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1、數(shù) 學(xué)人教八年級(jí)(下冊(cè))18 平行四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理一、幾種特殊四邊形的性質(zhì) 項(xiàng)目四邊形邊角對(duì)角線對(duì)稱性對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且四邊相等對(duì)邊平行且四邊相等對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形互相垂直且平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角要點(diǎn)梳理 四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形二、幾種特殊四邊形的常用判定方法:1.定義:兩組對(duì)邊分別平行 2.兩組對(duì)邊分別相等 3.兩組對(duì)角分別相等 4.對(duì)角線互相平分5.一組對(duì)邊平行且相等 1.定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形 2.對(duì)角線相等的
2、平行四邊形3.有三個(gè)角是直角的四邊形1.定義:一組鄰邊相等的平行四邊形 ;2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形,3.四條邊都相等的四邊形1.定義:一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形 3.有一個(gè)角是直角的菱形要點(diǎn)梳理三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系5種判定方法三個(gè)角是直角四條邊相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等要點(diǎn)梳理四、其他重要概念及性質(zhì)1.兩條平行線之間的距離:兩條平行線中,一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做兩條平行線之間的距離.2.三角形的中位線定理:三角形
3、的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點(diǎn)梳理考點(diǎn)一 平行四邊形的性質(zhì)與判定例1 如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,B90,AGCD交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)E、F分別為AG、CD的中點(diǎn),連接DE、FG.(1)求證:四邊形DEGF是平行四邊形;(2)如果點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),且BC12,DC10,求四邊形AGCD的面積要點(diǎn)梳理解:(1)AGDC,ADBC,四邊形AGCD是平行四邊形,AGDC.E、F分別為AG、DC的中點(diǎn),GE AG,DF DC,即GEDF,GEDF,四邊形DEGF是平行四邊形.要點(diǎn)梳理(2)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),BC1
4、2,BGCG BC6.四邊形AGCD是平行四邊形,DC10,AGDC10,在RtABG中,根據(jù)勾股定理得AB8,四邊形AGCD的面積為6848.要點(diǎn)梳理例2 在ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在邊BC所在的直線上,過(guò)點(diǎn)D作DFAC交直線AB于點(diǎn)F,DEAB交直線AC于點(diǎn)E(1)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí),如圖,求證:DE+DF=AC要點(diǎn)梳理證明:DFAC,DEAB,四邊形AFDE是平行四邊形AF=DE.DFAC,F(xiàn)DB=C,又AB=AC,B=C,F(xiàn)DB=B,DF=BF,DE+DF=AF+BF=AB=AC.要點(diǎn)梳理(2)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖;當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,請(qǐng)分別寫(xiě)出圖、圖中
5、DE,DF,AC之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明(3)若AC=6,DE=4,求DF的值要點(diǎn)梳理解:(2)圖中:AC+DE=DF 圖中:AC+DF=DE(3)當(dāng)如圖的情況,DF=AC-DE=6-4=2; 當(dāng)如圖的情況,DF=AC+DE=6+4=10要點(diǎn)梳理針對(duì)訓(xùn)練2.如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O,AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm,則BOC的周長(zhǎng)是( )A45cm B59cm C62cm D90cm B1.如圖,在ABCD中,ODA=90,AC=10cm,BD=6cm,則AD的長(zhǎng)為( )A4cm B5cm C6cm D8cm A要點(diǎn)梳理3.如圖是某公交汽車(chē)擋風(fēng)玻璃的雨刮器,
6、其工作原理如圖雨刷EFAD,垂足為A,AB=CD且AD=BC,這樣能使雨刷EF在運(yùn)動(dòng)時(shí),始終垂直于玻璃窗下沿BC,請(qǐng)證明這一結(jié)論圖圖證明:AB=CD,AD=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC.又EFAD,EFBC要點(diǎn)梳理例3 如圖,在ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),AH是邊BC上的高(1)求證:四邊形ADEF是平行四邊形;(2)求證:DHF=DEF考點(diǎn)二 三角形的中位線要點(diǎn)梳理證明:(1)點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),DE、EF都是ABC的中位線,EFAB,DEAC,四邊形ADEF是平行四邊形.要點(diǎn)梳理(2)四邊形ADEF是平行四邊形,DEF=BAC,D
7、,F(xiàn)分別是AB,CA的中點(diǎn),AH是邊BC上的高,DH=AD,F(xiàn)H=AF,DAH=DHA,F(xiàn)AH=FHA,DAH+FAH=BAC, DHA+FHA=DHF,DHF=BAC,DHF=DEF要點(diǎn)梳理例4 如圖,在RtABC中,ACB=90,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF=BC若AB=12,求EF的長(zhǎng)要點(diǎn)梳理解:連接CD,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),DEBC,DE= BC,DC= AB.CF= BC,DE FC,DE =FC,四邊形DEFC是平行四邊形,DC=EF,EF= AB=6要點(diǎn)梳理針對(duì)訓(xùn)練5.如圖,是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC、DE垂直于
8、橫梁AC,AB=4m,A=30,則DE等于()A1m B2m C3m D4m A4.如圖,等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),則DEC的度數(shù)為() A150 B120 C60 D30 B要點(diǎn)梳理6.如圖,在ABC中,CAB=90,DE、DF是ABC的中位線,連接EF、AD,求證:EF=AD證明:DE,DF是ABC的中位線,DEAB,DFAC,四邊形AEDF是平行四邊形,又BAC=90,平行四邊形AEDF是矩形,EF=AD要點(diǎn)梳理例5 如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AEBD,過(guò)點(diǎn)D作EDAC,兩線相交于點(diǎn)E求證:四邊形AODE是菱形;考點(diǎn)三 特殊平行
9、四邊形的性質(zhì)與判定要點(diǎn)梳理證明:AEBD,EDAC,四邊形AODE是平行四邊形.四邊形ABCD是矩形,AC=BD,OA=OC= AC, OB=OD= BD,OA=OC=OD,四邊形AODE是菱形.要點(diǎn)梳理【變式題】如圖,O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),作BEAC,CEBD,BE、CE交于點(diǎn)E,四邊形CEBO是矩形嗎?說(shuō)出你的理由.DABCEO要點(diǎn)梳理解:四邊形CEBO是矩形.理由如下:已知四邊形ABCD是菱形.ACBD.BOC=90.BEAC,CEBD,四邊形CEBO是平行四邊形.四邊形CEBO是矩形.DABCEO要點(diǎn)梳理例6 如圖,已知在四邊形ABFC中,ACB90,BC的垂直平分線EF交BC
10、于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,且CFAE;(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形?并說(shuō)明理由;(2)當(dāng)A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECF是正方形?請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論要點(diǎn)梳理解:(1)四邊形BECF是菱形理由如下:EF垂直平分BC,BFFC,BEEC,31.ACB90,3490,1290,24,ECAE,BEAE.CFAE,BEECCFBF,四邊形BECF是菱形;要點(diǎn)梳理(2)當(dāng)A45時(shí),菱形BECF是正方形證明如下:A45,ACB90,CBA45,EBF2CBA90,菱形BECF是正方形要點(diǎn)梳理方法總結(jié)正方形的判定方法:先判定四邊形是矩形,再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等;先判定四邊形是菱形,再判定
11、這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角;還可以先判定四邊形是平行四邊形,再用或進(jìn)行判定要點(diǎn)梳理例7 如圖,ABC中,點(diǎn)O是AC上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC,設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E,交BCA的外角ACG的平分線于點(diǎn)F,連接AE、AF.(1)求證:ECF90;(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?請(qǐng)說(shuō)明理由;要點(diǎn)梳理(1)證明:CE平分BCO,CF平分GCO,OCEBCE,OCFGCF,ECF 18090.要點(diǎn)梳理(2)解:當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形理由如下:MNBC,OECBCE,OFCGCF.又CE平分BCO,CF平分GCO,OCEBCE,OCFGCF,OCEOEC,O
12、CFOFC,EOCO,F(xiàn)OCO,OEOF.又當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),AOCO,四邊形AECF是平行四邊形.ECF90,四邊形AECF是矩形.要點(diǎn)梳理解:當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),且滿足ACB為直角時(shí),四邊形AECF是正方形由(2)知當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,已知MNBC,當(dāng)ACB90,則AOFCOECOFAOE90,即ACEF,四邊形AECF是正方形(3)在(2)的條件下,ABC應(yīng)該滿足什么條件時(shí), 四邊形AECF為正方形要點(diǎn)梳理7.如圖,兩個(gè)含有30角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直線FC滑動(dòng),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A四邊形ACDF是平行四邊形 B當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)
13、,四邊形ACDF是矩形 C當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí),四邊形ACDF是菱形 D四邊形ACDF不可能是正方形 B針對(duì)訓(xùn)練要點(diǎn)梳理8.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC=6,BD=10,則菱形ABCD的面積為_(kāi)30ABCOD要點(diǎn)梳理9.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AG,點(diǎn)E、F分別在AG上,連接BE、DF,12,34.(1)證明:ABEDAF;(2)若AGB30,求EF的長(zhǎng)要點(diǎn)梳理(1)證明:四邊形ABCD是正方形,ABAD.在ABE和DAF中, ABEDAF.要點(diǎn)梳理(2) 解:四邊形ABCD是正方形,1490.34,1390,AFD90.在正方形ABCD中, A
14、DBC,1AGB30.在RtADF中,AFD90,AD2,AF ,DF1.由(1)得ABEDAF,AEDF1,EFAFAE 1.要點(diǎn)梳理例8 在一個(gè)平行四邊形中,若一個(gè)角的平分線把一條邊分成長(zhǎng)是2cm和3cm的兩條線段,求該平行四邊形的周長(zhǎng)是多少.分類(lèi)討論思想 考點(diǎn)四 本章解題思想方法要點(diǎn)梳理解:如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,ADBC,AEB=CBE又ABE=CBE,ABE=AEB,AB=AE(1)當(dāng)AE=2時(shí),則平行四邊形的周長(zhǎng)=2(2+5)=14(2)當(dāng)AE=3時(shí),則平行四邊形的周長(zhǎng)=2(3+5)=16要點(diǎn)梳理平行四邊形的性質(zhì)與判定中要是出現(xiàn)角平分線,常與等腰三角形的性質(zhì)和判定結(jié)合起來(lái)考查,當(dāng)邊指向不明時(shí)需要分類(lèi)討論,常見(jiàn)的的模型如下:方法總結(jié)要點(diǎn)梳理例9 如圖,折疊長(zhǎng)方形一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處,BC=10cm,AB=8cm,求:(1)FC的長(zhǎng);(2)EF的長(zhǎng)方程思想 要點(diǎn)梳理解:(1)由題意得AF=AD=10cm,在RtABF中,AB=8,BF=6cm,F(xiàn)C=BC-BF=10-6=4cm(2)由題意可得EF=DE,可設(shè)DE的長(zhǎng)為x,在RtEFC中,(8-x)2+42=x2,解得x=5,即EF的長(zhǎng)為5cm要點(diǎn)梳理例10 如圖,平行四邊形ABCD中,
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