.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】1、函數(shù)零點(diǎn) 的概念對(duì)于函數(shù) y=fx, 使 fx=0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù)的零點(diǎn).（實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=fx 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）2、函數(shù)零點(diǎn)的意義方程 fx=0 有實(shí)數(shù)根 . 函數(shù) y=fx 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) . 函數(shù) y=fx 有零點(diǎn) . 3、零點(diǎn)定理函數(shù) y=fx 在區(qū)間 a,b 上的圖象是連續(xù)不斷的,并且有fafb0, 那么函數(shù) y=fx 在區(qū)間（ a,b）至少有一個(gè)零點(diǎn)c,使得 f c=0, 此時(shí) c 也是