新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 7.3　空間直線、平面的平行 學(xué)案

1、PAGE PAGE 97. 3空間直線、平面的平行1. 借助長(zhǎng)方體理解基本事實(shí)4，并能用基本事實(shí)4解決直線與直線平行問(wèn)題. 2. 借助長(zhǎng)方體抽象出等角定理，能用等角定理解決空間角相等問(wèn)題. 3. 從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線、平面的平行關(guān)系，歸納出直線、平面平行的性質(zhì)定理(并加以證明)與判定定理. 【教材梳理】1. 直線與直線平行(1)基本事實(shí)4文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線平行 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言eq blc rc(avs4alco1(ab,bc)ac 說(shuō)明基本事實(shí)4表明了平行線的傳遞性 (2)等角定理文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩

2、個(gè)角相等或互補(bǔ) 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言O(shè)AOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180 2. 直線與平面平行(1)判定定理文字語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b，aba (2)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，a，bab 3. 平面與平面平行(1)判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b，abP，且a，b (2)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行 圖形語(yǔ)

3、言符號(hào)語(yǔ)言，a，bab 【常用結(jié)論】4. 平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行. (2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行. (3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行. (4)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面. (5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面. 5. 與平行相關(guān)的線段(角)(1)夾在兩平行平面之間的平行線段相等. (2)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例. (3)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等. 判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)

4、內(nèi)畫“”，錯(cuò)誤的畫“”. (1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面. ()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線. ()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行. ()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面. ()(5)如果兩個(gè)平面平行，且一條直線平行于其中一個(gè)平面，則該直線平行于另一平面. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材習(xí)題改編)平面平面，a，b，則直線a和b的位置關(guān)系 ()A. 平行 B. 平行或異面C. 平行或相交 D. 平行或相交或異面解：因?yàn)槠矫?/p>

5、平面，所以平面與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，因?yàn)閍，b，所以直線a，b沒(méi)有公共點(diǎn). 所以直線a，b的位置關(guān)系是平行或異面. 故選B. 過(guò)三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有 ()A. 4條 B. 6條 C. 8條 D. 12條解：作出如圖的圖形，E，F(xiàn)，G，H是相應(yīng)棱的中點(diǎn)，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面EFGH中. 由此四點(diǎn)可以組成的直線有：EF，GH，F(xiàn)G，EH，GE，HF共有6條. 故選B. (教材習(xí)題改編)平面平面，點(diǎn)A，C，點(diǎn)B，D，直線AB，CD相交于點(diǎn)P，已知AP8，BP9，CP16，則CD_. 解：因?yàn)橹本€AB，CD相交于點(diǎn)P，所以A，B，

6、C，D，P共面. 根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，ACBD. 若點(diǎn)P在平面，的外部，則eq f(AP,AB)eq f(CP,CD)，即eq f(8,1)eq f(16,CD)，解得CD2；若點(diǎn)P在平面，之間，則eq f(AP,BP)eq f(CP,DP)，即eq f(8,9)eq f(16,DP)，解得DP18，所以CDCPDP34. 故填2或34. 考點(diǎn)一平行關(guān)系的基本問(wèn)題(1)(2019全國(guó)卷)設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是 ()A. 內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B. 內(nèi)有兩條相交直線與平行C. ，平行于同一條直線D. ，垂直于同一平面解：由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由

7、面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件. 故選B. (2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，給出下列推斷：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1；平面EFG平面A1C1B. 其中所有正確推斷的序號(hào)是 ()A. B. C. D. 解：對(duì)于，由正方體性質(zhì)可知，平面AA1D1D平面BB1C1C，又FG平面BB1C1C，故FG平面AA1D1D，正確；對(duì)于，因?yàn)镋F與C1D1延長(zhǎng)線相交，故EF不平行于平面BC1D1，錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)镕，G分別為B

8、1C1和BB1的中點(diǎn)，所以FGBC1，又因?yàn)镕G平面BC1D1，所以FG平面BC1D1，正確；對(duì)于，由知EF與C1D1延長(zhǎng)線相交，故平面EFG不平行于平面BC1D1，錯(cuò)誤；對(duì)于，由知，F(xiàn)G平面A1C1B，同理可證EG平面A1C1B，又FGEGG，所以平面EFG平面A1C1B，正確. 故選A. 【點(diǎn)撥】 平行關(guān)系的基本問(wèn)題，應(yīng)以定義、基本事實(shí)4和定理為依據(jù)，以正(長(zhǎng))方體、三棱柱(錐)等常見(jiàn)幾何體為載體進(jìn)行判斷. (1)(2020貴州期末)已知三個(gè)不同的平面，和直線m，n，若m，n，則“”是“mn”的 ()A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解：根

9、據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知當(dāng)“”時(shí)，有“mn”，故充分性成立；反之，當(dāng)mn時(shí)，可能相交(如圖)，故必要性不成立. 所以“”是“mn”的充分不必要條件. 故選A. (2)【多選題】如圖所示的四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形是 ()eq avs4al() eq avs4al()A B eq avs4al() eq avs4al()C D解：在A中，由于平面MNP與AB所在的側(cè)面平行，所以AB平面MNP；在C中，由于AB與以MP為中位線的三角形的底邊平行，所以ABMP，又因?yàn)镸P平面MNP，AB平面MNP. 所以AB平面MNP.

10、BD中，只需平移AB，即可發(fā)現(xiàn)AB與平面MNP相交. 故選AC. 考點(diǎn)二平行關(guān)系的證明問(wèn)題如圖，四棱錐PABCD中，ADBC，ABBCeq f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn). (1)求證：AP平面BEF；(2)求證：GH平面PAD. (3)在線段PD上找一點(diǎn)Q，使平面ABP平面ECQ，并說(shuō)明理由. 證明：(1)如圖，連接EC，因?yàn)锳DBC，BCeq f(1,2)AD，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn). 又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FOAP，F(xiàn)O平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF. (2)連接FH，O

11、H，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，所以FHPD，所以FH平面PAD. 又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)HAD，所以O(shè)H平面PAD. 又因?yàn)镕HOHH，所以平面OHF平面PAD. 又因?yàn)镚H平面OHF，所以GH平面PAD. (3)取PD中點(diǎn)為Q即可. 理由如下：由上知ABEC，又因?yàn)锳PEQ，ABAPA. 由面面平行的判定定理可得平面ABP平面ECQ. 【點(diǎn)撥】 證明線線平行，可以運(yùn)用基本事實(shí)4、中位線定理，也可以證明包含這兩邊的四邊形是平行四邊形，或者運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理來(lái)證明. 要證明直線和平面平行，通常有兩種方法：(i)利用線面平行的判定定理，只要在平面內(nèi)找到一條直線與已

12、知平面外直線平行即可；(ii)由面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線和另外一個(gè)平面平行. 第一種方法是常用方法，一般需要連接特殊點(diǎn)、畫輔助線，再證明線線平行，從而得到線面平行. 第二種方法常用于非特殊位置的情形. 判定面面平行的主要方法：(i)利用面面平行的判定定理；(ii)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行). 利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)需要說(shuō)明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行. (1)(2020武漢高三聯(lián)考)如圖，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，M，N，P，Q分別是AA1，BB1，AB，B1C1的中點(diǎn). 求證：PC1平面M

13、NQ. 證明：如圖，連接BC1，AC1. 因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以四邊形ABB1A1是矩形. 因?yàn)镸，N分別是AA1，BB1的中點(diǎn)，所以MNAB. 在B1C1B中，Q，N分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，所以NQBC1. 又因?yàn)锳BBC1B，MNNQN，所以平面MNQ平面ABC1. 又因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以PC1平面ABC1，所以PC1平面MNQ. (2)(2021重慶市第三十七中學(xué)校高一期中)如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的三等分點(diǎn)(M靠近B，N靠近C). ()求證：MN平面PAD. ()在PB上確定一點(diǎn)Q，使平面MNQ平面PAD.

14、解：()證明：如圖，在線段PD上取一點(diǎn)G，使得PG2GD，因?yàn)镹是PC上靠近C的三等分點(diǎn)，所以PN2NC，所以GNCD，且GNeq f(2,3)CD，又因?yàn)镸是AB上靠近B的三等分點(diǎn)，所以AM2MB，又因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以ABCD，且ABCD，所以GNAM，且GNAM，所以四邊形GAMN為平行四邊形，所以MNAG，又因?yàn)镸N平面PAD，AG平面PAD，所以MN平面PAD. ()存在點(diǎn)Q滿足PQ2QB，證明：因?yàn)镸是AB上靠近B的三等分點(diǎn)，所以AM2MB，且PQ2QB，所以QMPA，又因?yàn)镼M平面PAD，PA平面PAD，所以QM平面PAD，由()知MN平面PAD，且QMMNM，QM

15、平面MNQ，MN平面MNQ，所以平面MNQ平面PAD. 考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問(wèn)題(2020年全國(guó)卷)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn). 過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)證明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)設(shè)O為A1B1C1的中心，若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPNeq f(,3)，求四棱錐BEB1C1F的體積. 解：(1)證明：因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以MNCC1. 又由已知得AA1CC1，故AA1MN. 因?yàn)锳1B1C1是正三角形，所

16、以B1C1A1N. 又B1C1MN，故B1C1平面A1AMN. 所以平面A1AMN平面EB1C1F. (2)AO平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1F PN，故AOPN. 又如圖，APON，故四邊形APNO是平行四邊形，所以PNAO6，AP ONeq f(1,3)AMeq r(3)，PMeq f(2,3)AM2eq r(3)，EFeq f(1,3)BC2. 因?yàn)锽C平面EB1C1F，所以四棱錐BEB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離. 如圖作MTPN，垂足為T，則由(1)知，MT平面EB1C1F，故MT PMsinMPN3.

17、底面EB1C1F的面積為eq f(1,2)(B1C1EF)PNeq f(1,2)(62)624. 所以四棱錐BEB1C1F的體積為eq f(1,3)24324. 【點(diǎn)撥】 當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離相等. 在某點(diǎn)到平面的距離易求的前提下實(shí)行平行轉(zhuǎn)化，將較難的點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為較易求的另外一點(diǎn)到平面的距離是我們常用的方法，這需要首先完成線面平行或面面平行的證明. (2021長(zhǎng)沙調(diào)研)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2eq r(17). 點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積. 解：(1)證明：因?yàn)锽C平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC. 同理可證EFBC，因此GHEF. (2)如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK. 因?yàn)镻APC，O是AC的中點(diǎn)，所以POAC，同理可得POBD. 又因?yàn)锽DACO，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO底面ABCD. 又因?yàn)槠矫鍳E