淺析空間角的求解方法

1、 淺析空間角的求解方法獲2013年云南省教育科研論文競賽二等獎昭通市民族中學溫抗美空間角包括線線角、線面角、面面角，在高考中常以多面體為載體，對這三種角考察的命題趨勢較強，特別是對線面角和面面角是很常見的考察，教學中應高度關注.兒何法求這三種角的一般步驟：首先找出或作出有關的平面角；然后證明它符合定義；最后歸到某一三角形中進行計算可總結為一找，二證，三計算”的步驟用這種方法求解空間角，通常對學生的空間想象力和推理能力的要求都很高，常常因為背景知識的復雜性使學生在尋找角時往往力不從心，導致問題解答無法進行下去，從而求空間角也就成為了教學中的一個難點.普通高中課程標準實驗教科書選修2-1的第三章中

2、，在平面向量的基礎上，引入了空間向量的相關概念及其運算，利用空間向量可以確定空間中直線、平面的位置關系，同時為解決空間角也提供了有效的解題工具，這樣不但拓寬了學生學習的視野，同時也豐富了教學內(nèi)容，關于空間角的求解方法也就靈活多樣了.下面是本人結合教學實踐對求空間角的常見方法的分析總結，淺析如下：一、重要知識點1.求異面直線所成的角幾何法：根據(jù)定義，通常用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，通過平移一條或兩條直線，使之成為兩相交直線所成的角，然后通過解三角形獲解.向量法：設方，厶分別是兩異面直線厶仏的方向向量，則a與5的夾角厶與人所成的角0范圍(0,7T)(0冷求法t7abcos=_-SAIcos0=cosa,

3、b|=f耳b|2求直線與平面所成的角(1)幾何法：根據(jù)定義，通常找出斜線在平面上的射影，則斜線與平面所成角就是線面角，可通過斜線段、垂線段和射影線段所構成的宜角三角形求解.（2）向量法：設直線/的方向向量為方，平面n的法向量為齊直線/與平面a所成的角為0,=（P則0=-（p（卩為銳角）或0=（p（卩為鈍22角）如圖所示sin0=|cos(p1=f1,cos0=sin(p-Jlcos(p.Wil川3求二面角（1）幾何法:通過確定二面角的平面角的大小求二面角，常見情形如下:定義法：如圖，若04丄丄兒則ZAOB就是二面角a-l-0的平面角.三垂線法：如圖，若丄04丄兒則ZAOB就是二面角a-l-0的

4、平面角垂面法：如圖，若P4丄PB1卩,平面PABZ=O,則ZAO3就是二面角a-l-0的平面角.S其中&為平面角的大小此法不必在s投圖中畫出平面角.（2）向量法若43、CD分別是二面角a-l-0的兩個面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量亦與動的夾角或補角（如圖）.設”耳分別是二面角a-l-0的兩個面0的法向量，則二面角a-l-0的大小就是兀與可的夾角或補角. 二、典例賞析類型一求異面直線所成的角【例1】如圖1,正方體ABCD-AQCp中，E、F分別為AQ、AG的中點,求異面直線AE與CF所成的角的余弦值.解法1:（幾何法）如圖M所示，取4B的中點M,連接EF,MF,CM.則四邊形A

5、MFE是平行四邊形，-,AE/MF,ZMFC或其補角是異面直線AE與CF所成的角.(孫+(辰)Si)，_屈25(1-46(1百設正方體ABCD-的棱長為2a,則CM=MF=辰,CF=/6a,在卜CMF中,cos乙MFC=W空_IMFCF異面直線AE與CF所成的角的余弦值是里.解法2：（向量坐標法）建立如圖1-2所示的空間直角坐標系D-xyz,設正方體.旋=(0,2),喬=(1,1,2),的棱長為2,則4(2,0,0),C(0,2,0),E(l,0,2),F(l,l,2),忌|=肩|喬|=&,祚AECF3cos=_,_.=-=-=AECFyfSxy/6AECF=1x1-1-0 x(1)+2x2=

6、3,/30lo-異面直線AE與CF所成的角的余弦值是穿ac=bc=0,解法3：（基向量法）如圖1,設正方體的棱長為1，DA=iDC=D=c,則|6T1=|=|C|=1,且&=，0:.AE=AAk+人丘=ca,，0I.I.IICF=Cq+QF=CC】+-CA=CQ+-(DA-DC)=c-b-a-b,，tl-*1*t21T1*1TZ1*:.AECF=(ca)(cab)=cHcicbecica-ab22222242X|AE|=1-丄=344，=妁朗+（疥=孚TOC o 1-5 h z_3.cosv正，喬=亙聖=導.AECFV5y/610 x22異面直線AE與CF所成的角的余弦值迥.10評析：本題三種

7、解法是求異面直線所成角的基本方法，具體應根據(jù)實際的背景知識靈活選用.類型二求直線與平面所成的角【例2】如圖2,正三棱柱ABC-AC,的底面邊長為a,側棱長為J刃，求4C；與側面ABB.A,所成角的大小.解法1：（幾何法）如圖2-1,取AQ的中點M,連接正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為AdG是等邊三角形，/.CtM丄AQ乂側面A.ABB,丄底面AQC；,且它們的交線為4百，CMc平面40C.-GM丄平面A.ABB,/.ZC/M是4C；與側面ABB.A,所成的角.乂AM=3a在RtAMC,中,cosZCAM=ZCAM=-.11AC,216即AC與側面ABB所成角的大小為-.6解法2：（向量法）設

8、00分別為4C,4C的中點，則OOl,AC,OB兩兩互相垂直,故可建立如圖2-2所示的空間直角坐標系ORZ，于是4（扌,0,0）,3（0,乎、0）,A（,0,y/a）,C（,0,/Td）,二必=（0,0,血）,M=（_彳,年,0）,乙乙A41=（0,0,y/2ci）設n=（x,y,z）是平面ABB的法向量,nAB=0nAAk=0即x=yf令）,=i,得h=（V3丄o）.z=o9ACt/?=/3nJACk=y/3an|=2,/.cos=設AC與平面ABB所成角0,則0g(0,；),且sin0=|cos=扌,e=96即AC】與側面ABB所成角的大小為-.解法3：（向量法）設00分別為4CMC的中點

9、，則OOAC.OB兩兩互相垂直,故可建立如圖2-3所示的空間直角坐標系ORZ，則4（號,0,0）,3（0,孕,0）,A(,0,G(,0,yfla),:.AC=(-a,0,忑a),AB=(-#,0),=(0,0,V7d),乙乙設n=（x,y,z）是平面ABB.A,的法向量,nAB=0由nAA=0y/2az=0即x=*y,令),=,得7=(jj丄o).z=o.ACk/?=y/3aACt|=5/36/Jn|=2,設點c到平面ABB.A,的距離為d,AC與平面ABB所成角0,則化（0,工）,.sinP=7T62即AC；與側面所成角的大小為-6評析：本題三種解法是求線面角的基本方法，具體應根據(jù)實際的背景

10、知識靈活選用.在建立空間直角坐標系時，方法靈活，本題解法中的建空間直角坐標系是一種常見的對正三棱柱的建系方法，還可作其他建系方法.類型三求二面角【例3】如圖3,正方體ABCD-ACfi,中，M、N分別為AB八BD的中點,求平面與平面MNB所成的銳二面角.4JN/3-圖解：建立如圖3J所示空間直角坐標系B-xyz，設正方體ABCD-AQD,的棱長為2,則5(0,0,0),A(2,0,0),A/(1,0,1),N(1丄0),麗=(一1丄0)麗=(K04),MN=(0,1，-1),設兀=(心)2)是平面MN4的法向量，兀=(心凡心)是平面MNB的法向量,兀麗=0兀顧=0呂+)1=0兒一3=令開=1,

11、得4=(14,1).n2BM0仏MN0令x2=l,得云.*.=1X1+1X(1)+1X(-1)=-1,|/?!|=|772|=/3,、/?.-/-11COS=二=嚴=-.-MIMI(Q3平面MN4與平面MNB所成的銳二面角的余弦值是|評析：本題解法是向量法坐標法，通過建立空間直角坐標系，求平面的法向量而獲解，這是求二面角的一種基本而又常用方法之一.【例4】如圖4,己知P4丄平面ABC,AC丄BC.PA=AC=1*C=屁求二面角A-PB-C的余弦值.圖4解法1：（向量坐標法）建立如圖4J所示的空間克角坐標系則A(0,0,0),B(丄0),C(0丄0),P(0,0,1),血=(血丄一1)刀=(0.

12、0,1),荒=(-72.0,0),屈|+開7=0,令兀=1,得兀=(i,_7Io).4=0+”一乙=0,e，令兒=1，得fU=(0丄1)y/2x=0設耳=(心)izj是平面PBA的法向量，n2=(x2.y2,z2)是平面PBC的法向量,得qAP=0空得仏BC=0:.nn2=1x0+(-V2)x1+0 x1=-a/2,|q|=$|=V?,*/?.仏.COSS，仏=二二=亠-山剛屁忑3由圖知二面角A-PB-C是銳二面角，VL_/3二面角的余弦值是半解法2：（向量坐標法）建立如圖42所示的空間直角坐標系4-廠2,則4（0、0、0）,B（屁,0）,C（0,l,0）,P（0,0,l）,二西=（VI丄_1

13、），麗=（X（M）,CB=（Q0,0）,設EePB.FePB.且4E丄P艮CF丄PB,則PE=tPB=(Q,心-tBF=mPB=(5/2/77,m.m).AE=AP+PE=(屈M-0,由旋PB=O,CF兩=0,得2/+一1+/=02+2m+m+加=0解得/=丄沖=丄，42.旋.污|狷=斗,|CF1=1,一_丄atAECF2品cos=，i_=.AECF逅燈32二面角A-PB-C的余弦值是f.【例5如圖5,在矩形ABCD中，AB=AD=PA丄平面ABCD,PA=5求二面角ABDP的大小圖5p解法1:（幾何法）如圖54,作AM丄BD于M,連接 PA丄平面ABCD,.PA丄BD,（三垂線定理）:.Z.

14、PMA是二面角A-BD-P的平面角.在RtABD中，:AB=3,AD=4,BD=y/ABrTAb2=5,BD乂在R3AM中,ZP9。：,*半tanAPMA=AM4/3=%.ZPMA=3(y,T二面角A-BD-P的大小為30解法2：（向量坐標法）如圖5-2,由題意知可建立空間直角坐標系A-則4(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),P(0,0羋)4P=(0O，麗=(_3,4、0),PB=(3,0,_羋),.PA丄平面ABCD,.AP=(0,0,是平面的法向量,設n=（x,”z）是平面BDP的法向量,迺“得nBP=03x+4y=0遲=05令x=4,得y=3皿=5羽，/=(435血),=12

15、,|伯=半,|；|=10,cos麗；=雪2=斗=巫，./17,求該二面角的大小.解：（基向量法）如圖6,AB丄AC4B丄BD:.AB刃=0.忑麗=0、:CD=CA-AB+BD.AB=4,AC=6.BD=&CD=2廬,:.CD=(CAAB+BD)1=CA+BD2CAAB+2AB麗+2刃而,.(2/F7)2=62+42+g2+2x6x8cos,，.I.，.cos=，/.=120,/.=60、2所求二面角的大小60.【例7將正方形ABCD沿對角線折成如圖7所示的直二面角，求二面角A-BC-D的平面角的余弦值.解法X（幾何法）如圖7-1,取3的中點O,BC的中點E,連接OE.OAAE,則40丄BDQE

16、/CD.二面角A-BD-C直二面角，平面ABD丄平面CBD,乂平面ABDQ平面CBD=BD,AOC平面ABD,AO丄BD,平面40丄平面CBD.AOE是AE在平面CBD上的射影.：OECD,BCA_CD,.OE丄BC,:.AE丄BC,（三垂線定理）ZAEO是二面角A-BC-D的平面角.設則在OE中，心,*字心孚cos如。=鬻=.二面角込D的平面角的余弦值是拿解法2：（向量坐標法）取3D的中點0,連接OCQA,AB=BC=CD=DA,.04JBDQC丄BD.又.二面角A-BD-C直二面角，.OA,BD,OC兩兩互相垂直，可建立如圖7-2所示的空間直角坐標系O-QZ.設AB=2t則0(000),4(0,0),C(Q,0,0),B(0,-妊0).*.OA.=(0,0,2),BC=(2,-2,0),BA.=(0,2,2),易知刃是平面BCD的法向量.設=（兀y,z）是平面BCA的法向量,.tvBA=0則T一BC=0Q+g,即y/2x+y/2y=0二分令j得je.OAn=/2,/OA|=/2,n=5/3,/.cos=OA-n_5/2OAn2x/3二面角C_Q的平面角的余弦值是拿解法3：（面積法）如圖7-3,取BD的中點0,連接OC,Q4,:AB=BC,.OA丄BD、.二面角A-BD-C直二面角，平面丄平面BCD,.04丄