2022屆河南省豫北名校聯(lián)盟高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2022屆河南省豫北名校聯(lián)盟高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】D【分析】由集合的并集運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】故選：D2已知為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，若，則（）ABC1D3【答案】B【分析】根據(jù)，轉(zhuǎn)化為，再利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等，屬于基礎(chǔ)題.3針對時(shí)下的“抖音熱”某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)

2、”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)，若有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（）人附表：0.0500.0103.8416.635附：A20B40C60D80【答案】C【分析】設(shè)男女生人數(shù)共有n人，根據(jù)男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)，算出a，b，c，d的值，代入公式解得，然后根據(jù)有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則有求解.【詳解】設(shè)男女生人數(shù)共有n人，則男生喜歡歡抖音的人數(shù)有，男生不喜歡歡抖音的人數(shù)有，女生喜歡歡抖音的人數(shù)有，男生不喜歡歡抖音的人數(shù)有，所以，因?yàn)?/p>

3、有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，所以，解得，所以，所以調(diào)查人數(shù)中男生可能有60人.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4平面向量與的夾角為，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)向量模的計(jì)算公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，所以，所以根據(jù)向量模的計(jì)算公式得故選：C5已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A為偶函數(shù)B的最大值為C在區(qū)間上單調(diào)遞增D的最小正周期為【答案】C【分析】利用二倍角公式和三角函數(shù)性質(zhì)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】已知函數(shù)，當(dāng)， 時(shí)，當(dāng)， 時(shí)，A選項(xiàng)，所以 為偶函數(shù)正確，B選項(xiàng)，的最大值為，正確，C選項(xiàng)，在區(qū)間上不單調(diào)

4、，錯(cuò)誤，D選項(xiàng)，的最小正周期是，D選項(xiàng)正確，故選：C.6已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，平面，且，則該三棱錐外接球的表面積為ABCD【答案】D【分析】由于球中球心與球的小圓圓心的連線垂直于這個(gè)小圓，利用也垂直于這個(gè)小圓，即可利用球心與小圓圓心建立起直角三角形，根據(jù)題意可求出是底面三角形的外接圓的半徑，利用計(jì)算即可，最后即可求出球的表面積【詳解】由已知得，作下圖，連結(jié)，延長至圓上交于H，過作交于，則為，所以，為斜邊的中點(diǎn)， 所以，為的中位線，為小圓圓心，則為的中點(diǎn)，則，則，則球的半徑 球的表面積為答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)算球的表面積，關(guān)鍵在于利用進(jìn)行計(jì)算，難點(diǎn)在于構(gòu)造三要素相關(guān)的直角

5、三角形進(jìn)行求解，難度屬于中等7等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，已知向量，且，則（）A5BCD【答案】B【分析】根據(jù)是等比數(shù)列，由 ，得到，再由對數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】已知向量，所以，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及對數(shù)運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8已知圓截直線所得弦的長度小于6，則實(shí)數(shù)的取值范圍為ABCD【答案】D【解析】根據(jù)圓的半徑大于零可求得；利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線距離，利用弦長可求得；綜合可得的取值范圍.【詳解】由題意知，圓的方程為：，則圓心為，半徑為則：，解得：圓心到直線的距離為：，解得：綜上所述：本題正

6、確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查直線被圓截得弦長相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是明確弦長等于，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略半徑必須大于零的條件.9已知在中，角的平分線，則（）ABCD【答案】C【分析】先在中，利用正弦定理得到，進(jìn)而得到，從而得到，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得：，所? 故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.10實(shí)數(shù)滿足條件，則的最小值為（）A16B4C1D【答案】D【詳解】有題得如下可行域：則過時(shí)，的最小值為，故選D11已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，

7、且為線段的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率是A2BCD【答案】D【分析】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，化簡后求得雙曲線的離心率.【詳解】由于雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，所以，由于是的中點(diǎn)，故，代入雙曲線方程并化簡得，即，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離是一個(gè)定值，這個(gè)要作為結(jié)論來記憶.要求雙曲線的離心率，可從一個(gè)等式中得到，本題通過雙曲線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來得到一個(gè)等式，由此解出雙曲線的離心率.12已知函數(shù)，函數(shù)在定

8、義域內(nèi)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】函數(shù)在定義域內(nèi)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合找到臨界位置,平移函數(shù)即可得解【詳解】函數(shù)在定義域內(nèi)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).由得: ,相切時(shí)有: 得;由得,相切時(shí)有: 得.在處切線斜率為.如圖所示，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切，從而結(jié)合圖象可知實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn),將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn),準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題13若

9、曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則_【答案】【詳解】yx1，y|x1.曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y2(x1)，將點(diǎn)(0,0)代入方程，得2.14已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，M為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的內(nèi)心為I，則_.【答案】【解析】運(yùn)用橢圓的定義和圓切線的性質(zhì)，以及內(nèi)心的定義，結(jié)合解直角三角形的知識(shí)，即可求得【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓與相切于D，E，F(xiàn)，設(shè)，則，由橢圓的定義，可得，即有，即有：，即，再由，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的定義，考查切線的性質(zhì)，內(nèi)心的定義，屬于中檔題15春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊桿桔槔，后發(fā)展成轆轤.19世紀(jì)末，由于電動(dòng)機(jī)

10、的發(fā)明，離心泵得到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件.圖形所示為灌溉抽水管道在等高圖上的垂直投影，在處測得處的仰角為37度，在處測得處的仰角為45度，在處測得C處的仰角為53度，點(diǎn)所在等高線值為20米，若管道長為50米，則點(diǎn)所在等高線值為_.（參考數(shù)據(jù)）【答案】50【分析】根據(jù)垂直投影圖畫出水平投影圖，利用三個(gè)直角三角形可求出B的高度.【詳解】根據(jù)垂直投影圖，畫出水平投影圖如下：由，得，設(shè)，則，得由，得，解得，所以點(diǎn)所在等高線值為20+30=50.故答案為：50.【點(diǎn)睛】新文化類題目，先仔細(xì)讀懂題意，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)可解；此題的關(guān)鍵是由俯視圖（垂直投影）畫出正視圖（水平

11、投影），利用三角函數(shù)可解.16已知函數(shù)，若存在，使得成立，則的最小值為_.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性情況，且時(shí)，時(shí)，同時(shí)注意，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，同時(shí)注意到，所以若存在，使得成立，則且，所以，所以，所以構(gòu)造函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用同構(gòu)的方式將聯(lián)系起來，這樣就構(gòu)造了新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值.三、解答題17隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動(dòng)效果日益顯著，某

12、大型超市計(jì)劃在不同的線上銷售平臺(tái)開設(shè)網(wǎng)店，為確定開設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量，該超市在對網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪?zhàn)隽顺浞值恼{(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中表示開設(shè)網(wǎng)店數(shù)量，表示這個(gè)分店的年銷售額總和），現(xiàn)已知，求解下列問題；（1）經(jīng)判斷，可利用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求解關(guān)于的回歸方程；（2）按照經(jīng)驗(yàn)，超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤（單位：萬元）滿足，請根據(jù)（1）中的線性回歸方程，估算該超市在網(wǎng)上開設(shè)多少分店時(shí)，才能使得總利潤最大參考公式；線性回歸方程，其中【答案】（1）；（2）開設(shè)8或9個(gè)分店時(shí)，才能使得總利潤最大【分析】（1）先求得，再根據(jù)提供的數(shù)據(jù)求得，寫出回歸直線方程；（2）由（1）結(jié)合，得到，再利用二

13、次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）由題意得，所以（2）由（1）知，所以當(dāng)或時(shí)能獲得總利潤最大18已知三棱柱，平面，為棱上一點(diǎn)，若.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證線面垂直，只要證垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，根據(jù)題目所給垂直關(guān)系可得，在根據(jù)比例關(guān)系，即可得解；（2）通過轉(zhuǎn)體積法可得，即可得解,【詳解】（1）平面，平面，所以，又，所以平面， 平面，所以，所以，在和有：，可得，所以 ，所以平面，得證；（2）.19已知等比數(shù)列滿足：，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，其前項(xiàng)和為，若的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將

14、已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程，即可求解；（2）由（1）可得的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得，再利用基本不等式即可求最值.【詳解】由題意兩式相除可得：，所以，解得：即的通項(xiàng)公式為（2），因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以得，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：對于函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.20已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過橢

15、圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用題意定義可求出，再根據(jù)離心率可得答案；（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可表示出的面積，再利用函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓半焦距為由題意可知，由離心率有，所以橢圓方程為，（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)，有，由，所以的面積，函數(shù)，令，則，因?yàn)?，所以，。所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程、橢圓與直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理表示出三角形的面積，考查了學(xué)生分析問題、解

16、決問題的能力及計(jì)算能力.21已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，并討論、研究的符號，進(jìn)而判斷的單調(diào)性；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造中間函數(shù)，只需求時(shí)的范圍即可.【詳解】（1）且，時(shí)，即單調(diào)遞增；時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增；有，即在上單調(diào)遞減；綜上，時(shí)在上單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題設(shè)，即恒成立，令，則，由（1）知：時(shí)有極小值也是最小值，故只需即可.若，則，即在上遞減，又，時(shí)，即恒成立.正實(shí)數(shù)的范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，并構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值，進(jìn)而求

17、參數(shù)a的范圍.22在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為2cos=3（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與相交于兩點(diǎn)，求的值【答案】（1）；（2）3【分析】（1）曲線參數(shù)方程消去參數(shù)t，可得到的普通方程，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程間的關(guān)系，可將的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）結(jié)合曲線、的極坐標(biāo)方程，可得，設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)的極徑分別為，可求得的值，進(jìn)而可得到的值【詳解】曲線的普通方程為，即極坐標(biāo)方程為曲線的直角坐標(biāo)方程為，即曲線的極坐標(biāo)方程為，代入，可得，則【點(diǎn)睛】求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法：（1）直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；（2）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解.23已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若，且，求證：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】（1）將已知