理論力學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 理論力學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料題型及比例填空題（20%）選擇題（20%）證明題（10%）簡答題（10%）計算題（40%）第一章：質(zhì)點力學(xué)（2025%）一質(zhì)點的運動學(xué)I：（重點考查）非相對運動學(xué)1、描述質(zhì)點的運動需要確定參照系和坐標(biāo)系。參照系：沒特別聲明，一般以地球為參照系，且認(rèn)為地球是不動的，即以靜止坐標(biāo)系為運動的參考。坐標(biāo)系：根據(jù)問題的方便，通常選擇直角坐標(biāo)系（適用于三維，二維，一維的運動），極坐標(biāo)系（適用于二維運動，題中明顯有極徑，極角等字眼或者有心力作用下質(zhì)點的運動時

2、采用極坐標(biāo)系），自然坐標(biāo)系（適用于二維運動，題中明顯有曲率半徑，切向等字眼時，或者圓周曲線運動，拋物線運動等通常采用自然坐標(biāo)系）。2、描述質(zhì)點運動的基本物理量是位移（坐標(biāo)）、速度、加速度，明確速度、加速度，軌道方程在三種坐標(biāo)系下的求解，直角坐標(biāo)系下步驟：（1）, 建立好坐標(biāo)系 （2），表示出質(zhì)點的坐標(biāo)（可能借助于中間變量，如直角坐標(biāo)系中借助于角度） （3）對坐標(biāo)求一階導(dǎo)得速度，二階導(dǎo)得加速度，涉及的未知量要利用題中所給的已知信息求得。 若求軌道方程，先求得x、y、z隨時間或其他共同變量（參數(shù)）的函數(shù)關(guān)系，消去共同變量即可，其它坐標(biāo)系下是一個道理。若是采用處理二維運動的極坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系： 明

3、確怎么建立這兩種坐標(biāo)系及速度、加速度表的達式和各項的意義 (a) 極坐標(biāo)系：極軸（不變的），極角與極徑（質(zhì)點對質(zhì)點的位矢大?。﹦t隨質(zhì)點不斷發(fā)生變化，特別需要明確的徑向、橫向的單位矢量的確定，徑向即沿徑矢延長方向，橫向是垂直徑向，指向極角增加的一側(cè)，它們的方向隨質(zhì)點的運動不斷發(fā)生變化，稱為是活動坐標(biāo)系；我們只需應(yīng)用相應(yīng)的公式計算，并理解每一項的意義即可： 速度： 徑向， 橫向，加速度：徑向 ，明確第一項是由于徑向速度得大小改變而引起，第二項則是橫向速度得方向發(fā)生改變而引起；橫向 ,第一項是混合項，其中之一表由橫向速度得大小改變而引起，其中之二表由徑向速度得方向改變而引起，而第二項則表示由橫向速度

4、得大小變化而引起 (b)自然坐標(biāo)系：明確是把矢量分為切向和法向，活動坐標(biāo)系的單位矢量沿切向，沿法向，并指向軌道彎曲的一側(cè)： 速度：切向 不存在法向速度加速度：切向 ，描述速度大小隨時間的變化率，可能是零，可能不是零； 法向 描述速度方向隨時間的變化率，只有運動軌跡為曲線就一定不為零。 II：相對運動學(xué) 當(dāng)質(zhì)點相對于某平動運動參照系運動時，其對地的絕對速度 ，即等于牽連速度(被運動參照系牽帶著而具有與運動參照系相等的速度)+相對速度，這類問題，通常是平面運動問題，我們需建立適當(dāng)坐標(biāo)系，一般為直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，把該矢量式進行適當(dāng)分解，如在直角坐標(biāo)系中 該類問題中區(qū)分質(zhì)點和運動參照系很重要，一般

5、來講，運動參照系的運動相對穩(wěn)定，質(zhì)點的運動變化相對較大。 絕對加速度牽連加速度相對加速度，運動參照系勻速時兩者相等二 質(zhì)點的動力學(xué)（牛頓運動微分方程） I 慣性系（靜止或做勻速直線運動的參照系，一般以地球為靜止的慣性參照系 ） 我們明確牛頓第二定律是一矢量式，必須建立合理的坐標(biāo)系把和分解到坐標(biāo)軸上，用分量式才能求解，所以建立合理的坐標(biāo)系，正確的受力分析，利用初始條件求解牛頓運動微分方程的分量式（逐次積分法或公式法進行積分，積分常數(shù)需由初始條件決定），是該類問題的三大步驟 自由質(zhì)點：空間 平面的：非自由質(zhì)點：受到約束，一般把力分為主動力（不隨運動狀態(tài)的變化而變化,如重力）和約束反力（約束所施加，

6、通常會隨運動狀態(tài)的變化而變化，如支持力），這種情況采用自然坐標(biāo)系比較方便光滑約束的情況 求解這類微分方程，有時需進行適當(dāng)?shù)奈⒎肿儞Q，如，非慣性系（描述質(zhì)點運動的參照系，具有加速度）在這樣的參照系中，牛頓第二定律不再成立，必須引入慣性力，牛頓第二定律形式上才能繼續(xù)成立慣性力，并非相互作用力，沒有施力物體，僅表明我們是在非慣性系中研究動力學(xué)問題，同樣，需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把相互作用力和慣性力，相對加速度進行分解，用分量式求解（相對平衡問題，可能能用矢量三角形法則求解）三功和能功：功是能量轉(zhuǎn)化的量度，功是過程量，能是狀態(tài)量根據(jù)力做功是否與路徑無關(guān)區(qū)分三類力保守力：力做功與路徑無關(guān)，只取決于初末位置，

7、這是判斷一個力是否是保守力的根本標(biāo)準(zhǔn)。另外兩個判斷標(biāo)準(zhǔn)是：（1）存在相應(yīng)的勢能標(biāo)量函數(shù)，滿足 即保守力做功等于勢能變化量的負(fù)值 （2）該力的旋度一定為零 非保守力：做功與路徑有關(guān)，如渦旋電場做功 耗散力： 做功與路徑有關(guān)，而且總是做負(fù)功四、動力學(xué)三大定理及相應(yīng)的守恒定律（單個質(zhì)點） 從牛頓第二定律出發(fā),可推得 1，動量定理及動量守恒定律 （1）動量定理微分形式：質(zhì)點動量的微分等于作用在質(zhì)點上力的元沖量。積分形式：上式表明，在一段時間內(nèi)，質(zhì)點動量的增量等于作用在質(zhì)點上的力在同一段時間內(nèi)的沖量。注意是矢量式：我們需建立坐標(biāo)系（該步驟也是規(guī)定正方向的過程），各矢量投影到坐標(biāo)軸上才能求解 （2）動量守

8、恒定律 如質(zhì)點不受力或者合力為零，則質(zhì)點的動量守恒注意是動量定理及動量守恒定律都是矢量式：無論是幾維，我們都需建立坐標(biāo)系（該步驟也是規(guī)定正方向的過程），各矢量投影到坐標(biāo)軸上才能求解 2，角動量定理及角動量守恒定律角動量定理 力矩與角動量（動量矩）的概念 對點的力矩： 對點的角動量（動量矩）：對軸線的力矩或角動量，是在該軸上取一點做為定點，先求根據(jù)上面兩式求得對該點力矩和角動量，再投影到該軸上即可（分量式請看書）。若力與軸線相交或平行，則該力對軸線沒有力矩，利用該結(jié)論，可能有力對軸線的力矩與對某軸的力矩相等，因?qū)ζ渌鼉奢S的力矩為零，即共面力系情況，只可能對垂直于該面的軸線有力矩，所以對該軸線的力

9、矩等于對該軸線與這個面的交點的力矩，第三章應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動定理（對Z軸的角動量定理）時通常利用到這點。 角動量定理：微分形式質(zhì)點對某定點 的動量矩（角動量）對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的力矩。 積分形式 某過程，角動量的變化量等于外力在該時間段內(nèi)給予質(zhì)點的沖量矩 角動量守恒：若質(zhì)點所受的力對某點力矩為量，則質(zhì)點對該定點的角動量守恒對單個質(zhì)點，若動量受衡，則角動量也守恒，但反之不成立，比如有心力作用下質(zhì)點的運動。與動量定理及動量守恒定律一樣，我們需要以定點為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系（該步驟也是規(guī)定正方向的過程），各矢量投影到坐標(biāo)軸上才能求解3 動能定理及機械能守恒定律 動能定理： 主要采用積分形式的

10、動能定理處理問題：在某一過程，質(zhì)點動能的變化量，等于該過程所有作用力所做功之代數(shù)和。因此，清楚研究過程，有哪些作用力，是否做功，做正功還是負(fù)功，初末態(tài)動能（未知的當(dāng)未知數(shù)處理）是必須的。 機械能守恒：從動能定理出發(fā)，若某過程，只有保守力做功，則該過程機械能守恒能用機械能守恒處理的問題，一定能用動能定理處理，反之，則不然。動能定理和機械能守恒，是標(biāo)量式，沒有分量式，不需建立坐標(biāo)系，但涉及勢能時，務(wù)必規(guī)定勢能零面或勢能零點,一般對彈性勢能，是以自然伸長為零勢能點，引力或斥力勢能是以無窮遠(yuǎn)為勢能零點；重力勢能是以某一水平面為零勢能點。五、有心力 總體認(rèn)識： 有心力是保守力，必有機械能守恒；有心力對力

11、心力矩為零，所以質(zhì)點對力心的角動量守恒，并由此推斷有心力下，質(zhì)點只能在一個平面上用動，由于力總是沿徑矢的反方向指向力心，所以一般采用極坐標(biāo)系研究有心力下質(zhì)點的運動。有心力下，質(zhì)點的運動微分方程1） 動力學(xué)方程： 徑向： 橫向： 由橫向方程，必能推得 ，表對力心的角動量守恒，因?qū)απ牧貫榱悖?2） 能量方程：有心力下，機械能必守恒動力學(xué)方程的求解，軌道方程比耐公式在動力學(xué)方程中，消去時間t，并設(shè)得比耐公式：根據(jù)比耐公式，（1）已知質(zhì)點所受的有心力F, 求質(zhì)點的軌道方程 （2）已知質(zhì)點的軌道方程求質(zhì)點所受的有心力 能量方程中，涉及力力心某點的勢能求解，對于引力或斥力勢能，我們一般以無窮遠(yuǎn)為勢能

12、零點，根據(jù)保守力做功與勢能變化的關(guān)系，可得，離力心r處的勢能 若是引力，力與位矢反向，要加負(fù)號，才能去掉上式的矢量號，若為斥力，則相反。如平方反比的引力勢能行星的運動從比耐公式出發(fā)，已知引力，可導(dǎo)出平方反比引力下的軌道屬于圓錐曲線軌道 結(jié)合能量方程和角動量守恒方程，可推得軌道形狀的能量（由于是常量）判據(jù)： 推得偏心率 ,軌道為橢圓 ，推得偏心率 軌道為拋物線 推得偏心率 軌道為雙曲線我們知行星的軌道為橢圓軌道，所以其能量一定小于零（書58頁），粒子的散射，由于其能量大于零，因而是雙曲線的一支，其處理方法也不外乎比奈公式，角動量守恒方程，機械能守恒方程。4 宇宙速度明白第一（擾地球運行的最小發(fā)射

13、速度，第二（脫離地球引力的最小發(fā)射速度），第三宇宙速度（脫離太陽引力的最小發(fā)射速度得）含義。質(zhì)點組力學(xué)（10%15%）基本概念和質(zhì)心的求解質(zhì)點組：相互作用著的大量質(zhì)點組成的質(zhì)點系內(nèi)力：質(zhì)點間的相互作用力，總是成對出現(xiàn)，內(nèi)力之和一定為零外力： 質(zhì)點組以外的物體施加的作用力質(zhì)心：質(zhì)點組的質(zhì)量中心，是一幾何點，而不是一質(zhì)點，其定義如下以某一點O為坐標(biāo)原點（參考點），則質(zhì)心對該點的位矢等于各質(zhì)點對同一點的位矢乘以質(zhì)量之矢量和除以總質(zhì)量分量式，則為對于質(zhì)點間的距離不隨時間發(fā)生變化的情況，參考點不同，所求出的質(zhì)心坐標(biāo)不同，但相對質(zhì)點組的空間位置是不變的。我們大多遇到的是連續(xù)的情況，所以求和需改為積分 上面

14、積分，并不意味著是一重積分?？赡芏?，可能三重，視情況而定，x,y,z是所選取微元的坐標(biāo)，若是規(guī)則小幾何體，如薄圓片，x,y,z則指的是規(guī)則幾何體質(zhì)心坐標(biāo)。“微元”的合理選?。ㄎ⒃蛞?guī)則的小幾何體）和構(gòu)建適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（要充分利用對稱性），借助于密度，表達出微元質(zhì)量及坐標(biāo)是關(guān)鍵，最后再進行積分求解 密度均勻，形狀規(guī)則，且各處重力加速度相同，則質(zhì)心，幾何中心，重心重合。二(重點考查)質(zhì)點組的三大定理及相應(yīng)的守恒定律由于質(zhì)點數(shù)目可能較多，且內(nèi)力通常未知，所以對每一個質(zhì)點應(yīng)用牛頓第二定律求解其運動規(guī)律是不切實際的，但對整個質(zhì)點組利用動量定理，角動量定理，動能定理及相應(yīng)的守恒定律，則可能消除未知的某些量

15、，如內(nèi)力，內(nèi)力對定點O的力矩，從而使問題簡化 對質(zhì)點組應(yīng)用動量定理和相應(yīng)的動量守恒定律動量定理（內(nèi)力之矢量和為零）質(zhì)點組動量對時間的微商等于作用在質(zhì)點組上諸外力之矢量和，從動量定理，再結(jié)合質(zhì)心的定義，不難導(dǎo)出質(zhì)心運動定理質(zhì)心就好比一個質(zhì)點的運動一樣，此質(zhì)點集中整個質(zhì)點組的質(zhì)量，作用在此質(zhì)點上的力等于作用在質(zhì)點組所有質(zhì)點上諸外力的矢量和動量守恒定律若整個質(zhì)點組不受外力，或雖受外力，但外力之矢量和為零，或外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，則整個質(zhì)點組的總動量為常量 注意，上面這些都是矢量式，務(wù)必建立坐標(biāo)系，進行矢量投影，用分量式求解，一維的情況，規(guī)定正方向，也相當(dāng)于建立以維的坐標(biāo)系；另外，速度是絕對速度。與單個質(zhì)點

16、一樣，若質(zhì)點組整體的合外力不為零，但在某方向投影之代數(shù)和為零，則該方向的各質(zhì)點動量之投影的代數(shù)和為零，即該方向動量守恒。2, 對質(zhì)點組應(yīng)用角動量定理和角動量守恒定律1）角動量定理（內(nèi)力對定點O的力矩之代數(shù)和為零）質(zhì)點組對某一定點的總角動量對時間的微商，等于諸外力對同一定點的力矩之矢量和2)角動量守恒定律如果作用在質(zhì)點組上的諸外力對某一定點O的合力矩為零或不受外力矩作用，則質(zhì)點組的總角動量保持不變 對質(zhì)點組，不像對單個質(zhì)點，動量守恒不能導(dǎo)出角動量守恒，當(dāng)然反過來也不行。同理，角動量定理和角動量守恒定律是矢量式，務(wù)必建立坐標(biāo)系，進行矢量投影，用分量式求解，明確是對那個點或軸線的角動量和力矩若所有外

17、力對定點O的力矩之矢量和不為零，但對以該點為坐標(biāo)原點的某軸線的投影為零，則所有質(zhì)點對該軸線的角動量是一常數(shù)。如： 質(zhì)點組對質(zhì)心的角動量定理 此時是非慣性系，必須引入慣性力，但由于所有慣性力的合力通過質(zhì)心，所以對質(zhì)心的角動量定理在形式上與對定點的角動量定理相同但對其它動點，該結(jié)論一般不成立。 3、對質(zhì)點組應(yīng)用動能定理和機械能守恒定律 1）動能定理，從單個質(zhì)點的動能定理出發(fā)，可推得質(zhì)點組的動能定理：質(zhì)點組總動能的微分等于諸內(nèi)力和外力所做元功之和，特別強調(diào)內(nèi)力做功之代數(shù)和不一定為零，只有在剛體（任意兩質(zhì)點的距離不變）的情況，才是零。應(yīng)用時，通常是采用上式的積分形式，明確過程，哪些力做功，做負(fù)功還是正

18、功質(zhì)點組的動能是標(biāo)量，但根據(jù)柯尼希定理，可分解為質(zhì)心的動能和相對質(zhì)心的動能之和（標(biāo)量分解）2）機械能守恒定律 所有非保守力（可能是內(nèi)力，可能是外力）不做功，則質(zhì)點組的機械能保持不變對質(zhì)心的動能定理以質(zhì)心為參考，是非慣性系，須考慮慣性力做功，但因慣性力做功之代數(shù)和為零所以，在形式上與對定點相同質(zhì)點組對質(zhì)心的動能，等于質(zhì)點組相對于 質(zhì)心系位移時內(nèi)力與外力所做功之和三、三大定理及守恒定律的應(yīng)用 1，兩體問題（太陽與行星） 太陽不再靜止不動，可對開普勒第三定律進行修正 2， 質(zhì)心系和實驗室坐標(biāo)系（兩質(zhì)點的散射和碰撞） 質(zhì)心系: 由于內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力（重力），可認(rèn)為外力為零，根據(jù)質(zhì)心運動理，質(zhì)心做勻速運動

19、，質(zhì)心系是一慣性系，為理論工作者所用 實驗室坐標(biāo)系：即靜止坐標(biāo)系，為實驗工作者所用。 實驗室坐標(biāo)系下的偏轉(zhuǎn)角與質(zhì)心系下的偏轉(zhuǎn)角 根據(jù)m1(入射粒子)和 m2的關(guān)系，可討論兩種偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系，如m2遠(yuǎn)大于m1，則相等變質(zhì)量物體的運動有質(zhì)量m和合并前的微質(zhì)量組成的質(zhì)點組，應(yīng)用動量定理有： 約去二階小量，可得變質(zhì)量物體的動力學(xué)方程 是m的絕對速度，是的絕對速度，是整個質(zhì)點組的合外力（內(nèi)力之和是零了），通常為重力是質(zhì)量隨時間的變化率，增加是正，減少是負(fù)。當(dāng)時，可簡化為注意，m是隨時間變化的 求解時，由于是矢量式，所以需建立坐標(biāo)系，一維的規(guī)定正方向，把矢量式轉(zhuǎn)為標(biāo)量式才能求解；表達出質(zhì)量和力隨時間的變化情

20、況是解決這類問題的關(guān)鍵。 第三章 剛體力學(xué)（20%25%）一、基本概念和整體認(rèn)識1，剛體：特殊質(zhì)點組，任意兩質(zhì)點的距離保持不變，類似于質(zhì)點是一種理想情況，相對于所研究的問題，當(dāng)物體的大小和形狀的變化，可以忽視時，則物體可當(dāng)做剛體。2，剛體空間位置的確定，只需確定不共線的三點位置坐標(biāo)，但由于任意兩點的位置不變，受到三個約束，所以只需6個即可3，剛體運動的分類 根據(jù)運動時的限制，需要的獨立變量數(shù)可少于6個，根據(jù)限制的不同，把剛體的運動分為：平動：任意兩質(zhì)點的聯(lián)線在任意兩個不同的時刻，都保持平行，各個質(zhì)點的運動情況完全相同，所以任意一質(zhì)點的運動即可代表整個剛體的運動，顯然只需3個獨立變量定軸轉(zhuǎn)動：剛

21、體運動時，始終有兩點不動的運動，該兩點的連線即為固定的轉(zhuǎn)動軸，只需確定剛體繞該定軸轉(zhuǎn)過多少度，所以只需一個獨立變量平面平行運動：剛體運動時，始終與一固定平面平行的運動，可分解為質(zhì)心的平面平動和繞統(tǒng)過質(zhì)心并垂直于該平面的轉(zhuǎn)動（由軸線取向不變，所以相當(dāng)于一定轉(zhuǎn)動），因而需要3個獨立變量定點轉(zhuǎn)動：剛體運動時，只有一個點不動，剛體只能繞通過這個點的軸線轉(zhuǎn)動，顯然軸線的取向是可以不斷發(fā)生變化的，確定軸線的空間取向（三個方向余旋，但三方向余旋平方和為1），所以只需兩個獨立變量，但還需一個變量來確定繞軸線轉(zhuǎn)過的角度，因此總共需三個獨立變量。通常用三個獨立的歐拉角來描述，即進動角（0到2），章動角（0到），自

22、轉(zhuǎn)角（0到2） 教材121頁，一般運動：不受任何約束，一般分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動，因而需6個獨立變量。 描述剛體運動，最基本的物理量是角速度，即描述剛體繞某個點和軸線轉(zhuǎn)動的快慢，是一矢量（相應(yīng)于無限小轉(zhuǎn)動，無限小轉(zhuǎn)動是可對易的（交換先后兩次的轉(zhuǎn)動順序，結(jié)果不 變），而有限轉(zhuǎn)動是不可對易的） ，方向用右手螺旋法則來確定。 剛體的歐拉運動學(xué)方程，剛體定點轉(zhuǎn)動時，把角速度（注意是狀態(tài)量）投影到固連在剛體上隨剛體一塊運動的隨動坐標(biāo)系上（只做為計算的工具，在后面的剛體的平面平行運動學(xué)和剛體的定點轉(zhuǎn)動運動學(xué)，及非慣性系運動學(xué)、動力學(xué)，都常常這么做），但運動參照系仍是地球，而得其分量式，描述了角

23、速度分量隨歐拉角及時間之間的變化關(guān)系剛體的運動方程與平衡方程力系的簡化由于剛體受力可能紛繁復(fù)雜，所以首先要對剛體的力系進行簡化I，非平行共面力系的簡化應(yīng)用的基本原理是力的可傳性原理，力可沿作用線滑移而不改變作用效果（但作用線不能隨便移動）。所以可以采用兩兩相交的辦法求得非平行共面力系的合力 II，平行共面力系的簡化，采用合力對垂直于該平面的某一軸線的力矩與所有平行力對該軸線的力矩之代數(shù)和相等，來求得合力大小和作用點 平面平行力系中存在一特殊情況，即由一對對大小相等，方向相方的平行力所組成，其中的任何一對平行力，我們稱為力偶，其唯一的作用效果是產(chǎn)生力偶矩，垂直于該平面，但作用點不固定，稱為自由矢

24、量大?。浩渲幸涣Τ艘粤ε急郏▋善叫辛Φ木嚯x）方向：右手螺旋法則也等于其中一力對另一個力作用點的力矩這樣的平面平行力，可簡化為一合力偶，可能是零，可能不是零空間力系的簡化共點力系和平行力系的簡化，與平面情況類似，關(guān)鍵是既不平行也不共面的力系：利用力偶的知識，我們可根據(jù)問題的方便，選擇一簡化中心（通常是質(zhì)心），于是剛體上任意一力可以遷移到該點，為了消除遷移的影響（移動了作用線），必須加上一力偶，即加上未遷移前，該力對簡化中心的力矩。因而所有力遷移到簡化中心后，就有一合力和合力矩，我們稱為主矢（作用效果使剛體平動）和主矩（作用效果使剛體繞通過簡化中心的軸線轉(zhuǎn)動）。顯然簡化中心不一樣，主矢不變，主矩一

25、般要改變，但顯然不能因為人為選擇的簡化中心的不同而改變剛體的運動狀態(tài)2， 剛體的運動微分方程根據(jù)前面的分析，剛體的運動一般分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動，因此質(zhì)心為簡化中心，力系簡化為一主矢和一主矩，我們利用質(zhì)心的運動定理處理質(zhì)心的平動和應(yīng)用對質(zhì)心的角動量定理處理繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動即可處理剛體的一般運動。質(zhì)心的平動 矢量式，建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)為標(biāo)量式才能求解。 2）繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動 分量式，如 注意對軸線的力矩和角動量，一定是先求對點的力矩和角動量，再投影到該軸線上來做的；若對另外兩坐標(biāo)軸沒有力矩（共面力系，平面運動），則此時對點和對軸線的力矩相等。剛體的平衡方程 以任意點為簡化中心顯然要求主矢

26、為零，主矩為零 所有外力之矢量和為零，對任意點的力矩為零。若為共面力系, 以所在面為xoy平面，則剛體平衡必有： 所有外力 對垂直于xoy平面的任意軸線（不一定是對坐標(biāo)Z軸）的力矩之代數(shù)和為零，由于共面力系不可能對x或y軸產(chǎn)生力矩（相交或平行），所以對任意垂直于該面的軸線的力矩就等于對該軸線與這個平面交點的力矩。又因與該點相交的力不可能對該點有力矩，所以我們當(dāng)選較多力交匯點為參考點列力矩平衡方程（轉(zhuǎn)動效果逆時針為正）。 若剛體在三個共面力下平衡，則三力必交于一點（反證法）三 、剛體的轉(zhuǎn)動慣量 1， 剛體的角動量和轉(zhuǎn)動動能應(yīng)用對剛體對某點的總角動量等于所有質(zhì)點對同一點角動量的矢量和，可得 所以方

27、向一般與角速度不不同對三軸線的分量式： 從上式可知，剛體做定軸轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸是慣量主軸（平面平行運動，可看做特殊的定軸轉(zhuǎn)動），定點轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)軸為慣量主軸的情況，有，在這幾種特殊情況角動量才與角速度方向相同。所以，即便是定軸轉(zhuǎn)動，角動量與角速度也不一定同向。 剛體的轉(zhuǎn)動動動能 最常用的是 轉(zhuǎn)動慣量 概念在上式動能的第二種表達式中， ，即為剛體對某軸線的轉(zhuǎn)動慣量，為各質(zhì)點到該軸線的垂直距離，顯然同一剛體對不同的軸線具有不同的轉(zhuǎn)動慣量，因此說到轉(zhuǎn)動慣量，務(wù)必聲明是對那軸線的轉(zhuǎn)動慣量，就好像說到力矩務(wù)必清楚是對那個點或那軸線的力矩一樣。對比于平動動能中的質(zhì)量，知轉(zhuǎn)動慣量就像平動中的質(zhì)量一樣，是描述轉(zhuǎn)動慣

28、性大小的量度。求解上式定義是離散的情況，其實我們遇到的是連續(xù)的情況，所以上式求和需轉(zhuǎn)為積分: 為微元到轉(zhuǎn)軸的距離，與質(zhì)心的求解類似，微元的選取可能是真正的微元，也可能是規(guī)則幾何體，當(dāng)為規(guī)則幾何體的時，應(yīng)是每一部分到轉(zhuǎn)軸的距離（應(yīng)相等）。該積分可能是一重，二重，三重，視具體問題而定；計算時通常也要建立坐標(biāo)系（也要充分利用對稱性），轉(zhuǎn)軸為一坐標(biāo)軸，在該坐標(biāo)系下表達出與dm,積分求解。 我們需要記住一些規(guī)則的剛體對特定軸線的轉(zhuǎn)動慣量如： 均質(zhì)細(xì)棒，對垂直通過端點的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為，對垂直通過中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 為棒全長半徑是均質(zhì)薄圓片對垂直通過圓心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為，而對任意一直徑的轉(zhuǎn)動慣量是半

29、徑是的均質(zhì)圓環(huán)對垂直通過圓心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為，而對任意一直徑的轉(zhuǎn)動慣量是實心圓柱體對中心對稱軸（通過薄圓片的圓心）的轉(zhuǎn)動慣量是等等另外我們還可能借助于平行軸定理來求解剛體對任意與質(zhì)心軸平行的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 為兩平行軸的距離。有時為了方便，可能用回轉(zhuǎn)半徑來表示，即剛體對某軸線的轉(zhuǎn)動慣量等效于一集中剛體全部質(zhì)量的一點對該軸線的轉(zhuǎn)動慣量，即為回轉(zhuǎn)半徑，所以求剛體對某軸線的回轉(zhuǎn)半徑實際是求剛體對該軸線的轉(zhuǎn)動慣量，比如半徑為的均質(zhì)圓環(huán)對任意一直徑的回轉(zhuǎn)半徑為慣量張量和慣量橢球， 慣量主軸及求法剛體做定點轉(zhuǎn)動時，對任意過定點的軸線的轉(zhuǎn)動慣量的一般表達式若是靜止坐標(biāo)系，慣量系數(shù)是隨時間變化的。慣量張量分

30、為軸轉(zhuǎn)慣量和慣量積，按照一定規(guī)律排列成二階張量形式，參考教材133頁慣量橢球，以剛體上的一點作為坐標(biāo)原點（轉(zhuǎn)動點O），建立固連在剛體上的坐標(biāo)軸，使得軸轉(zhuǎn)動慣量和慣量積為常數(shù)，在轉(zhuǎn)軸上截取一線段過O點有無限多轉(zhuǎn)軸，則Q點所滿足的曲面方程，就是慣量橢球，若坐標(biāo)原點在質(zhì)心，則為中心慣量橢球。 建立固連的坐標(biāo)系，隨慣量系數(shù)為常數(shù)，但還不能消除慣量積，若以慣量橢球的三對稱軸（相互垂直的主軸）為為坐標(biāo)軸，則因?qū)ΨQ性而消去慣量積，使問題簡化，于是我們稱慣量橢球的主軸為慣量主軸，對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量為主轉(zhuǎn)動慣量。在這樣的條件下，對通過定點O（坐標(biāo)原點）任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量一般以幾何方法求得，即規(guī)則剛體的對稱軸為

31、慣量主軸，因此我們以規(guī)則幾何體的對稱中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，求得剛體對三對稱軸的軸轉(zhuǎn)動慣量，則對任意通過該點的軸線的轉(zhuǎn)動慣量，只有知其與三坐標(biāo)軸的方向余旋，則利用上述公式求解即可四， 剛體的平動和繞固定軸的轉(zhuǎn)動 明確平動（3個獨立變量）與定軸轉(zhuǎn)動（1個獨立變量）的概念定軸轉(zhuǎn)動運動學(xué)以軸上某一點為坐標(biāo)原點，則任意一點的速度因每一質(zhì)點做的圓周運動，所以加速度分為切向加速度和法向加速度為到轉(zhuǎn)軸的距離，線量由于不同，則不同，但角量則各點相同，角速度，角加速度,角位移之間的關(guān)系，可以借用平動時，速度，加速度，位移之間的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)顯然采用對軸線的角動量定理（稱為轉(zhuǎn)動定理） 注意是對軸線上某

32、點的角動量定理，在轉(zhuǎn)軸上的投影，所以是標(biāo)量式，應(yīng)用該式解決動力學(xué)問題，需解決兩個問題剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量所有外力對定軸力矩之代數(shù)和前面講過，對力對軸的力矩一定是先求得對軸線上某點的力矩，然后再往該軸線投影而得，看起來很麻煩，實則不然。我們所遇到的情況，基本都是共面力系的情形（包括后面的平面平行運動），所以所有外力對轉(zhuǎn)軸的力矩等于對轉(zhuǎn)軸與該面的交點的力矩（經(jīng)過交點的力，如約束反力，對該點則無力矩），因而大小就等于該力乘以交點到力的作用線的垂直距離，方向用右手螺旋法則判斷，要特別強調(diào)正負(fù)的取法，與平衡問題不同，這里是先確定角位移的正方向（一定是靜線指向動線為的方向），再根據(jù)右手螺旋法則確定力矩的正

33、方向。從而求得個外力對軸線與平面交點的力矩之代數(shù)和若剛體所受的外力中，只有保守力做功，則機械能守恒，該類問題也可結(jié)合機械能守恒定律來求解軸承上的附加壓力（通常是非共面力系）應(yīng)用動量定理和對軸花上某點的角動量定理求解 若要使剛體處于動平衡，即轉(zhuǎn)動時使剛體所受的軸承施加的作用力與靜止時相等，則要求剛體的轉(zhuǎn)軸為慣量主軸，且質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，所以制造和安裝機器的轉(zhuǎn)動部分時需要盡可能滿足上述兩條件，否則附加雜軸承上的壓力會產(chǎn)生很大的破壞作用。五， （重點考查）剛體的平面平行運動（需3個獨立變量） 明確概念，由于剛體做平面平行運動時始終與某一固定平面平行，因此截取一平行于該固定平面的薄片做為代表，即可研究剛體

34、平面平行運動的運動學(xué)和動力學(xué)（動力學(xué)要求是通過質(zhì)心的薄片）運動學(xué)薄片上任意一點的運動分解為基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動速度于是薄片上任意一點的速度為基點的速度( 牽連)和繞基點的轉(zhuǎn)動速度(相對)之矢量和)(0rrvrvvAA 是研究對象對基點的位矢II，任意點的加速度，則是對上式求導(dǎo)，所以記住速度公式是基礎(chǔ)根據(jù)上述兩公式，我們看到是矢量式，務(wù)必建立合理的固連在剛體上的坐標(biāo)系（三維）作為計算工具，但運動參照系是靜止坐標(biāo)系，用來表示各矢量，才能運算, 后面的定點轉(zhuǎn)動運動學(xué)和轉(zhuǎn)動參照系運動學(xué)和動力學(xué)都是采用相同的手法I）轉(zhuǎn)動瞬心做平面平動的剛體，角速度不為零時，每一時刻，剛體上總有一點的速度為零，該點即

35、為轉(zhuǎn)動瞬心，該點速度雖為零，但加速度不為零。我們可以以該點為基點，求解其它點的速度帶來方便，但不能求解其它點的加速度（此時，應(yīng)以加速度已知點為基點）可以根據(jù)該結(jié)論，只有知到薄片上任意兩點的速度，則做兩速度得垂線，交點必為轉(zhuǎn)動瞬心。相對于靜止坐標(biāo)系，隨時間轉(zhuǎn)動瞬心所描繪的軌跡為空間極跡；相對于剛體本身則為本體極跡；動力學(xué)薄片的選取，一定為通過質(zhì)心并平行于固定平面的薄片，以質(zhì)心為基點，薄片的運動分解為質(zhì)心的平面平動和繞通過質(zhì)心且垂直于該薄片的軸線的轉(zhuǎn)動（由于軸線取向一定，可視為定軸轉(zhuǎn)動），這樣可以利用質(zhì)心運動定理處理質(zhì)心的平動，和對質(zhì)心的角動量定理（形式上與對定點的角動量定理一樣）研究繞通過質(zhì)心且

36、垂直于該薄片的軸線的轉(zhuǎn)動質(zhì)心的平面平動是而維運動，因此可采用直角坐標(biāo)系，也可采用極坐標(biāo)系，自然坐標(biāo)系（質(zhì)心做圓周運動的情況），一般采用直角坐標(biāo)系分解矢量式 所以必須建立坐標(biāo)系，并進行正確的受力分析（不明確力的方向時，可先假定其方向，如靜摩擦力），雖以含質(zhì)心的薄片為代表，但我們知應(yīng)是整個剛體所受的作用力（下面對軸線的轉(zhuǎn)動慣量也一樣），應(yīng)為共面力系，否則質(zhì)心就不能做平面運動了繞通過質(zhì)心且垂直于該薄片的軸線的轉(zhuǎn)動由于可視為定軸轉(zhuǎn)動，因而對質(zhì)心的角動量定理簡化為通過質(zhì)心且垂直于該薄片的軸線的轉(zhuǎn)動定理（角動量定理），所以處理方法就給定軸轉(zhuǎn)動一樣 或明確剛體的對該軸線的轉(zhuǎn)動慣量求所有外力對該軸線的力矩 由

37、于是共面力系，因此若以軸線與薄片的交點即質(zhì)心為坐標(biāo)原點，轉(zhuǎn)軸為一坐標(biāo)軸，則所有外力對薄片上兩軸線的力矩必為零（因力與兩軸線相交或平行，都不會對軸線產(chǎn)生力矩效果），所以所有外力對該軸線的力矩等于對質(zhì)心（點）的力矩，力叉積相對于該點的位矢（大?。毫Τ肆Ρ?，方向：右手螺旋法則）；正負(fù)的取法，仍然是先確定角位移的正方向（靜線指動線），再用右手螺旋法則（握角位移）來確定力矩的正方向，進而確定力矩的正負(fù)。 由于剛體做平面平行運動時要受到約束，因此，常要用到約束條件如圓柱體無滑滾動，則 ，當(dāng)然也意味著接觸點的速度為零，是轉(zhuǎn)動瞬心III）還可能借助機械能守恒定律 若只有保守力做功(注意無滑滾動的靜摩擦力不會做

38、功)，則機械能守恒應(yīng)用了柯尼希定理，各質(zhì)點相對質(zhì)心是在做轉(zhuǎn)動。本節(jié)還涉及滾動摩擦的概念，是由于剛體和接觸面都不是絕對剛性，剛體做無滑滾動時，剛體陷入接觸面而產(chǎn)生，它遠(yuǎn)小于滑動摩擦，所以常用滾珠，滾軸軸承是為了用滾動摩擦代替滑動摩擦六、剛體的定點轉(zhuǎn)動（3個獨立變量）明確概念空間極面：剛體定點轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動瞬軸在靜止坐標(biāo)系所描出的錐面本體極面：剛體定點轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動瞬軸相對于剛體自身所描出的錐面1 )運動學(xué)速度： 此時轉(zhuǎn)動點為基點，速度為零，與平面平動相比，這里是三維的加速度：對速度求導(dǎo)即可，注意分別為轉(zhuǎn)動加速度和向軸加速度，是質(zhì)點到瞬時轉(zhuǎn)動軸的垂直距離，方向垂直背離轉(zhuǎn)軸指向質(zhì)點； 若為一般運動，則應(yīng)加上

39、基點的速度和加速度，變?yōu)楸硎举|(zhì)點到基點的位矢除了是三維外，與平面平行運動還有不同之處，即無論是定點轉(zhuǎn)動，還是一般運動，剛體上的質(zhì)點都可能同時參與幾種轉(zhuǎn)動，因而角速度一定是絕對角速度即合角速度，是分角速度的合成上面都是矢量式，務(wù)必建立坐標(biāo)系，一般建立固連在剛體上隨剛體一塊轉(zhuǎn)動的隨動坐標(biāo)系，作為計算的工具（明確運動參照系是地面），公式中的各矢量用表示，才能利用上述公式進行計算（注意之間的叉積關(guān)系）2）動力學(xué)了解歐拉動力學(xué)方程的推導(dǎo)過程，做了兩次簡化，一為了使慣性系數(shù)為常數(shù)，用固連在剛體上的隨動坐標(biāo)系；二為了消除慣量積，使用了慣量主軸作為坐標(biāo)軸。 轉(zhuǎn)動參照系 （10%）本章是研究相對于轉(zhuǎn)動參照系運動

40、的質(zhì)點的運動學(xué)和動力學(xué)，而轉(zhuǎn)動參照系一般為剛體，所以區(qū)別于第三章剛體內(nèi)部一質(zhì)點（無相對運動）的運動學(xué) 一、運動學(xué)（建立固連在剛體上隨剛體一塊轉(zhuǎn)動的隨動坐標(biāo)系） 1， 平面轉(zhuǎn)動參照系1）速度： 為相對速度（質(zhì)點相對于轉(zhuǎn)動參照系的速度）與牽連速度（被轉(zhuǎn)動參照系牽帶著一塊運動而具有的速度）的矢量和；質(zhì)點相對轉(zhuǎn)動點的位矢，在這里是二維2）加速度： 與第一章的平動參照系不同，除了相對加速度 ，牽連加速度（含的項, 牽連切向加速和牽連向心加速度）之外，還有一項是科氏加速度，方向由右手螺旋法則確定，是由于牽連運動和相對運動相互影響而產(chǎn)生，牽連運動改變相對運動的方向，相對運動改變牽連速度，若任意一項是零或特殊

41、情況角速度和相對速度平行，則不存在科氏加速度運算時，建立好固連在剛體上的隨動坐標(biāo)系。各矢量用隨動坐標(biāo)系的表示再運算。 空間轉(zhuǎn)動參照系 明確在空間轉(zhuǎn)動參照系任意一矢量（相對于空間轉(zhuǎn)動參照系的坐標(biāo)原點）的絕對變化率是相對變化率+牽連變化率相對變化率 是動坐標(biāo)系不動時，該矢量的變化率，若相對于動坐標(biāo)系是常矢量，則該項為零；牽連變化率，是被轉(zhuǎn)動參照系牽帶著一塊運動所具有的變化率，當(dāng)或二者平行的時候，該項為零。1）速度與平面轉(zhuǎn)動參照系相同，但意識到這里（質(zhì)點相對轉(zhuǎn)動點的位矢）是三維的2) 加速度形式上與平面轉(zhuǎn)動參照系相同，但這里，都是三維，稱為是牽連向軸加速度（不是牽連向心加速度），是質(zhì)點到瞬時轉(zhuǎn)動軸的

42、垂直距離，方向垂直背離轉(zhuǎn)軸指向質(zhì)點； 顯然，當(dāng)質(zhì)點相對轉(zhuǎn)動參照系不動時，則與第三章的剛體定點轉(zhuǎn)動公式一樣， 轉(zhuǎn)動參照系做定點轉(zhuǎn)動的基礎(chǔ)上推廣到一般情形，即轉(zhuǎn)動點在做平動，速度和加速度都該在加上一項，當(dāng)然應(yīng)歸為牽連速度和牽連加速度。與前面同理，具體操作時，應(yīng)建立好固連在剛體上的隨動坐標(biāo)系，各矢量用隨動坐標(biāo)系的表示再運算，但明確運動參照系是靜止坐標(biāo)系，求得絕對速度和絕對加速度 轉(zhuǎn)動參照系動力學(xué) 轉(zhuǎn)動參照系一定具有加速度，因此一定是非慣性系，在非慣性系中要是牛頓地二定律形式上繼續(xù)成立，必須加上由于運動參照系具有加速度而產(chǎn)生的非相互作用力慣性力平面轉(zhuǎn)動參照系從公式 出發(fā)，兩邊同乘以質(zhì)量，利用慣性系中，

43、并移項有這就是質(zhì)點相對轉(zhuǎn)動參照系運動時的動力學(xué)方程（即為相對加速度），由于是非慣性系，所以必須添加上三項相應(yīng)的慣性力才能得到形式上的牛頓第二定律，后面三項慣性力分別為牽聯(lián)切向慣性力、慣性離心力（因沿位矢，背離轉(zhuǎn)動點）、科氏力（用右手螺旋法則確定，但注意與科氏加速度2的方向相反與前面同理，具體操作時，應(yīng)建立好固連在剛體上的隨動坐標(biāo)系，各矢量用隨動坐標(biāo)系的表示再運算，空間轉(zhuǎn)動參照系從上式出發(fā)，兩邊同乘質(zhì)量，再移項形式上與平面轉(zhuǎn)動參照系相同，但這里，都是三維，在這基礎(chǔ)上可推得一般情形下的表達式，這里不再陳述。相對平衡當(dāng)質(zhì)點相對于轉(zhuǎn)動參照系靜止時，相對速度和相對加速為零，沒有科氏力，這種狀態(tài)稱為相對平

44、衡，是在相互作用力和牽連慣性力的作用下處于相對平衡狀態(tài)，可以利用它們的合力為零來解決問題。所以相對平衡應(yīng)該在非慣性系中處理。四，應(yīng)用（科氏力對地球自轉(zhuǎn)影響） 當(dāng)研究地表上物體的運動精度比較高時，不能再把地球看作是一慣性系，由于自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)， 是非慣性系，由于公轉(zhuǎn)加速度比自轉(zhuǎn)加速度還小得多，所以一般不考慮公轉(zhuǎn)。慣性離心力的影響明確重力是萬有引力與慣性離心力的合力，因慣性離心力隨緯度而減小，所以重力隨緯度增加而增加，兩極處最大（等于萬有引力），但，因是較小的量，所以重力隨緯度變化不會很大科氏力的影響當(dāng)然只有相對地表有運動的物體才談得上科氏力 科氏力對相對地表運動的物體的影響得分北半球和南半球，在北半

45、球科氏力總是指向質(zhì)點運動方向的右側(cè)，但在南半球，正好相反，科氏力總是指向運動方向的左側(cè)，以河流的沖刷為例，在北半球，是右岸（相對河流方向來說的）沖刷較左岸嚴(yán)重，因科氏力總指向運動方向的右側(cè)。在南半球，則是左岸（相對河流方向來說的）沖刷較右岸嚴(yán)重，因科氏力總指向運動方向的左側(cè)。對于火車單線軌道除了區(qū)分南北半球外，還要注意是單向行駛還是雙向行駛。 第五章 分析力學(xué)（30%） 明白分析力學(xué)與牛頓力學(xué)，研究對象都是宏觀物體，任務(wù)都是解決宏觀物體的運動規(guī)律，但所采用的方法很不相同，在牛頓力學(xué)中，最重要的量是力和加速度，矢量性很強，除了動能定理和機械能守恒定律外，幾乎都是矢量式，因此務(wù)必要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

46、，若是動力學(xué)則要進行準(zhǔn)確的受力分析，把矢量式變?yōu)榉至渴剑蝗羰沁\動學(xué)，則矢量用分量來表達（如前面的轉(zhuǎn)動參照系運動學(xué)），才能求解。而分析力學(xué)中最重要的是能量，即動能和勢能，其次確定系統(tǒng)的自由度，進而確定廣義坐標(biāo)，用廣義坐標(biāo)來表示能量等函數(shù)，是十分重要的一步，因而標(biāo)量性很明顯，當(dāng)然有時也免不了要受力分析，畢竟是力學(xué)。一、約束與廣義坐標(biāo) 分析力學(xué)的研究對象：主要是相互作用著的大量質(zhì)點組成的質(zhì)點系，我們常見的就是特殊的質(zhì)點系剛體，我們稱為力學(xué)體系。單個質(zhì)點當(dāng)然也可用分析力學(xué)處理，不過，有時反使問題復(fù)雜化，因它的優(yōu)勢在于處理復(fù)雜體系，一方面用廣義坐標(biāo)(獨立坐標(biāo))來描述力學(xué)體系使方程數(shù)減少，一方面消除未知的

47、約束反力（目標(biāo)是求解力學(xué)體系的運動規(guī)律，而不是約束反力）. 1, 約束 限制力學(xué)體系中質(zhì)點自由運動的條件，通常為坐標(biāo)，速度，時間的函數(shù)，該函數(shù)我們稱為約束方程，簡稱約束 按照下面不同的劃分標(biāo)準(zhǔn)，分為：限制質(zhì)點空間位置的約束是否顯含時間 不顯含時間，穩(wěn)定約束，形如 顯含時間，不穩(wěn)定約束，形如限制質(zhì)點空間位置的約束是否可解 始終不能脫離約束曲面（曲線）的約束，是不可解約束，用等式表示，形如 質(zhì)點雖被約束在某一曲面上，但在某一方向可以脫離，是可解約束，同時用等式和不等式表示，形如：3)是否限制質(zhì)點的速度 僅限制質(zhì)點的空間位置的約束，形如：稱為幾何約束，給不可解約束完全等價，幾何約束也稱為完整約束；

48、不僅限制質(zhì)點的坐標(biāo)，而且限制質(zhì)點的速度，是微分約束；可積分為幾何約束的微分約束也為完整約束，所以完成約束包括幾何約束(不可解約束)和可積分為幾何約束的微分約束；而非完成約束則包括可解約束和不能積分為幾何約束的微分約束，受完整約束的力學(xué)體系是完成系，反之是非完整系，我們主要研究完整系。 我們注意到，上面分類中有相互包含的情況，如同一個約束，即可是穩(wěn)定約束，也可是不可解約束，還可是幾何約束；可解約束只能是非完整約束。 廣義坐標(biāo) 若一個有3n個質(zhì)點組成的力學(xué)體系受到k個幾何約束，則描述其空間位形的獨立坐標(biāo)數(shù)只需3n-k個，此時力學(xué)體系的自由度和獨立坐標(biāo)數(shù)相等，若有微分約束，則自由度數(shù)可小于獨立坐標(biāo)數(shù)

49、，我們研究的是幾何約束 這3n-k=s個獨立坐標(biāo)，稱其為是廣義坐標(biāo)，每一質(zhì)點的三個直角坐標(biāo)都可用這s個獨立坐標(biāo)來表示，于是整個力體系的空間位形當(dāng)然就只需s個獨立坐標(biāo)來描述明確位矢是廣義坐標(biāo)和時間的顯函數(shù)，若不是時間的顯函數(shù)是穩(wěn)定約束的情況。廣義坐標(biāo)，既然稱廣義，它可以是長度，還可是角度等，只需滿足和廣義力的乘積具有功的量綱或者說具有功的形式 虛功原理幾個基本概念實位移與虛位移的區(qū)別和聯(lián)系實位移是實實在在由真實運動而發(fā)生的位移，必然經(jīng)歷時間，且受運動規(guī)律（初始條件和受力情況，所以已包含了約束條件）的限制，只有一個，用表示；而虛位移則是在某一時刻，約束所許可的條件下，假象的可能發(fā)生的位移，可能由無

50、數(shù)多個，且不經(jīng)歷時間，不受真實運動的影響，由約束條件和該時刻所在位置決定，用表示；當(dāng)在穩(wěn)定約束的情況下，實位移是諸多虛位移中的一個2）虛功所有主動力和約束反力在任意的虛位移所做的元功之和，與虛位移相應(yīng)，物功能轉(zhuǎn)化，也不需經(jīng)歷時間3）理想約束 若某一力學(xué)體系的所有約束反力在任意虛位移所做元功之和為零 常見理想約束 1)光滑曲面，曲線，鉸鏈； 2)剛性桿；3)不可伸長的輕繩 ；后面我們研究的就是這類理想約束2，虛功原理 研究對象是受理性的穩(wěn)定的約束且處于靜止?fàn)顟B(tài)的力學(xué)體系，研究任務(wù)，是解決該類體系的靜力學(xué)平衡問題 內(nèi)容： 由于3n個坐標(biāo)不完全獨立，所以不能令系數(shù)為零，需用獨立的廣義坐標(biāo)表示 對連續(xù)

51、體的情況，應(yīng)是主動力作用點對直角坐標(biāo)系原點的位矢，從上式出發(fā)：用虛功原理解決力學(xué)體系的平衡問題的步驟需建立固定的直角坐標(biāo)系分析主動力，觀察分析體系的自由度，并確定廣義坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示主動力作用點的直角坐標(biāo)代入直角坐標(biāo)系下的虛功原理方程（主動力滿足的平衡方程）或廣義坐標(biāo)下的平衡方程程都一樣求解用虛功原理解決力學(xué)體系的平衡問題相對于力學(xué)體系的好處可不考慮未知的約束反力力學(xué)體系約束越多，同等條件下，平衡方程越少，這正是處理復(fù)雜體系所需要的，而牛頓力學(xué)正還相反缺點：不能求出約束反力三 （重點考查）拉格朗日方程是在達郎貝爾原理（把動力學(xué)問題轉(zhuǎn)為靜力學(xué)問題的原理）和虛功原理的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的1基本形式的拉格朗日方程1）內(nèi)容，T為力學(xué)體系的動能，一般是廣義速度，廣義坐標(biāo)及時間