2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)綜合練習(xí)題含答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)綜合練習(xí)題含答案一、銳角三角函數(shù)1.在厶ABC中，AB=BC，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,O,C重合).過點(diǎn)A,點(diǎn)C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接OE,OF.如圖1,請(qǐng)直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；如圖2,當(dāng)/ABC=90時(shí)，請(qǐng)判斷線段OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由若|CF-AE|=2,EF=2叮3，當(dāng)POF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段OP的長(zhǎng).EPi00BBCC團(tuán)1S2CS備用團(tuán)【答案】(1)OF=OE；(2)OF丄EK,OF=OE,理由見解析；(3)OP的長(zhǎng)為6邁或2/3丁【解析】【分

2、析】(1)如圖1中，延長(zhǎng)EO交CF于K,證明AOECOK,從而可得OE=OK,再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；如圖2中，延長(zhǎng)EO交CF于K,由已知證明ABEBCF,AOECOK，繼而可證得EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OF丄EK,OF=OE；分點(diǎn)P在AO上與CO上兩種情況分別畫圖進(jìn)行解答即可得.【詳解】(1)如圖1中，延長(zhǎng)EO交CF于K,TAE丄BE,CF丄BE,二AEIICK,:.厶EAO=ZKCO,TOA=OC,ZAOE=ZCOK,AAOE竺COK,AOE=OK,1TEFK是直角三角形，AOF=EK=OE；2(2)如圖2中，延長(zhǎng)EO交CF于K,Z

3、ABC=ZAEB=ZCFB=90,ZABE+ZBAE=90,ZABE+ZCBF=90,AZBAE=ZCBF,TAB=BC,AABE竺BCF,ABE=CF,AE=BF,TAOE竺COK,AAE=CK,OE=OK,AFK=EF,AEFK是等腰直角三角形，AOF丄EK,OF=OE；(3)如圖3中，點(diǎn)P在線段AO上，延長(zhǎng)EO交CF于K,作PH丄OF于H,T|CF-AE|=2,EF=2*3,AE=CK,AFK=2,在RtAEFK中，tanZFEK=,AZFEK=30,ZEKF=60,3AEK=2FK=4,OF=eK=2,2AB，點(diǎn)P是CD邊上的任意一點(diǎn)（不含C,D兩端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PFIIBC，交對(duì)角線

4、BD于點(diǎn)F.（H1）厲石（圖習(xí)得用圖）（1）如圖1,將厶PDF沿對(duì)角線BD翻折得到厶QDF，QF交AD于點(diǎn)E.求證：DEF是等腰三角形；（2）如圖2,將厶PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到PDF，連接PC，F(xiàn)B.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0VaV180）.若0VaVZBDC，即DF在ZBDC的內(nèi)部時(shí)，求證：DPC-DFB.如圖3,若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，DFB能否為直角三角形？如果能，試求出此時(shí)tanZDBF的值，如果不能，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；2或.解析】【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可知ZDFQ=ZADF，所以DEF是等腰三角形；(2)由于PFIIBC,所以DP

5、F-DCB，從而易證DPF-DCB；由于DFB是直角三角形，但不知道哪個(gè)的角是直角，故需要對(duì)該三角形的內(nèi)角進(jìn)行分類討論【詳解】(1)由翻折可知：ZDFP=ZDFQ，TPFIIBC，ZDFP=ZADF，ZDFQ=ZADF,.DEF是等腰三角形；(2)若OVaVZBDC，即DF在ZBDC的內(nèi)部時(shí)，TZPDF=ZPDF，ZPDF-ZFDC=ZPDF-ZFDC,ZPDC=ZFDB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：DPF仝DPF，TPFIBC，DPF-DCB，.DPF-DCB.DC_DPdbdF，.DPC-DFB；當(dāng)ZFDB=90時(shí)，如圖所示，1DF=DF=BD，2.DF_1BD2，DF1.tanZDBF=二；BD2

6、，A3當(dāng)ZDBF=90,此時(shí)DF是斜邊，即DFDB,不符合題意;當(dāng)ZDFB=90時(shí)，如圖所示，1DF=DF=BD,2ZDBF=30,tanZDBF,13【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)以及判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、運(yùn)用分類思想進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.4.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中ZBAC=45,ZACD=30,點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE，將厶ADE沿AE所在直線翻折得到ADEDZE交AC于F點(diǎn).若AB=6cm.AE的長(zhǎng)為_cm；試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得DP+E

7、P的值最小，并求出這個(gè)最小值；(3)求點(diǎn)D到BC的距離.【答案】(1)；(2)12cm；(3)認(rèn)Vcm.【解析】試題分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)而得出答案：ZBAC=45，ZB=90,.AB=BC=cm，.AC=12cm.AC12CD-一r(cm)TZACD=30,ZDAC=90,AC=12cm,:點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，.AE=DC=：cm.首先得出厶ADE為等邊三角形，進(jìn)而求出點(diǎn)E,D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DD交AC于點(diǎn)P,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，此時(shí)DP+EP值為最小，進(jìn)而得出答案.連接CD,BD,過點(diǎn)D作DG丄BC于點(diǎn)G

8、,進(jìn)而得出厶ABD仝CBD(SSS)，則ZDBG=45,DG=GB，進(jìn)而利用勾股定理求出點(diǎn)D到BC邊的距離.試題解析：解：(1)(2)TRtAADC中，ZACD=30,.ZADC=60,TE為CD邊上的中點(diǎn)，DE=AE.ADE為等邊三角形.將厶ADE沿AE所在直線翻折得厶ADZE,ADZE為等邊三角形，ZAEDz=60.TZEAC=ZDAC-ZEAD=30,ZEFA=90，即AC所在的直線垂直平分線段ED.點(diǎn)E,D關(guān)于直線AC對(duì)稱.如答圖1連接DD交AC于點(diǎn)P,此時(shí)DP+EP值為最小，且DP+EP=DD.TADE是等邊三角形，AD=AE=W,DD=f葺=2*，即DP+EP最小值為12cm.(3

9、)如答圖2,連接CD,BD,過點(diǎn)D作DG丄BC于點(diǎn)G,TAC垂直平分線ED，AE=AD，CE=CD，TAE=EC,AD=CD=*：.BD1一BDrAD-CD在厶ABD和CBD中，T,ABD仝CBD(SSS).ZDBG=ZDBC=45.DG=GB.設(shè)DG長(zhǎng)為xcm,則CG長(zhǎng)為匕cm,22在RtAGDC中，由勾股定理得F：fl0)，平移拋物線y=-x2，使其頂點(diǎn)D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2.拋物線C2交x軸于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a.（1）如圖1,若m=當(dāng)OC=2時(shí)，求拋物線C2的解析式；是否存在a,使得線段BC上有一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)B與點(diǎn)

10、C到直線OP的距離之和最大且AP=BP?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）如圖2,當(dāng)0B=2-m（OVmV）時(shí)，請(qǐng)直接寫出到厶ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）.71【答案】y=-x2+x+2.1（2）P1C-m,1）,P2Q-m,-3）,P3（-iT7吟-m,3）,P4（3-m,3）.【解析】試題分析：（1）首先寫出平移后拋物線C2的解析式（含有未知數(shù)a）,然后利用點(diǎn)C（0,2）在C2上，求出拋物線C2的解析式；認(rèn)真審題，題中條件AP=BP”意味著點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大”意味著OP丄BC.畫出圖形，如圖1所示，利用三角函

11、數(shù)（或相似），求出a的值；（2）解題要點(diǎn)有3個(gè)：i）判定ABD為等邊三角形；ii）理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；iii）滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，即ABD形內(nèi)1個(gè)（內(nèi)心），形外3個(gè).不要漏解.試題解析：（1）當(dāng)m=，時(shí)，拋物線C1：y=（x+）2.T拋物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線C1上，且橫坐標(biāo)為a,D(a,(a+-)2).拋物線C2：y=-(x-a)2+(a+)2(I).OC=2,C(0,2).T點(diǎn)C在拋物線C上，1-(0-a)2+(a+兒)2=2,解得：a，代入(I)式，7得拋物線C2的解析式為：y=-x2+x+2.在式中，111令y=0,即：-(x-a)2+(a+)

12、2=0,解得x=2a+或x=-,B(2a+,0)；11令x=0,得：y=a+，C(0,a+).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有:直線BC的解析式為：y=-x+(a+b.假設(shè)存在滿足條件的a值TAP=BP,點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)P在C2的對(duì)稱軸上；點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和0)與BC交于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)E,則OP丄BC,OE=a.圖1點(diǎn)P在直線BC上,1111P(a,館+丨)，PE=a+解得：a=.1存在a=，使得線段BC上有一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP(3)T拋物線C2的頂點(diǎn)D在拋物線q上，且橫坐標(biāo)為a，D(a,(a+m)2).拋物線C2：y=

13、-(x-a)2+(a+m)2.令y=0,即-(x-a)2+(a+m)2=0,解得：x1=2a+m,x2=-m,B(2a+m,0).v0B=2.-m,2a+m=2、，-m,AB=0B+0A=2、.：-m+m=2:.iT7iT7如圖2所示，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,則DE=3,BE=AB=，OE=OB-BE=-m.ZABD=60.又:AD=BD,ABD為等邊三角形.作ZABD的平分線，交DE于點(diǎn)P1，則P1E=BEtan30；x=1,P1(V-m,1)；在厶ABD形外，依次作各個(gè)外角的平分線，它們相交于點(diǎn)P2、P3、P4.在RtABEP2中，P2E=BEtan60=八=3,P2（二廠-m,-3）；易

14、知adp3、bdp4均為等邊三角形，dp3=dp4=ab=2L,且p3p4iix軸.二P3（八-m,3）、P4（3、-m,3）.綜上所述，到ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)有4個(gè)，其坐標(biāo)為：P1（1：-m,1）,P2（I:-m,-3）,P3（-m,3）,P4（3：-m,3）.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.某條道路上通行車輛限速60千米/時(shí)，道路的AB段為監(jiān)測(cè)區(qū)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)P到AB的距離PH為50米（如圖）.已知點(diǎn)P在點(diǎn)A的北偏東45方向上，且在點(diǎn)B的北偏西60方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東75方向上，那么車輛通過AB段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速？（參考數(shù)據(jù)：=1.7,J2=1.4）.【答案】車輛

15、通過AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的性質(zhì),構(gòu)造直角三角形,然后利用解直角三角形的應(yīng)用,解直角三角形即可.詳解：如圖，由題意知/CAB=75,ZCAP=45,ZPBD=60,ZPAH=ZCAB-ZCAP=30,50PHTZPHA=ZPHB=90,PH=50,AH=、3=50,tanPAHV3TACIIBD,ZABD=180-ZCAB=105,ZPBH=ZABD-ZPBD=45,則PH=BH=50,AB=AH+BH=5073+50,60千米/時(shí)=斗米/秒,50*3+50_二時(shí)間t=50=3+33=8.1(秒)，丁即車輛通過AB段的時(shí)間在8.1秒以內(nèi)，可認(rèn)定

16、為超速.點(diǎn)睛：該題考查學(xué)生通過構(gòu)建直角三角形，利用某個(gè)度數(shù)的三角函數(shù)值求出具體邊長(zhǎng)，即實(shí)際路程，并進(jìn)行判斷相關(guān)的量。如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是OC外一點(diǎn)，連接CP交OC于點(diǎn)Q,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)為P,當(dāng)點(diǎn)P在線段CQ上時(shí)，稱點(diǎn)P為OC友好點(diǎn)”.已知人（1,0），B（0，2），C（3，3）（1）當(dāng)O0的半徑為1時(shí)，點(diǎn)A，B，C中是O0“友好點(diǎn)”的是;已知點(diǎn)M在直線y=-半x+2上，且點(diǎn)M是O0友好點(diǎn)”，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍；（2）已知點(diǎn)D（2爲(wèi)，0），連接BC，BD,CD,OT的圓心為T（t，-1），半徑為1,若在ABCD上存在一點(diǎn)N,使點(diǎn)N是OT“友好點(diǎn)”，求圓心T的橫坐標(biāo)

17、t的取值范圍.【答案】（1）B；0m3；（2）-4+3朽t3.【解析】【分析】m2+平m+21L2丿22，由此）根據(jù)友好點(diǎn)”的定義，OB=2r=2，所以點(diǎn)B是O0友好點(diǎn)”;設(shè)M（m,-斗m+2），根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，OM=求解即可；(2)B(0,2),C(3,3),D(2p3,0),OT的圓心為T(t,-1)，點(diǎn)N是OT“友好點(diǎn)”，NT2r=2,點(diǎn)C不是OO友好點(diǎn)”,A(1,0)在OO上，不是OO友好點(diǎn)”，故答案為B；如圖，設(shè)M(m，巾+2)，根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義,OM=(m2+整理，得2m2-2、；3m0,解得0m、：3；點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍：0m冷：3；(2).B(0，2)，C(3,

18、3)，D(2j3，0)，OT的圓心為T(t，-1)，點(diǎn)N是OT“友好點(diǎn)”,NT0)，以A為圓心AB長(zhǎng)為半徑的BD交y軸正半軸于點(diǎn)D,BD與BC有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)為E,P為BD上一點(diǎn).若c=6J3+2,BC=，DE的長(zhǎng)為;當(dāng)CP=6込時(shí)，判斷CP與OA的位置關(guān)系，井加以證明；若c=10，求點(diǎn)P與BC距離的最大值；分別直接寫出當(dāng)c=1,c=6,c=9,c=11時(shí)，點(diǎn)P與BC的最大距離(結(jié)果無需化DAAESO【答案】(1)12,n；詳見解析；(2)5；5(3)答案見詳解【解析】【分析】先求出AB,AC,進(jìn)而求出BC和/ABC，最后用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；判斷出厶APC是直角三角形，即可得出結(jié)論；分兩種情

19、況,利用三角形的面積或銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；畫圖圖形,同(2)的方法即可得出結(jié)論詳解】1)如圖1Tc=6、打+2,C=6訂+2,AC=6、/3+2-2=6*3,TAB=6,AC在RtABAC中，根據(jù)勾股定理得，BC=12,tanZABC=V3,AB.ZABC=60,TAE=AB，.ABE是等邊三角形，.ZBAE=60，.ZDAE=30，30兀x6.DE的長(zhǎng)為=n180故答案為12,n；CP與OA相切.證明：TAP=AB=6,AC=OC-OA=6j3,.AP2+CP2=108，又AC2=(6.3)2=108,.AP2+PC2=AC2.ZAPC=90,即：CP丄AP.而AP是半徑，CP與OA相

20、切.若c=10，即AC=10-2=8，貝BC=10.若點(diǎn)P在BE上,AP丄BE時(shí)，點(diǎn)P與BC的距離最大，設(shè)垂足為F,貝PF的長(zhǎng)就是最大距離，如圖2，11SABC=C=2QAF，AF=AB-ACBC24PF=AP-AF=-.5；如圖3若點(diǎn)P在DE上，作PG丄BC于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PG最大.此時(shí)，PGABsinZACB=CPBC即PG=AB-CPBC若c=10,點(diǎn)p與BC距離的最大值是5；3)當(dāng)c=1時(shí)，如圖4，ABPM過點(diǎn)P作PM丄BC,sinZBCP=-BCCD；PM=AB-CDBC6x7=_4=42后T37_?I7=3T當(dāng)c=6時(shí)，如圖5,同c=10的情況，PF=6-當(dāng)c=9時(shí)，如

21、圖6,同c=10的情況，PF=685點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)p到BC的距離最大，同c=10時(shí)情況，心留【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了弧長(zhǎng)公式，勾股定理和逆定理，三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵10.如圖，在菱形ABCD中,ZB二60。，AB=4.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿邊AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ丄AC交邊AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P向上作!3PN/AC，且PN=PQ，以PN、PQ為邊作矩形PQMN.設(shè)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2（秒），矩形PQMN與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S.（1）用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng).（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求t的值

22、.（3）當(dāng)0t1時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，(4)如圖，若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，作直線OM.當(dāng)直線OM將矩形PQMN分成兩部分圖形的面積比為1：時(shí)，直接寫出t的值C2【答案】(1)PQ二2摘；(2)5；(3)-13t2+40島16+3；(4)t=或8t=7【解析】【分析】由菱形性質(zhì)得ZD=ZB=60,AD=AB=CD=4,ACD是等邊三角形，證出APQ是等腰三角形，得出PF=QF,PF=PAsin60f31,即可得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，由題意得：PDN是等邊三角形，得出PD=PN，由已知得PN=PQ=3t，得出PD=3t，由題意得出方程，解方程即可；2(3)當(dāng)0t5時(shí)，PQ=2訂31，P

23、N=TPQ=3t，S=矩形PQMN的面積=PQXPN，即可得出4結(jié)果；當(dāng)5t1時(shí)，PDN是等邊三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t,乙FEN=ZPED=60,得出NE=PN-PE=5t-4,FN=朽NE=空3(5t-4),S=矩形PQMN的面積-2EFN的面積，即可得出結(jié)果；4(4)分兩種情況：當(dāng)0t5時(shí)，ACD是等邊三角形，AC=AD=4,得出0A=2,OG是MNH的中位線，得出OG=4t-2,NH=2OG=8t-4,由面積關(guān)系得出方程，解方程即可；EFOFEF2-t當(dāng)5t2時(shí)，由平行線得出厶0EiMEQ,得出eq=MQ，即=3T，解得EF=經(jīng)壬邑，得出EQ=j3t+厶色二邑，由三角

24、形面積關(guān)系得出方程，解方4t-24t-2程即可【詳解】(1)在菱形ABCD中，ZB=60,zD=ZB=60,AD=AB=CD=4,ACD是等邊三角形，ZCAD=60,PQ丄AC,APQ是等腰三角形，PF=QF,PQ=2p31；(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，如圖2所示:CA圖2由題意得:PDN是等邊三角形.PD=PN，TPN哼pQ耳心3Z,.PD=3t，TPA+PD=AD，即2t+3t=4，4解得：t=5.(3)當(dāng)0t5時(shí)，如圖1所示:PQ=2*31,PN=PQ=x2爲(wèi)t=3t,22S=矩形PQMN的面積=PQxPN=2tx3t=6*312；當(dāng)5t1時(shí)，如圖3所示:A圖3PDN是等邊三角形,PE=

25、PD=AD-PA=4-2t,ZFEN=ZPED=60,NE=PN-PE=3t-(4-2t)=5t-4.FN=p3NE=p3(5t-4),1.s=矩形PQMN的面積-2AEFN的面積=6膽t2-2x.3(5t-4)2=-19t2+40$3t-16,2即S=-19t2+401-16f3；（4）分兩種情況：當(dāng)0VtW5時(shí)，如圖4所示:ACD是等邊三角形,.AC=AD=4,O是AC的中點(diǎn)，.OA=2，OG是厶MNH的中位線，.OG=3t-(2-t)=4t-2,NH=2OG=8t-4,=3x6P3t2,11MNH的面積=2MNxNH=2ztx(8t-4)解得:t=3；當(dāng)5t2時(shí)，如圖5所示:ACIIQM

26、,OEFMEQ,EFOFEF2-1.冃口EQMQ，即EF+杼3t解得：4t-2EQ3t+W蘭,4t-2MEQ的面積=x3tx(.：3t+)=x6*3t2,24t-23冃8解得：t=；2綜上所述，當(dāng)直線OM將矩形PQMN分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)，t的值為3或8【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用知識(shí)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵11.在RtAABC中，ZACB=90,CD是AB邊的中線，DE丄BC于E,連結(jié)CD,點(diǎn)P在射線CB上(

27、與B，C不重合)如果ZA=30,如圖1，ZDCB等于多少度；如圖2,點(diǎn)P在線段CB上，連結(jié)DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到線段DF,連結(jié)BF,補(bǔ)全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；如圖3,若點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，且ZA=a(0VaV90)，連結(jié)DP，將線段DP繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF,連結(jié)BF,請(qǐng)直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系(不需證明)【答案】(1)ZDCB=60.結(jié)論：CP=BF理由見解析；(2)結(jié)論：BF-BP=2DEtana.理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，結(jié)合ZA=30,只要證明厶CDB是等邊三角形即可；根據(jù)全等三

28、角形的判定推出厶DCP竺DBF，根據(jù)全等的性質(zhì)得出CP=BF,求出DC=DB=AD,DEIIAC,求出ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB,DP=DF，根據(jù)全等三角形的判定得出厶DCPDBF，求出CP=BF，推出BF-BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtana即可.【詳解】(1)IZA=30,ZACB=90,ZB=60,TAD=DB,CD=AD=DB,.CDB是等邊三角形,.ZDCB=60.如圖1,結(jié)論：CP=BF.理由如下:TZACB=90,D是AB的中點(diǎn)，DE丄BC,ZDCB=60,.CDB為等邊三角形.ZCDB=60T線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段DF,TZPDF=60,DP=D

29、F,.ZFDB=ZCDP,在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,.CP=BF.(2)結(jié)論：BF-BP=2DEtana.理由：TZACB=90,D是AB的中點(diǎn)，DE丄BC,ZA=a,.DC=DB=AD,DEIIAC,.ZA=ZACD=a，ZEDB=ZA=a，BC=2CE，.ZBDC=ZA+ZACD=2a，TZPDF=2a，.ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB，T線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DF,.DP=DF，在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,CP=BF,而CP=BC+BP,.BF-BP=BC,在RtA

30、CDE中，ZDEC=90,CE.tanZCDE=,DE.CE=DEtana,.BC=2CE=2DEtana,即BF-BP=2DEtana.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出厶DCPDBF是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，證明過程類似.12.已知：如圖，在RtAABO中，ZB=90,ZOAB=30,OA=3.以點(diǎn)0為原點(diǎn)，斜邊OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)P（4,0）為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫圓，OP與x軸的另一交點(diǎn)為N,點(diǎn)M在OP上，且滿足ZMPN=60.OP以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，

31、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,解答下列問題：（發(fā)現(xiàn)）（1）MnN的長(zhǎng)度為多少；（2）當(dāng)t=2s時(shí)，求扇形MPN（陰影部分）與RtAABO重疊部分的面積.（探究）當(dāng)0卩和厶ABO的邊所在的直線相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（拓展）當(dāng)MN與RtAABO的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你直接寫出t的取值范圍.備用圏1備用圖2【答案】【發(fā)現(xiàn)】（1）mn的長(zhǎng)度為n；（2）重疊部分的面積為；【探究】：點(diǎn)p38的坐標(biāo)為（10）；或（巫,0）或（-空3,0）；【拓展】t的取值范圍是2Vt3或334tV5，理由見解析.【解析】【分析】3發(fā)現(xiàn)：(1)先確定出扇形半徑，進(jìn)而用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；(2)先求出PA=1，進(jìn)而求出PQ,即可用面積公式

32、得出結(jié)論；探究：分圓和直線AB和直線0B相切，利用三角函數(shù)即可得出結(jié)論;拓展：先找出MN和直角三角形的兩邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的分界點(diǎn)，即可得出結(jié)論.【詳解】發(fā)現(xiàn)(1)TP(4,0),0P=4.OA=3,J.AP=1,MN的長(zhǎng)度為60兀x1180兀故答案為；(2)設(shè)OP半徑為r,則有r=4-3=1,當(dāng)t=2時(shí)，如圖1,點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，.PA=r=1,設(shè)MP與AB相交于點(diǎn)Q.在RtAABO中，:乙OAB=30,ZMPN=60.pQA=90。，.pQ=*pA二2AQ=Apxcos30二弓,.S重疊部分_1忑亠APQ-2PQXAQ.即重疊部分的面積為工3.8探究如圖2,當(dāng)OP與直線AB相切于點(diǎn)C時(shí)，連接PC,則有PC丄AB,PC=r=1.TZOAB=30,.AP=2,.OP=OA-AP=3-2=1；.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)；如圖3,當(dāng)OP與直線OB相切于點(diǎn)D時(shí)，連接PD,則有PD丄OB,PD=r=1,PDiPDIIAB,.ZOPD=ZOAB=30,.cosZOPD=,-OP二二,-占P的OPcos30o3八坐標(biāo)為耳，0)如圖4,當(dāng)OP與直線OB相切于點(diǎn)E時(shí)，連接PE,則有PE丄OB,同可得:op=塑；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（蘭3,0）；3拓展t的取值范圍是2t3,4t2,直到OP運(yùn)動(dòng)到與AB相切時(shí)，由探究得：0P=1,t二=3,MN與RtAABO的