數(shù)學(xué)必修2一二章知識(shí)點(diǎn)整理(含習(xí)題)

1、高中數(shù)學(xué)必修2第一章 空間幾何體知識(shí)點(diǎn)梳理（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)1. 多面體與旋轉(zhuǎn)體：多面體：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球；另一種分類(lèi)方式：柱體：棱柱、圓柱；椎體：棱錐、圓錐；臺(tái)體：棱臺(tái)、圓臺(tái)；球簡(jiǎn)單組合體：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成。2. 棱柱：直棱柱 斜棱柱 正棱柱 三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等等。棱柱的性質(zhì)：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。3. 棱錐：三棱錐、四棱錐、五棱錐、六棱錐等等（1）棱錐的性質(zhì)：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底

2、面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.（2）正棱錐的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。正棱錐的高，斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高，側(cè)棱，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等。正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等。4. 圓柱與圓錐：圓柱的軸 圓柱的底面 圓柱的側(cè)面 圓柱側(cè)面的母線5. 棱臺(tái)與圓臺(tái)：統(tǒng)稱為臺(tái)體（1）棱臺(tái)的性質(zhì)：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的相似多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn).（2）圓臺(tái)的性質(zhì)：兩底面是兩個(gè)半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任意兩條母線的延長(zhǎng)線交于一

3、點(diǎn)；母線長(zhǎng)都相等.6. 球：球體 球的半徑 球的直徑. 球心（二）空間幾何體的三視圖和直觀圖1.中心投影 平行投影 正投影2.三視圖的畫(huà)法：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等。3.直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法，直觀圖中斜坐標(biāo)系，兩軸夾角為；平行于x軸長(zhǎng)度不變，平行于y軸長(zhǎng)度減半。（三）空間幾何體的表面積和體積1.柱體、錐體、臺(tái)體表面積求法：利用展開(kāi)圖2.柱體、錐體、臺(tái)體表面積體積公式，球體的表面積體積公式：幾何體表面積相關(guān)公式體積公式棱柱棱錐棱臺(tái)圓柱（r：底面半徑，l：母線長(zhǎng)=h：高）圓錐（r：底面半徑，l：母線長(zhǎng)）圓臺(tái)（r：下底半徑，r上底半徑，l：母線長(zhǎng)）球體第二章 直線與平面的位置關(guān)系基礎(chǔ)梳理一、空間中直線與

4、直線之間的位置關(guān)系1 平面含義：沒(méi)有大小之分，沒(méi)有厚度，平面是平的且可以無(wú)限延展的2平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)符號(hào)表示為(2)公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 若A，B，C不共線，則A，B，C確定平面推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面若，則點(diǎn)A和確定平面推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面 若，則確定平面 推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面 若，則確定平面 (3)公理3：如果兩個(gè)平面(不重合的兩個(gè)平面)有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)

5、這個(gè)公共點(diǎn)的直線(4)公理4：（平行公理）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性） 四個(gè)作用(1)公理1的作用：判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)(2)公理2的作用：公理2及其推論的作用確定一個(gè)平面，判斷“直線共面”的方法(3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點(diǎn)共線(3)公理4的作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。(5) 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 作用：該定理也叫等角定理，可以用來(lái)證明空間中的兩個(gè)角相等。3直線與直線的位置關(guān)系

6、(1)位置關(guān)系的分類(lèi)空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。（既不平行，也不相交）注：判定異面直線的兩種方法：(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)注意點(diǎn)：a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選

7、擇無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；三步驟：1、平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；2、找銳角（或直角）作為夾角；3、求解兩條異面直線所成的角取值范圍：0。,90。.當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作ab；兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；4直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 符號(hào) a 相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 符號(hào) a= A平行沒(méi)有公共點(diǎn) 符號(hào) a說(shuō)明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來(lái)表示a5平面與平面的位置關(guān)系有平行沒(méi)有公共點(diǎn)： 符號(hào) 相交有一條公共直線: 符號(hào) =a二、直線、平面平行的判定及其性

8、質(zhì)1、直線和平面平行的判定判定直線和平面平行的方法(1)定義：直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線平行于平面；（2）直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（只需在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行就可以）簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。 符號(hào)： 作用：判定直線和平面平行2直線和平面平行的性質(zhì)定理：直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行，則線線平行. 符號(hào): 作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。3兩個(gè)平面平行的判定定理判斷兩平面平行的方法有三種：(1)定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共

9、點(diǎn)，稱這兩個(gè)平面平行；(2)平面與平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。簡(jiǎn)記為：線面平行，則面面平行. 符號(hào)： (3)推論：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a ，b，abM，a，b，abM，aa，bb.（4）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。4兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。簡(jiǎn)記為：面面平行，則線線平行. 符號(hào)：作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行（2）補(bǔ)充性質(zhì)1：平行于同一平面的兩平面平行； 補(bǔ)充性質(zhì)2：

10、夾在兩平行平面間的平行線段相等； 補(bǔ)充性質(zhì)3：兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行； 1 2 3 5平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：注意：(1)在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)一條直線不在平面內(nèi)，一條直線在平面內(nèi)，否則扣分.(2)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行證明兩直線平行的主要方法是： 三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半； 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行； 線面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線和它們的交線平行； 平行線的傳遞性： 面面平行的性質(zhì)：如果一個(gè)平面

11、與兩個(gè)平行平面相交，那么它們的交線平行； 垂直于同一平面的兩直線平行； 三、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1直線與平面垂直定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 簡(jiǎn)記為：線線垂直，則線面垂直. 符號(hào)：性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。 符號(hào)： 性質(zhì)：垂直于同一直線的兩平面平行 符號(hào)：（4）推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面符號(hào)語(yǔ)言：ab, a，b2斜線和平面所成的角（1）斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角。（2）直線與平

12、面所成角的取值范圍為：0,903平面與平面垂直定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。 判定：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。（只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線就可證明面面垂直）簡(jiǎn)記為：線面面垂直，則面面垂直. 符號(hào)：推論：如果一個(gè)平面平行于另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直。符號(hào)語(yǔ)言 : aa，aa；性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 簡(jiǎn)記為：面面垂直，則線面垂直. 符號(hào)： 4垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系5二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形2二面角的記法：二面角-l-或

13、-AB-等3二面角的平面角取值范圍：0,1804、求二面角大小的方法：定義法；垂面法；垂線法四、三類(lèi)證法(1)證明線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90；（特別是證明異面直線垂直）；線面垂直的性質(zhì)：a，bab；線面垂直的性質(zhì)：a，bab.利用勾股定理證明兩相交直線垂直；利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，“線斜垂”） (2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性質(zhì)：，aa；面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.(3)證明面面垂直的方法利用定義：兩個(gè)平面

14、相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.空間角及空間距離的計(jì)算1.異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角，通常在兩異面直線中的一條上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作另一條直線平行線，2. 斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：PA是平面的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，為線面角。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形，如圖為二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分別在兩個(gè)半平面內(nèi)且角的兩邊與二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關(guān)鍵點(diǎn)是： 確構(gòu)成二面角兩個(gè)半平面和棱；明確二面角的平面角是哪個(gè)？ 而要想

15、明確二面角的平面角，關(guān)鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。 （求空間角的三個(gè)步驟是“一找”、“二證”、“三計(jì)算”）4.點(diǎn)到平面的距離：指該點(diǎn)與它在平面上的射影的連線段的長(zhǎng)度。如圖：O為P在平面上的射影，線段OP的長(zhǎng)度為點(diǎn)P到平面的距離求法通常有：定義法和等體積法5、等體積法：如圖：1給出如下四個(gè)命題：棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)共同的公共點(diǎn)；多面體至少有四個(gè)面；棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn)，其中命題正確的是（ D ） A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2、下列各組幾何體中是多面體的一組是（ C ）A 三棱柱 四棱臺(tái) 球 圓錐 B 三棱柱 四棱臺(tái) 正方體 圓臺(tái)C 三棱柱

16、 四棱臺(tái) 正方體 六棱錐 D 圓錐 圓臺(tái) 球 半球3、如果一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是長(zhǎng)方形，則這個(gè)幾何體可能是（ A ）A 長(zhǎng)方體或圓柱 B 正方體或圓柱C 長(zhǎng)方體或圓臺(tái) D 正方體或四棱錐4. 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積 是 ( D ) HYPERLINK A.9 B.10 C.11 D.12 HYPERLINK 解析：這是一個(gè)上面是以2為直徑的球，下面是以2為直徑，以3為高的圓柱拼接起來(lái)的組合體，分別代球的表面積和圓柱的表面積公式和計(jì)算而得。思考：將上式求表面積改為求體積又怎么求呢？5、若圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1和3，它的側(cè)面積是兩底面面積的2倍，則

17、圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是（ ）A 2 B 2.5 C 5 D 106.一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為（ ）A. 48+12 B. 48+24 C. 36+12 D. 36+24CABDPA1B1C1D17、如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為（ B ）A B C 4 D 16 8、已知長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱分別是3、4、5，且它的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是（ C ）A B C D 9、棱長(zhǎng)為，各面均為等邊三角形的四面體（正四面體）的表面積為體積為10、正方體表面積為，它的頂點(diǎn)都在球

18、面上，則這個(gè)球的表面積是11、下列有關(guān)平面的說(shuō)法正確的是（ C ）A 一個(gè)平面長(zhǎng)是10cm，寬是5cm B 一個(gè)平面厚為1厘米C 平面是無(wú)限延展的 D 一個(gè)平面一定是平行四邊形12、下列圖形不一定是平面圖形的是（ B ）A 三角形 B 四邊形 C 圓 D 梯形13、共點(diǎn)的三條直線可確定幾個(gè)平面 （ D ）A 1 B 2 C 3 D 1或314、不共線的四點(diǎn)可以確定1個(gè)或4個(gè)個(gè)平面。15、下列說(shuō)法若一條直線和一個(gè)平面有公共點(diǎn)，則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)過(guò)兩條相交直線的平面有且只有一個(gè)若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合兩個(gè)平面相交有且只有一條交線過(guò)不共線三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，其中正確的有16、空間

19、兩條互相平行的直線指的是（ ）A 在空間沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線 B分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線C 分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線D 在同一平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線17、正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線BD異面且成600角的面對(duì)角線有（ A ）條。A 4 B 3 C 2 D 118、一條直線和一個(gè)平面平行，夾在這條直線和平面間的兩條線段相等，則這兩條線段的位置關(guān)系是（ D ）A 平行 B 相交 C 異面 D 以上均有可能19、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1與平面ADC1B1的位置關(guān)系是（ A ）A 平行 B 相交 C 在平面ADC1B1內(nèi) D 以上都不正確

20、一、選擇題1設(shè) ，為兩個(gè)不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個(gè)命題：若，則lm；若lm，則那么( D )A是真命題，是假命題B是假命題，是真命題(第2題)C都是真命題D都是假命題2如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( D )ABD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 D異面直線AD與CB1角為603關(guān)于直線m，n與平面，有下列四個(gè)命題：m，n且，則mn；m，n且，則mn；m，n且，則mn；m，n且，則mn其中真命題的序號(hào)是( D )ABCD4給出下列四個(gè)命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行若直線l1，l2

21、與同一平面所成的角相等，則l1，l2互相平行若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個(gè)數(shù)是( D )A1B2C3D45下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( B )若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l 若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn) A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè) 6 兩直線l1與l2異面，過(guò)l1作平面與l2平行，這樣的平面( B )A不存在B有唯一的一個(gè)C有無(wú)數(shù)個(gè)D只有兩個(gè)7給出以下四個(gè)命題：如果一條直線和一個(gè)平面平行

22、，經(jīng)過(guò)這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么些兩個(gè)平面互相垂直其中真命題的個(gè)數(shù)是( B )A4 B3 C2 D18.如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的體積為（ B ） 9.如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為1和2的矩形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的體積為（ B ） A. 4B. C. D. 正視圖側(cè)視圖俯視圖10.如圖所

23、示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為（D） A. 3B. 4C. 5D.24.(本小題滿分7分，其中第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)3分） 如圖，在正方體中.（1）求證：AC；（2）求異面直線AC與所成角的大小。25.(本小題滿分7分，其中（1）問(wèn)4分，（2）問(wèn)4分）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA平面ABCD，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)。（1）求證：PC/平面BED；ABCC1DD1A1B1（2）求異面直線AD與PB所成角的大小。24.(本小題滿分7分，其中第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)3分）如圖，在正方體ABCD中，E、F分別為、中點(diǎn)。ABCDA1D1C1B1EF（1）求證：EF/平面ABCD；（2）求兩異面直線BD與所成角的大小。證明：（1）連接AC，E、F分別為、中點(diǎn)， 又，.4分（2）連接,容易證明四邊形