三角函數(shù)變換的技巧與方法

1、21+三角函數(shù)變換的方法與技巧(1)一、角的變換在三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明題中，表達(dá)式往往出現(xiàn)較多的相異角，此時(shí)可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補(bǔ)的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解。常見角的變換方式有：u=(u+B)，；2tt(u+B)+(a，)；a2a，(a，)+a；a2等等。2例1、已知tan(a+)ntan(a),n1，求證:sin2sin2an一1n+121+分析：在條件中的角a+和a-與求證結(jié)論中的角2a,2卩是有聯(lián)系的，可以考慮配湊角。解：2(a+)-(a，)，2a(a+)+(a，)，sin2sin(a+)一(a，)sin2asin(a+)+(a，)

2、sin(a+)cos(a，)一cos(a+)sin(a，)sin(a+)cos(a，)+cos(a+)sin(a，)tan(a+)_tan(a_)tan(a+)+tan(a，)ntan(a)，tan(a)n，1ntan(a)+tan(a)n+1二、函數(shù)名稱的變換三角函數(shù)變換的目的在于“消除差異，化異為同”。而題目中經(jīng)常出現(xiàn)不同名的三角函數(shù)，這就需要將異名的三角函數(shù)化為同名的三角函數(shù)。變換的依據(jù)是同角三角函數(shù)關(guān)系式或誘導(dǎo)公式。如把正(余)切、正(余)割化為正、余弦，或化為正切、余切、正割、余割等等。常見的就是切割化弦。兀(a4)，試用k表sin2a+sin2a例2、(2001年上海春季高題)已知

3、k1+tana示sina，cosa的值。分析：將已知條件“切化弦轉(zhuǎn)化為sina,cosa的等式。解：由已知2sin2a+sin2a1+tana2sina(sina+cosa)2sinacosak；sina21+21+cosaa,cosx42sinacos=(sina一cosa)2=1一2sinacosa=1一k。三、常數(shù)的變換在三角函數(shù)的、求值、證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，例如常數(shù)“1”的變換有：1=sin2a+cos2a=sec2atan2a=csc2acot2a,1=sin900=sin450,=seca-cosa,1=cscasina等等。sin4x+cos4x+sin2xco

4、s2x,例3、(2004年全國(guó)咼考題)求函數(shù)f(x)=的取小正周一sin2x期，最大值和最小值。分析：由所給的式子sin4x+cos4x+sin2xcos2x可聯(lián)想到1=(sin2x+cos2x)2。sin4x+cos4x+sin2xcos2x解:f(x)=2一sin2x1一sin2xcos?x2(1一sinxcosx)1.1=sin2x+。4231所以函數(shù)f(x)的最小正周期是，最大值為3，最小值為-。44四、公式的變形與逆用在進(jìn)行三角變換時(shí)，我們經(jīng)常順用公式，但有時(shí)也需要逆用公式，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。通常順用公式容易，逆用公式困難，因此要有逆用公式的意識(shí)。教材中僅給出每一個(gè)三角公式的基本形式

5、，如果我們熟悉其它變通形式，?？梢蚤_拓解題思路。如由sin2a_sin2a亠snasin2a=2sinacosa可以變通為cosa=與cosa=；由tana=可sinasinacosa變形為sina=tanacosa等等。例4、求(3tan120-3)csc120的值。4cos2120一2分析：先看角，都是120，再看函數(shù)名，需要切割化弦，最后在化簡(jiǎn)過程中再看變換。sin1201一3-cos120120解：原式=丿(切割化弦)4cos120一2sin120一3cos1202sin120cos120(2cos2120一1)213（逆用二倍角公式）3(sin120一cos120)22sin240c

6、os240sin240cos2403伽120COS60一沁l20sin60)(常數(shù)變換)（逆用差角公式）3sin(12o60o)2sin240cos24043血（一48=43（逆用二倍角公式）。sin480這里我們給出了四種三角函數(shù)的變換方法與技巧，在處理三角函數(shù)問題的過程中若能注意到這些變換的方法與技巧，將有利于我們對(duì)三角函數(shù)這一章內(nèi)容的理解。三角函數(shù)變換的方法與技巧（2）在上一部分我們介紹了部分三角函數(shù)的孌換技巧與方法，下面我們?cè)俳榻B四種變換的方法與技巧：五、引入輔助角asinx,bcosx可化為a2,b2sin（x,）,這里輔助角q所在的象限由a,b的符號(hào)b確定，q角的值由tanq=確定

7、。a例5、求y=5cos2x-6sin2x,20sinx-30cosx,7的最大值與最小值。分析：求三角函數(shù)的最值問題的方法：一是將三角函數(shù)化為同名函數(shù)，借助三角函數(shù)的有界性求出；二是若不能化為同名，則應(yīng)考慮引入輔助角。解：y=（9cos2x一12sinxcosx,4sin2x）,20sinx一30cosx,3=(3cosx2sinx)2,10(2sinx3cosx),3=(3cosx2sinx,5)222=(2sinx3cosx,5)222=13sin(xq)+5222其中，3tanq=，2當(dāng)sin(xq)=1時(shí)，y=(13+5)222=16+1013；max當(dāng)sin(xq)=1時(shí)，y=(1

8、3+5)222=161013。min注：在求三角函數(shù)的最值時(shí)，經(jīng)常引入輔助角，然后利用三角函數(shù)的有界性求解。六、冪的變換降冪是三角變換時(shí)常用的方法，對(duì)于次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。1COS21+COS2.吊用的降冪公式有：sin2，,cos2，和1，sin2+cos222，sec2tan2，csc2-cot2等等。降幕并非絕對(duì)，有時(shí)也需要升幕，如對(duì)于無理式1+cos常用升幕化為有理式。例6、化簡(jiǎn)sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。2分析：從“幕”入手，利用降幕公式。解：原式1，(1一cos2)(1一cos42)+(1+cos2)(1+cos2)41cos2c

9、os221,_(14(1+cos2cos2卩)一21cos2cos22cos2一cos2+cos2cos2)+(1+cos2+cos2+cos2cos2)42丄一cos2cos2七、消元法如果所要證明或要求解的式子中不含已知條件中的某些變量，可以使用消元法消去此變量，然后再求解。例7、求函數(shù)y，2一sinx的最值。2一cosx解：原函數(shù)可變形為：sinx-ycosx，2-2y，即sin(x一)，2-2y，1+y21sin(x一)l122y11+y24+747解得：y，,ymax3min3八、變換結(jié)構(gòu)在三角變換中，吊吊對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變乘為除，或求差等等。在形式上有時(shí)須和差與積互化，分解因式，配方等。例8、化簡(jiǎn)1血xcosx。1sinxcosx分析：本題從“形式”上看，應(yīng)把分析式化為整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成積的形式。解：1sinx-cosx，1一cosxsinxx二2sin22sinxxcos222x(sinxx，2sin-cos-)222xxx1sinxcosx，1cosxsinx，2cos22sincos222TOC o 1-5 h zx.xx，2cos(sincos)2221sinx一cosxx所以，tan1sinxcosx2九、思路變化對(duì)于一