沖刺天x年高考文科數(shù)學(xué)解題策略 專題三 數(shù)列與不等式x節(jié) 數(shù)列及其應(yīng)用

1、 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題,對等差和等比數(shù)列的概念、通項公式、性質(zhì)、前項和公式,對增長率、分期付款等數(shù)列實際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間.考試要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念. 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式. 能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用

2、有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)例1已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且、2成等差數(shù)列，求 ; 【點撥】依據(jù)等差中項的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值. 【解】依題意可得：，即，則有可得，解得或（舍） 所以; 【易錯點】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細的現(xiàn)象；（2）等差中項與等比中項的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3）對等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計算等量，一旦計算量大一點，解題受阻.變式與引申1：等差數(shù)列的前n項和為，公差 .（1）求的值;（2）當為最

3、小時，求的值.題型二：數(shù)列的通項與求和例2（x年全國卷理科第17題）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且（）求數(shù)列的通項公式.（）設(shè) 求數(shù)列的前項和.【點撥】（1）等比數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個基本量,再進一步求通項.（2）分組求和、倒序相加、錯位相減、裂項相消等是常用的求和方法，這里利用（1）的結(jié)論以及的關(guān)系求的通項公式，根據(jù)裂項相消求數(shù)列前 項和 .【解】（）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得所以。有條件可知a0,故。由得，所以。故數(shù)列an的通項式為an=。（）故所以數(shù)列的前n項和為【易錯點】（1）沒有注意條件a0，公比計算錯；（2）在求的通項公式時，遺漏了負號；不會將化為.變式與引申2已知是數(shù)列的前n

4、項和，并且=1，對任意正整數(shù)n，；設(shè)）. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式； （2）設(shè)的前n項和，求.3. 等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當b=2時，記 求數(shù)列的前項和.題型三：數(shù)列的實際應(yīng)用例3. 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)；(3)設(shè),求數(shù)列的通項公式. 【點撥】

5、（1）頻率分布直方圖是解決問題的關(guān)??；（2）已知前兩項的頻數(shù)，前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，可求，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項，的前六項和可求，得，（3）求得、后，根據(jù)題設(shè)條件，按遞推公式求通項公式方法求出.【解】(1)由題意知因此數(shù)列是一個首項.公比為3的等比數(shù)列，所以 ，又=100(1+3+9)， 所以=87,解得因此數(shù)列是一個首項,公差為5的等差數(shù)列, 所以 (2) 求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為 (3) 由 可知，當時，得，當時， , , 又因此數(shù)列是一個從第2項開始的公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式為 .【易錯點】（1）不理解的意義，解題找不到切入點；（

6、2）計算數(shù)列的通項公式時忽略“全校100名學(xué)生”這個重要的已知條件，導(dǎo)致前兩問的結(jié)果都不正確；（3）求出、后，由題設(shè)條件不能正確地找出求的方法；（4）計算由式變?yōu)槭綍r，缺少這個條件.變式與引申4： 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：2008年2009年x年新植畝數(shù)100014001800沙地畝數(shù)252002400022400而一旦植完，則不會被沙化問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少； （2）到那一年可綠化完全部荒沙地.題型四：數(shù)列綜合題例4根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y

7、值依次分別記為，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）寫出，由此猜想出數(shù)列；的一個通項公式，并證明你的結(jié)論;（3）求【點撥】（1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標背景下的新鮮事物，因為程序框圖中循環(huán)，與數(shù)列的各項一一對應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（2）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項公式是解決問題 的關(guān)健；（3）掌握錯位相減法求數(shù)列的前項和及數(shù)列求和的一般方法. 【解】（1）由框圖，知數(shù)列中 （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想證明：由框圖，知數(shù)列yn中， ， 數(shù)列yn+1是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列， （3）=13+332+（2n

8、1）3n1+3+（2n1）記Sn=13+332+（2n1）3n， 則3Sn=132+333+（2n1）3n+1 ，得2Sn=3+232+233+23n（2n1）3n+1=2（3+32+3n）3（2n1）3n+1 = 又1+3+（2n1）=n2 .【易錯點】（1）根據(jù)框圖不能正確寫出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（2）對數(shù)列求和的方法及每種方法所適合的題型認識不清，盲目求和；（3）對指數(shù)運算不夠熟悉，導(dǎo)致利用錯位相減法計算出的結(jié)果不正確.變式與引申5：已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.（1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列; （2）求數(shù)列的通項； 設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若

9、存在，試求出.若不存在,則說明理由.本節(jié)主要考查：（1）數(shù)列的有關(guān)概念，遞推公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、判定方法、性質(zhì)、通項公式和前項和公式，數(shù)列求和及數(shù)列的應(yīng)用（2）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所以數(shù)列常與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率及算法等知識點交融命題，解決數(shù)列的通項公式及前項和、證明不等關(guān)系等問題（3）簡單的遞推公式求通項公式的方法，分組求和、倒序相加、裂項求和、錯位相減等數(shù)列求和方法（4）著重考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想.點評：（1）“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算問題中非常重要，樹立“目標意識”，“

10、需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意解題的目標；（2）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題型，要切實注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如：， =等；（3）等差、等比數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎(chǔ)上，充分理解公式的變式及適用范圍，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題；（4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)

11、列的求和方法，如公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等；（5）在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)， 進一步培養(yǎng)閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力；（6）解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解習(xí)題311（xx文數(shù)）.若數(shù)列的通項公式是,則（A

12、） 15 (B) x (C ) (D) 2等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn、Tn，若=，則=_3數(shù)列中，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列（1）求的值；（2）求的通項公式；（3）求數(shù)列的前項之和 5已知數(shù)列滿足且 （1）求的表達式； （2）求；【答案】變式與引申1【解析】根據(jù)題意，點適合拋物線有以下特點開口向上，過原點，對稱軸，（1）由對稱性可知，另一交點為，表明.（2）當為最小時，.變式與引申2【解析】（1） 兩式相減： 是以2為公比的等比數(shù)列， （2） 而 3.解 （1）因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得, 當時, 當時,又因為為等比數(shù)列, 所以, 公比為, 所以

13、（2）當b=2時，, 則 相減,得= 所以變式與引申4變式與引申5解：（1）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（I）知，將以上各式相加得： （3）存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當且僅當，即時，數(shù)列為等差數(shù)列.習(xí)題311. 【答案】A【解析】法一：分別求出前10項相加即可得出結(jié)論；法二：，故.故選A.2. 【答案】；【解析】=3. 【解析】（1）， 因為，成等比數(shù)列，所以， 解得或 c0， （2）當時，由于 ，所以 又，故當時，上式也成立，所以 （3）令 -得： 4. 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點坐標；（2）嘗試

14、求出通項的表達式，然后再求和【解】（）設(shè)，由得點處切線方程為由得。（），得，得 不等式選講是一個選考內(nèi)容,縱觀近年關(guān)于課程標準的高考試題,含絕對值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn),屬于中檔偏易題.最值與恒成立問題是高考的?？键c,不等式的證明常與數(shù)列相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等技能方法,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度一般控制在之間. 考試要求：理解絕對值及其幾何意義. 絕對值不等式的變式：. 利用絕對值的幾何意義求解幾類不等式：；.了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.題型一 含絕對值不等式例（x全國課標卷理科第24題）設(shè)函數(shù),其中.（）當時，求不等式的解集（）若

15、不等式的解集為 ，求a的值。點撥：解含絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值符號. 可考慮采用零點分段法.解：（）當時，可化為,由此可得 或,故不等式的解集為或.() 由的 此不等式化為不等式組或即 或因為，所以不等式組的解集為由題設(shè)可得= ，故.易錯點：含絕對值的不等式的轉(zhuǎn)化易出錯；不會運用分類討論的數(shù)學(xué)思想,去掉絕對值符號. 變式與引申：若，求證： .題型二 不等式的性質(zhì)例.設(shè),則的最小值是( ). A. B. C. D.設(shè)且,求的最大值.點撥：觀察分母能發(fā)現(xiàn)其和為,則添加可配湊成,再利用基本不等式求解；觀察已知條件,可將所求式子轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解.(1)【答案】D 解：,當且僅當,時等

16、號成立.如取,滿足條件.選D.（2）,.又,即易錯點：忽視基本不等式求最值時的“一正、二定、三相等”條件.變式與引申2：已知,且,求證:.題型三 不等式的證明例3 已知,且,求證：.點撥：由,得,.可使問題得證. 解： ,. 易錯點：易出現(xiàn)的錯誤；忽視基本不等式中等號成立的條件.變式與引申3： 是和的等比中項，則的最大值為( ). A. B. C. D. 題型四 不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用例4已知函數(shù).當時.求證：.點撥：本題中所給條件并不足以確定參數(shù),的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值,而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”,因此,我們可以用 、來表示,因為由已知條件有,可使問題獲證. 證明：

17、由，從而有,.易錯點：不會用、來表示、及其它們的和差關(guān)系式,從而解題思路受阻；不能靈活運用絕對值,對問題進行轉(zhuǎn)化.變式與引申4：設(shè)二次函數(shù)，函數(shù)的兩個零點為. （1）若求不等式的解集；（2）若且，比較與的大小本節(jié)主要考查：不等式的性質(zhì)(基本不等式與柯西不等式)應(yīng)用；含絕對值不等式的解法； 逆求參數(shù)取值范圍；函數(shù)方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想以及比較法、分析法、綜合法等數(shù)學(xué)思想方法. 點評：運用不等式性質(zhì)解有關(guān)問題時,要隨時對性質(zhì)成立的條件保持高度警惕,避免錯誤發(fā)生； 應(yīng)用絕對值不等式解題時,要注意絕對值不等式中等號成立的條件；解含絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值符號,主要思路有：利用絕對值

18、的幾何意義；零點分段討論；平方轉(zhuǎn)化；借助圖象直觀獲解. 利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式選講的重點考查內(nèi)容之一,解題中常用技巧是注意創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件,合理地拆分項或配湊因式,即把已知式子轉(zhuǎn)化成基本不等式和柯西不等式的模型.在應(yīng)用求最值時,“一正、二定、三相等”三個條件不可缺一. 證明不等式的常用方法： 比較法,即作差比較法與作商比較法；綜合法-由因?qū)Ч环治龇?執(zhí)果索因；放縮法,常出現(xiàn)在與數(shù)列和式有關(guān)的不等式證明中,運用時應(yīng)注意觀察“放與縮”的方向和“放與縮”的量的大小,把握好放縮的“度”,熟記一些常用放縮技巧和放縮的結(jié)構(gòu)形式. 不等式作為工具,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何結(jié)

19、合在一起,有著廣泛的應(yīng)用,應(yīng)給予關(guān)注.習(xí)題3-31.(xx文科第3題)設(shè)，則下列不等式中正確的是 （ ） （A） （B）（c） (D) 2不等式的解集是( ). A. B. C. D.3不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( ).A. B. C. D.4.(x年x卷文科第16題）.已知當2a3b4時，函數(shù)的零點 .5.設(shè),是大于的常數(shù),若的最小值是,則的值等于_.【答案】當且僅當時,等號成立.變式與引申3：選B 解：由條件可知,用三角代換設(shè),則選B.變式與引申4：（1）由題意知，當時，不等式 即為.當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為.（2）且， 即 習(xí)題3-3對任意實數(shù)恒成立,

20、則,解得或.故.4.【答案】2【解析】因為函數(shù)在（0，上是增函數(shù)，即.5.【答案】 解：. 不等式是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，對不等式的性質(zhì)、一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明.不等式因它的基礎(chǔ)性（是研究函數(shù)、方程、極限等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識結(jié)合在一起）、應(yīng)用性（實際應(yīng)用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點.近幾年，高考關(guān)于不等式的命題趨勢是：（1）

21、單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，若是解答題也是中等難度的題目；（2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性.在高考試卷中，有關(guān)解不等式的試題一般有一到兩道考試要求（1）不等關(guān)系：了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景（2）一元二次不等式 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖（3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 會從實際情境中抽象出二元一

22、次不等式組 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決題型一： 不等式的解法例1(x上海理科20)已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足。 若，判斷函數(shù)的單調(diào)性； 若，求時的取值范圍。點撥；解不等式的基本思想方法是轉(zhuǎn)化：一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，指數(shù)與對數(shù)不等式（通過化“同底”）轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，抽象函數(shù)不等式（通過單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為具體不等式等.本題是指數(shù)不等式，可通過化“同底”求解解： 當時，任意，則 ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當時，同理，函數(shù)在上是減函數(shù)。 當時，則；當時，則.易錯點：對符號

23、的討論. 變式與引申1：（1）不等式的解集是 .（2） （2009年天津卷第8題） 設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ ）A B C D 題型二：含參數(shù)不等式的解法例2 解關(guān)于的不等式如果，不等式可化為，解得或.綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為； 當時，不等式的解集為； 當時，不等式的解集為； 當時，不等式的解集為易錯點：在規(guī)范化的過程中，對可能為零視而不見；在已經(jīng)規(guī)范化了之后，對不確定的根的大小關(guān)系不加區(qū)分.整體表現(xiàn)為不能有序地進行分類討論.變式引申2：（1）解關(guān)于的不等式（2）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)x+x=0有兩個實根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解

24、析式； （2）設(shè)k1，解關(guān)于x的不等式；題型三：不等式的恒成立問題例3已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）若對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍點撥：不等式恒成立問題通常有以下處理方法：（1）分離參數(shù)法，將參數(shù)與變量進行分離，再轉(zhuǎn)化為最值問題解決；（2）變換主元法，有些題分離參數(shù)后很難求最值，可考慮變換思維角度，即主元與參數(shù)互換位置（3）數(shù)形結(jié)合法。本題分離參數(shù)后可求最值.解（1）. 由已知，解得 .（2）當即,在上恒成立,.又時,故的取值范圍是.易錯點：（1）絕對值的處理方法不明確，找不到解題的突破口（2）指數(shù)運算不熟悉，不能正確地將參數(shù)與變量進行分離（3）能否取等號也是常見的錯誤.變式與引申3：（1

25、）已知，當時，恒成立，求a的取值范圍 （2）奇函數(shù)上是增函數(shù)，當時，是否存在實數(shù)m，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實數(shù)m；若不存在，說明理由.題型四：線性規(guī)劃問題與基本不等式例4 （1） 設(shè)滿足則( ).圖（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，無最大值（C）有最大值3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值（2）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為 點撥：（1）首先準確地作出線性約束條件下的可行域，再由yx經(jīng)過平移得到結(jié)論，這里關(guān)鍵就在于轉(zhuǎn)化與化歸（2）找出定點的坐標，代入直線方程，得，由均值不等式得結(jié)果.解（1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由zxy

26、，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當它的平行線經(jīng)過A（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z2，無最大值，故選.B（2）函數(shù)的圖象恒過定點,，,.易錯點： 可行域畫不準確，將yx經(jīng)過平移后得到的最優(yōu)解不正確，變式與引申4：（1）(xx文科數(shù))設(shè)變量x,y滿足,則的最大值和最小值分別為說明：若對數(shù)據(jù)適當?shù)念A(yù)處理，可避免對大數(shù)字進行運算.（A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，1（2）已知，則的最小值是（ ）A2BC4D5本節(jié)主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性質(zhì)及能轉(zhuǎn)化為它們的分式不等式、絕對值不等式、指數(shù)與對數(shù)不等式的解法以及含字母系數(shù)不等式的解法；（2）基

27、本不等式及其應(yīng)用，簡單的線性規(guī)劃等問題（3）圖解法、換元法、分析法、綜合法等方法（4）數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點評：（1）解不等式的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化.分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；指數(shù)與對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；抽象函數(shù)的不等式在確定其單調(diào)性的前提下去掉函數(shù)符號轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（2）在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式；通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系.對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，有時可以使分類標準更加明晰（3）等價轉(zhuǎn)化

28、具體地說，分式化為整式，高次化為低次，絕對值化為非絕對值，指數(shù)與對數(shù)化為代數(shù)式等分類討論分類討論的目的是處理解決問題過程中遇到的障礙，在無障礙時不要提前進行分類討論數(shù)形結(jié)合有些不等式的解決可化為兩個函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問題（4）函數(shù)方程思想解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與軸交點的問題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間如“穿根法”實際上就是一種函數(shù)方程思想（5）線性規(guī)劃問題的解題步驟：根據(jù)線性約束條件畫出可行域；利用線性目標函數(shù)求出最優(yōu)解。最優(yōu)“整點”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時需要將相近的點一一列出，再代入約束條件和目標函數(shù)逐一檢驗，得出正確答案.（6）在利用基本不等式解決有關(guān)問題時，特別注

29、意不等式成立的條件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式時，要掌握常見的恒等變形技巧。（7）不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題等，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系.因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點及內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解 習(xí)題321(xx文科7)設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為 (A)x (B)10 (C)9 (D)8.53已知函數(shù)f(x)log2(x e

30、q f(3,x)a)的定義域為A，值域為B（1）當a4時，求集合A；（2）設(shè)IR為全集，集合Mx|y eq f(x2x1,(a5)x22(a5)x4)，若(CIM)(CIB) eq o(,)，求實數(shù)a的取值范圍4解關(guān)于x的不等式1(a1) 5設(shè)不等式的解集為，如果，求實數(shù)的取值范圍【答案】變式與引申1 （1）【解析】: ，數(shù)軸標根得： （2）解析：由已知,當時，由得,解得或. 當，由得,解得.綜上所述：不等式的解集是.選A.變式與引申2 （1）解：本題與例2解法類似，請自行設(shè)計算法框圖，再求解.這里僅提供答案：當時， 解集為；當時，解集為；當時， 解集為；當時，解集為；當時，解集為. （2）解

31、（1）將得（2）不等式即為,即當當.變式與引申3 （1）解：設(shè)，則問題的條件變?yōu)楫敃r，恒成立.當,即時，恒成立.又當時，在上恒成立的充要條件是xyO答圖，故a的取值范圍是.本題實際上也是一道恒成立的問題，此類問題還可運用分離參數(shù)法求解，請自行嘗試解答. （2）解：易知奇函數(shù)在上遞增,且,則 .令,則.由題意,在上不等式恒成立,從而或或,解得.因此，滿足條件的實數(shù)存在，它可取內(nèi)的一切值.變式與引申4：【答案】B【解析】三條直線的交點分別為（0,1），（0，1），（1,0），分別代入，得最大值為2，最小值為2.故選B.（2）因為當且僅當，且，即時，取“=”號,選C.【解析】，又，由題意對一切則xR

32、恒成立，則對一切則xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此時.所以.，故正確；，所以，錯誤；，所以正確；由知，由知，所以不正確；由知，要經(jīng)過點（a，b）的直線與函數(shù)的圖像不相交，則此直線與橫軸平行，又的振幅為，所以直線必與圖像有交點.不正確.3解：（1）當a4時，由x eq f(3,x)4 eq f(x24x3,x) eq f(x1)(x3),x)0， 解得0 x1或x3，故Ax|0 x1或x3（2）由(CIM)(CIB) eq o(,)，得CIM eq o(,)，且CIB eq o(,)，即MBR，若BR，只要ux eq f(3,x)a可取到一切正實數(shù)，則x0及umin0，umin2 eq r(

33、3)a0，解得a2 eq r(3) 若MR，則a5或 eq blc(aalco1(a50,4(a5)216(a5)0) 解得1a5 由得實數(shù)a的取值范圍為2 eq r(3)，54【解析】原不等式可化為 0，當時，原不等式與同解由于原不等式的解為當時，原不等式與.由于,當時，,解集為；當時，解集為；當時，,解集為綜上所述 當時解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為 5【解析】解：有兩種情況其一是，此時；其二是，此時或.以下分三種情況求的取值范圍 設(shè)，有.(1)當時，.(2)當時，或.當時；當時， (3)當時，或.設(shè)方程的兩根，且，那么，答圖323即解得.的取值范圍是 數(shù)列與不等式的綜合

34、問題是考查的熱點和重點內(nèi)容，近幾年，高考關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用的命題趨勢是： （1）以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯 （2）以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對較大題型一 數(shù)列中的不等關(guān)系例1設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則的最大值是 .點撥：數(shù)列與不等式的小題，主要是運用基本不等式、不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃等求范圍或最值本題明為數(shù)列，實為線性規(guī)劃，著力考查了轉(zhuǎn)

35、化化歸和數(shù)形結(jié)合思想因約束條件只有兩個，本題也可用不等式的方法求解解法1：由題意，即，建立平面直角坐標系，畫出可行域（圖略），畫出目標函數(shù)即直線，由圖知，當直線過可行域內(nèi)點時截距最大，此時目標函數(shù)取最大值解法2：前面同解法1設(shè)，由解得，由不等式的性質(zhì)得： ，即，的最大值是4解法3：前面同解法1， ，即，的最大值是4易錯點：一方面得出不等式組，之后不知如何運用；另一方面用線性規(guī)劃求最值時，用錯點的坐標變式與引申1：（1）等比數(shù)列的公比，第17項的平方等于第24項，求使 恒成立的正整數(shù)的取值范圍（2）（x年浙江文科卷第19題）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項公式；（

36、）對，試比較與的大小題型二 數(shù)列、函數(shù)與不等式例2 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（1）設(shè)，證明：；（2）設(shè)（1）中的數(shù)列的前項和為，證明點撥：數(shù)列與不等式的證明問題常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法：一般是利用分析法分析，再利用綜合法證明；(3)放縮法：利用迭代法、累加法、累乘法構(gòu)建關(guān)系進行放縮.【解】（1）由條件知 故（2）由（1）的過程可知，.易錯點：不易找出放縮的方法，從而無法證明放縮法可通過對分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達到證明的目的變式與引申2： 已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的通項公式； （2

37、）若，設(shè)為數(shù)列的前項和，求證： 題型三 數(shù)列、解幾與不等式例3 如圖，已知曲線從C上的點作x軸的垂線，交于點，再從點作y軸的垂線，交C于點設(shè)，（1）求點Q1、Q2的坐標；圖（2）求數(shù)列的通項公式；（3）記數(shù)列的前n項和為，求證：易錯點：（1）三點坐標之間的關(guān)系不易尋找，要充分利用數(shù)形結(jié)合解決問題（2）型遞推數(shù)列求通項用累加法，求放縮方法不容易找到，求和就成問題. PnPn+1圖變式與引申3：（x年x文科卷）如圖，從點做x軸的垂線交曲線于點曲線在點處的切線與x軸交于點，再從做x軸的垂線交曲線于點，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：記點的坐標為.（）試求與的關(guān)系（）求題型四 數(shù)列與不等式的探索問題例4

38、設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記.（I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；點撥：數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.也可直接推理判斷是否存在.解（1）當時，.又數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， （2）不

39、存在正整數(shù)，使得成立.證明：當n為偶數(shù)時，設(shè) 當n為奇數(shù)時，設(shè)對于一切的正整數(shù)n，都有 不存在正整數(shù)，使得成立 （3）又， 當時，當時， 易錯點：（1）在第二問中對不加討論，導(dǎo)致結(jié)論不正確；（2）找不到的放縮技巧，也有可能放得過大而無法證明變式與引申4：已知數(shù)列和滿足,.() 當時,求證: 對于任意的實數(shù),一定不是等差數(shù)列；() 當時,試判斷是否為等比數(shù)列.本節(jié)主要考查：數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用，此類題型主要考查學(xué)生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的

40、廣度和進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.點評：（1）數(shù)列與不等式作為高中數(shù)學(xué)代數(shù)五大內(nèi)容的兩大核心內(nèi)容，其在高考試卷中處于核心地位，數(shù)列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數(shù)列與不等式的主要交匯，有不等式與函數(shù)的重點交叉，數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出當這些兩者甚至三者交匯結(jié)合在一起的時候，問題會變得非常的靈活，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，分析問題和解決問題的能力，計算能力以及數(shù)學(xué)的思想和方法、數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有較高的要求（2）求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：建立目標函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值

41、；利用條件中的不等式關(guān)系確定最值（3）探索型問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或探索滿足某些條件的對象是否存在，問題增加了許多可變因素，思維指向不明顯探索型問題有：猜想型，即結(jié)論未給出，解題時需要首選探索結(jié)論，然后再加以證明；判斷型，即判定符合某種條件的數(shù)學(xué)對象是否存在或其結(jié)論是否成立，解題時常先假設(shè)存在，然后求出或?qū)С雒?（4）數(shù)列中的不等式問題，一般有放縮，構(gòu)造函數(shù)這兩類常見的方法用放縮法證明不等式有：利用迭代法構(gòu)建關(guān)系進行放縮；利用累加法構(gòu)建關(guān)系進行放縮；利用累乘法構(gòu)建關(guān)系進行放縮；利用可求和的新數(shù)列構(gòu)建關(guān)系進行放縮而放縮主要是把數(shù)列的通項放縮為一個可求和的數(shù)列，如放縮為等

42、比、等差或可裂項求和的數(shù)列習(xí)題341數(shù)列的通項公式,若此數(shù)列滿足(),則的取值范圍是A, B, C, D,2已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為, 則的取值范圍是（ ）A B C D 3已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項. 求函數(shù)的表達式； 求證：.4函數(shù)的最小值為且數(shù)列的前項和為 （）求數(shù)列的通項公式； （）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)； （）若，求數(shù)列的最大項5(x全國理科)設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項公式；（）設(shè)【答案】故通項公式 （）解：記所以從而，當時，；當變式與引申2：解：設(shè)數(shù)列的公比為 （1）若，則顯然不成等差數(shù)列，與題設(shè)條件矛盾，所以1由成等差數(shù)列，得化簡得 （2）證：

43、當2時，=1+變式與引申3：【解】（）設(shè)，由得點處切線方程為由得。（），得，變式與引申4：【解析】（）當時, 假設(shè)是等差數(shù)列,由得, ， 方程無解.故對于任意的實數(shù),一定不是等差數(shù)列.（）當時,.而,所以 =.又 .故當時, 不是等比數(shù)列.當時, 是以為首項,為公比的等比數(shù)列.習(xí)題341. 答案D 解析：1由,恒成立,有,得.2. 【答案】D 解析： 設(shè)三邊為則，即 得，即3：解： 又為銳角 都大于0 5.解： (I) 是公差為1的等差數(shù)列，所以(II).一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相

44、同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域為5，19的“孿生函數(shù)”共有（ ）A10個 B9個 C8個 D7個2在R上定義運算若不等式對任意實數(shù)成立，則( )A. B. C. D.3如圖1，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是( )4設(shè)函數(shù)的定義域為R，若存在與無關(guān)的正常數(shù)M，使對一切實數(shù)均成立，則稱為“有界泛函”，給出以下函數(shù)：；.其中是“有界泛函”的個數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D35.非零向量和滿足，且，則為（ ）A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形6. 圖中的陰影部分由底為，高為的等腰

45、三角形及高為和的兩矩形所構(gòu)成設(shè)函數(shù) 是圖中陰影部分介于平行線及之間的那一部分的面積，則函數(shù)的圖像大致為（ ） 7定義的運算分別對應(yīng)如圖2中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的（A）、（B）所對應(yīng)的運算結(jié)果可能是（ ）A B C D8給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱 在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（ ）A B C D9設(shè)表示不超過的最大整數(shù)(如,),對于給定的,定義,則當時,函數(shù)的值域是 （ ）A B C D 10現(xiàn)定義一種運算當m、n都是正偶數(shù)或都是正奇數(shù)時，；當中一個為正奇數(shù)另一個為正偶數(shù)時，則集合中的元素個數(shù)是（ ）A22B CD二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.將答案填寫在題中的橫線上.圖3x若定義運算 ，則函數(shù)的值域是 x如圖3，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_第一行