材料力學(xué)課件ch2軸向拉壓4-5節(jié)

1、材 料 力 學(xué)第二章 軸向拉伸和壓縮(Ch2. Axial Tension and Compression)縱向變形Deformation:Dl = l1- l橫向Lateral變形:Dd = d1- d拉(壓)桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law)線應(yīng)變Linear Strain:1,軸向應(yīng)變Axial Strain:=Dl/l=const2,橫向應(yīng)變Lateral Strain: e= Dd / d 顯然: e e 0其中: E-彈性模量Elastic Modulus; EA-桿的軸向剛度Axial Rigidity of

2、 Bar p-比例極限Proportional Limit縱橫向應(yīng)變關(guān)系: e = -ne (sp) 其中:n -橫向變形系數(shù) (or: 泊松比Poissons Ratio)拉(壓)桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law)受力變形關(guān)系:(or:=Ee ; p)拉(壓)桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law)拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law) 例題2-5 求例題2-4中所示薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓

3、力p=2MPa作用下的徑向應(yīng)變和圓環(huán)直徑的改變量。已知材料的彈性模量E=210GPa。 解:在例題2-4中已經(jīng)求出圓環(huán)在任一橫截面上的正應(yīng)力s=40MPa，若正應(yīng)力不超過材料的比例極限，則可按公式(2-6)算出沿正應(yīng)力s方向(即沿圓周方向)的線應(yīng)變e為圓環(huán)的周向應(yīng)變e等于其徑向應(yīng)變ed因?yàn)?根據(jù)上式即可算出圓環(huán)在內(nèi)壓力p作用下的直徑(d=200mm)增大量為FFF拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law) 例:圖示階梯形鋼桿，AB段和CD段的橫截面面積相等A1500mm2，BC段橫截面積A2300mm2。已知材料的彈性模量

4、E=200GPa。試求:1,各桿段的應(yīng)力;2,端的位移。2,求各段應(yīng)力:解:1,繪軸力圖如圖(b)所示。拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law)3,計(jì)算端位移:(端位移D即為桿的總變形，應(yīng)為各段變形的代數(shù)和)。即:計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明端發(fā)生向左的位移。FF(x)拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law) 例:某礦井升降機(jī)如圖(a)所示，因吊索很長，其自重引起的應(yīng)力和變形應(yīng)予以考慮。設(shè)鋼索長為l,橫截面面積為,材料容重為g，彈性模量為E。試求:鋼索在自重

5、和起吊載荷P作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形(設(shè)起吊是勻速的)。索為等截面的,其x截面上的應(yīng)力為: sx= FN(x)/A=g(l-x)+P/A。最大應(yīng)力發(fā)生在索的最上端橫截面上,其值為:smax= FNmax/A=gl+P/A解:1,計(jì)算應(yīng)力:(索上端支反力R0=P+gA l 。用截面法求得x截面的內(nèi)力為:FN(x) =R0-gAx=gA(l-x)+P故:FNmaxgAl+P )。拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law)2,計(jì)算變形: 上式表明: 桿的重量引起的伸長部分，相當(dāng)于不考慮自重，而在桿的下端作用一半重量的集中荷載引起的

6、伸長。 式中=gl為桿的總重量。F(x)拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law)桁架節(jié)點(diǎn)位移: 例: 圖(a)所示托架,桿1和桿2均為鋼桿,彈性模量E=200GPa,橫截面面積分別為A1=200mm2,A2=250mm2,荷載P=10kN,桿長l1=2m。試求節(jié)點(diǎn)的位移。 解:1,求各桿軸力:(取節(jié)點(diǎn)A為研究對象,畫受力圖如圖(b),由平衡條件求得兩桿軸力分別為)（拉）F1F2P（壓）F1F2P2,求各桿的變形:拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes La

7、w)3,求節(jié)點(diǎn)的位移: 由于兩桿的變形,節(jié)點(diǎn)A位移至A點(diǎn),A點(diǎn)是以B為圓心,(l1Dl1)為半徑作圓弧與以C為圓心,(l2-Dl2)為半徑作圓弧的交點(diǎn)。拉（壓）桿的變形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law)3,求節(jié)點(diǎn)的位移: (接上頁) 于變形相對于桿的原長很微小,這種作圖方法和計(jì)算A點(diǎn)位移很不方便,但正因?yàn)樽冃挝⑿?可將上述兩圓弧用過A1和A2兩點(diǎn)并分別垂直于桿和桿的兩垂線代替(圖(c)。此圖稱為節(jié)點(diǎn)A的位移圖。由節(jié)點(diǎn)A的位移圖可知,節(jié)點(diǎn)A的水平位移dAH和垂直位移dAV分別為:節(jié)點(diǎn)的總位移為:F1F2P25 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能S

8、train Energy of Axial Forced Bar 彈性體在受力后要發(fā)生變形,同時(shí)彈性體內(nèi)將積蓄能量。例如鐘表的發(fā)條(彈性體)被擰緊(發(fā)生變形)以后,在它放松的過程中將帶動齒輪系使指針轉(zhuǎn)動,這樣,發(fā)條就作了功。這說明擰緊了的發(fā)條具有作功的本領(lǐng),這是因?yàn)榘l(fā)條在擰緊狀態(tài)下積蓄有能量。為了獲得計(jì)算這種能量的依據(jù),下面研究彈性體在受外力作用而變形的過程中,外力所作的功與彈性體內(nèi)所積蓄的能量在數(shù)量上的關(guān)系。25 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能Strain Energy of Axial Forced Bar 現(xiàn)以受重力作用且僅發(fā)生彈性變形的拉桿為例,利用能量守恒原理來找出上述關(guān)系。設(shè)桿(圖2-11)

9、的上端固定,在其下端的小盤上逐漸增加重量。每加一點(diǎn)重量,桿將相應(yīng)地有一點(diǎn)伸長,已在盤上的重物也相應(yīng)地下沉,因而重物的位能將減少。由于重量是逐漸增加的,故在加載過程中,可認(rèn)為桿沒有動能改變。按能量守恒原理,略去其它微小的能量損耗不計(jì),重物失去的位能將全部轉(zhuǎn)變?yōu)榉e蓄在桿內(nèi)的能量。因?yàn)闂U的變形是彈性變形,故在卸除荷載以后,這種能量又隨變形的消失而全部轉(zhuǎn)換為其它形式的能量。 通常將這種伴隨著彈性變形的增減而改變的能量稱為彈性應(yīng)變能。 在所討論的情況下,應(yīng)變能就等于重物所失去的位能。External Work in Elastic Range:25 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能Strain Energy of

10、Axial Forced Bar軸向變形下的外力功 Work of External Forced in Axial Deformation:dWdTPdDl 故:彈能模量:(Modulus of Resilience)25 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能Strain Energy of Axial Forced Bar韌性模量(Modulus of Toughness): ( 是使試件斷裂所需要的比功，故tf越大此材料抵抗沖擊和突加荷載的可靠性也越大)。25 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能Strain Energy of Axial Forced Bar變形能Strain Energy and比能Energy Density (Strain Energy per Unit Volume):外力作功(T)引起構(gòu)件變形產(chǎn)生內(nèi)力(s e)將外力功(T)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能(U)-因是構(gòu)件變形引起，故稱為變形能。當(dāng)(sse)時(shí)稱為彈性變形能,它為可完全恢復(fù)的內(nèi)能,故:比能(桿件單位體積內(nèi)儲存的變形能):(s se時(shí)) u的量綱(力長度/長度3),常用單位：J/m3 。 材料進(jìn)入塑性階段后，有:(其中: )注:U 和 u 恒為正。25 拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能Strain Energy of Axial Forced Bar 例: 圖(a)所示托架，桿1和桿2均為鋼桿，彈性模量E=200GPa，橫