數(shù)字圖象處理8

1、Digital Image Processing 數(shù)字圖像處理E-MAIL:1第八章 小波圖像編碼 28.1 概述 3主要內(nèi)容 小波變換 離散小波變換 多分辨率分析和Mallat算法 Matlab中常用小波基介紹 小波變換在圖像編碼中的應(yīng)用 48.2 小波變換 5一維連續(xù)小波給定稱為連續(xù)小波或分析小波(Analyzing Wavelet) 叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。其中a是伸縮因子，b為平移因子。 定義 6一維連續(xù)小波變換CWT設(shè)|a|-1/2規(guī)范化因子，可使定義 是連續(xù)小波 記則函數(shù)的連續(xù)小波變換：7基小波或允許小波設(shè)則 為一個基小波或允許小波。 定義 是連續(xù)小波且

2、滿足容許性條件： 8允許小波的性質(zhì)1小波逆變換存在性且有 令 是允許小波，對所有 有：9允許小波的性質(zhì)2能量比例性 上式為能量公式，在允許性條件下，小波變換幅度的平方的積分與信號能量成正比。 令 是允許小波，對所有 有：10允許小波的性質(zhì)3正則性 p=1可直接由允許性條件驗證，至于其他情況，能使上式成立的n越大越好.令 是允許小波，要求其前 n 階原點矩為零，且 n 越大越好，即11小波變換的性質(zhì)1線性性 如果則12小波變換的性質(zhì)2平移不變性 如果則13小波變換的性質(zhì)3伸縮共變性 如果則14小波變換的性質(zhì)4自相似性對應(yīng)不同尺度參數(shù)和不同平移參數(shù)的連續(xù)小波變換之間是自相似的。5冗余性（1）由連續(xù)

3、小波變換恢復(fù)信號的重構(gòu)公式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而Fourier變換與反Fourier變換是一一對應(yīng)的。（2）小波變換的核函數(shù)即函數(shù)存在許多可能的選擇（例如，非正交小波、正交小波、雙正交小波,甚至允許是彼此線性相關(guān)的）。 158.3 離散小波變換 16離散小波尺度離散化：取一個合理的值a0，使尺度因子只取a0的整數(shù)冪，即定義 位移離散化：當尺度取a0時，取位移b=b0，各位移為kb0。當 時，取 ， 其中 固定的。離散小波函數(shù): 17離散小波變換離散小波變換：定義 改變a和b的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。18離散小波變換定義 令：a0=2

4、，b0=1時，尺度為2 j ，而位移為2 j k即：尺度為2 j ，而位移為2 j k則：二進離散小波：相應(yīng)的小波變換記：19框架理論 定義 設(shè) 存在 ，對 有：則 稱為一個框架 如果A=B，則框架為緊框架有：20框架理論 框架算子定義 稱 T 為框架算子 如果 是框架 有線性算子：I恒等算子 21框架理論 對偶框架定義 則 也是框架，且其框架界為B-1和A-1稱 是 的對偶框架 設(shè) 是框架 令：22框架理論 對偶框架算子 可以得到：設(shè) 對偶框架 的框架算子則：238.4 多分辨率分析和Mallat算法 24多分辨率分析 則空間集合稱為依尺度函數(shù) 的多分辨率分析 定義 若下列條件成立： (1)

5、嵌套性：(2)稠密性： (3)分立性: (4)尺度性:(5)Riesz基存在性: 中一系列嵌套函數(shù)子空間序列 構(gòu)成V0的Riesz基 且25小波分解和重建Vk一個多分辨分析, Wk 是Vk關(guān)于Vk+1的補空間 則：對分解 26小波分解和重建雙尺度方程 令：則：分解 27小波分解和重建由：推廣得：分解 28小波分解和重建由于 , 分別是對應(yīng)空間的Riesz基：所以(a)分解 29小波分解和重建將a式代入得:分解 30小波分解和重建由于： ， 線性無關(guān)得分解算法:， 分解算法示意圖 分解 31小波分解和重建重建 32小波分解和重建由于： ， 線性無關(guān)得重構(gòu)算法:小波重建示意圖 重建 338.5 M

6、atlab中常用小波基介紹 34常用小波函數(shù)介紹 （1）Harr小波 尺度函數(shù)35常用小波函數(shù)介紹 （2）Daubechies（dbN)小波系 除db1（Haar小波），其余的db系列小波函數(shù)沒有解析的表達式 36常用小波函數(shù)介紹 （3）Symltes（symN）小波系 sym 小波在保持db小波簡單性的基礎(chǔ)上提高了小波的對稱性 37常用小波函數(shù)介紹 （4）Coiflet(coifN)小波族 具有更長支集長度和更大消失矩,是對稱性比較好的小波系 coif3的小波尺度、小波函數(shù)和分解重構(gòu)濾波器 38常用小波函數(shù)介紹 （4）Biorthogonal（biorNr.Nd）雙正交小波系 正交基與正交小

7、波變換從數(shù)學(xué)角度上說是最理想的，但Daubechis已經(jīng)證明，除Haar基外，所有正交基都不具有對稱性。這在圖像編碼這類型失真的應(yīng)用中，會引入相位失真，是很不理想的，因此希望有對稱性質(zhì)的小波基。 Cohen和Daubechies構(gòu)造了一類具有緊支撐性和一定正則性的對稱雙正交小波基，它的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，主要應(yīng)用在信號與圖像重構(gòu)。39常用小波函數(shù)介紹 （4）Biorthogonal（biorNr.Nd）雙正交小波系 Bior2.4小波、對偶小波及濾波器 40與小波函數(shù)有關(guān)的Matlab函數(shù) WAVEINFO函數(shù)： 提供小波工具箱中所有小波信息。 WAVEFUN函數(shù)： 返回一維小波的小

8、波函數(shù)和尺度函數(shù)（如果尺度函數(shù)存在的情況下）的近似值。 WFILTERS函數(shù)： 返回指定小波的分解和重構(gòu)濾波器 41與小波函數(shù)有關(guān)的Matlab函數(shù) 例8。2 Matlab程序waveinfo(db); %顯示db系小波信息phi,psi,xval=wavefun(db2,10); %得到db2的尺度函數(shù)和小波函數(shù)subplot(242);plot(xval,phi,k); %顯示尺度函數(shù)axis(0 3 -0.5 1.5);axis square; title(db2 尺度函數(shù));subplot(243); plot(xval,psi,k); %顯示小波函數(shù)axis(0 3 -1.5 1.5

9、);axis square; title(db2 小波函數(shù));lo_d,hi_d,lo_r,hi_r=wfilters(db2); %得到db2的相關(guān)濾波器subplot(245); stem(lo_d,ok); title(db2 分解低通濾波器);subplot(246); stem(hi_d,ok) ；title(db2 分解高通濾波器);subplot(247);stem(lo_r,ok); title(db2 重構(gòu)低通濾波器);subplot(248); stem(hi_r,ok); title(db2 重構(gòu)高通濾波器);42與小波函數(shù)有關(guān)的Matlab函數(shù) 例8。2 結(jié)果438.6

10、小波變換在圖像編碼中的應(yīng)用 44數(shù)字圖像的小波分解 設(shè) 是一個二維可分離的多分辨率分析， ，其中 是 上的一個多分辨率分析，其尺度函數(shù)為 ，小波函數(shù)為 ，那么有相應(yīng)于二維的可分離的尺度函數(shù) 和三個可分離的方向敏感小波函數(shù) ， ， 為： 45數(shù)字圖像的小波分解沿著不同的方向小波函數(shù)會有變化， 度量沿著列變化（例如，水平邊緣）， 度量沿著行變化（例如，垂直邊緣）， 則對應(yīng)于對角線方向。每個小波上的H表示水平方向，V表示垂直方向，D表示對角線方向。46數(shù)字圖像的小波分解由前的尺度和小波函數(shù)，定義一個伸縮和平移的基函數(shù) ：47數(shù)字圖像的小波分解同一維一樣，可得到分解算法 ：48數(shù)字圖像的小波分解令分解

11、序列為Lo_D和Hi_D 數(shù)字圖像小波分解數(shù)據(jù)流示意圖 49數(shù)字圖像的小波分解數(shù)字圖像小波分解流程圖 50數(shù)字圖像的重構(gòu)同樣，則重構(gòu)算法：令重構(gòu)序列為Lo_R和Hi_R 數(shù)字圖像小波分解數(shù)據(jù)流示意圖 51數(shù)字圖像的分解例其Matlab程序如下：I=imread(cameraman.tif,tif); %讀入并顯示原始圖像figure(1)；subplot(121);imshow(I); ca1,ch1,cv1,cd1 = dwt2(I,db2); %用db2小波對圖像進行一層小波解I2=ca1,ch1*4;cv1*4,cd1*4; %組成變換后的矩陣 %圖像不能反映實際情況，要作一些處理。mi

12、n=min(I2(:);max=max(I2(:);subplot(122);imshow(I2,min,max); %顯示變換后近似和細節(jié)圖像X=idwt2(ca1,ch1,cv1,cd1,db2); %用idwt2作反變換rmes=compare(I,X) %反變換結(jié)果與原始圖像比較52數(shù)字圖像的分解例二維小波一層分解圖 53數(shù)字圖像的分解例二維小波一層分解圖 54數(shù)字圖像的分解例多級二維小波變換結(jié)果 55小波基的選擇 不同于Fourier分析，小波基不是唯一，顯然選擇最優(yōu)的小波基用于圖像編碼是一個非常困難的事，一般情況下需考慮以下幾個因素：小波基的正則性和消失矩；小波基的線性相位；要處理

13、圖像與小波基的相似性；小波函數(shù)的能量集中性；綜合考慮壓縮效率和計算復(fù)雜度。56小波基的選擇 圖像壓縮中幾種常用小波基 N0133445/6419/64-1/8-3/643/1281/21/4雙正交樣條小波bior2.4 57小波基的選擇 雙正交樣條小波，接近正交性的 N013340.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267490.5575430.295636-0.028772-0.045636058小波基的選擇 雙正交樣條小波，接近正交性的bior4.4 N013340.60.25-0.050017/2873/280-3/56-3/280059小波基的選擇

14、雙正交樣條小波(jpeg9.7) N013340.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267491.11510.59127-0.057544-0.091272060小波變換域小波系數(shù)分析 1. 小波變換的能量緊致性分析 子圖（M*N個像素）的能量定義為: 61小波變換域小波系數(shù)分析 2. 小波變換系數(shù)分析 圖號最大值最小值均值方差能量比層能量合計LL4213.40.8696.9272141.886.3192.01 4.36 2.561.07HL4109.0-113.94-0.142281.32.10LH4129.9-114.13-0.085374.92.81H

15、H483.6-67.590.074105.80.79HL3167.3-131.52-0.191260.11.95LH3102.2-148.53-0.095248.51.86HH369.0-88.400.051474.030.55HL2139.2-117.460.097151.91.14LH2136.7-170.36-0.024138.31.04HH277.3-113.20-0.00151.30.38HL175.7-92.010.03757.80.43LH167.2-92.61-0.06158.30.43HH158.3-59.27-0.01127.90.21Lena圖小波系數(shù)統(tǒng)計分析表 62小波

16、變換域小波系數(shù)分析 2. 小波變換系數(shù)分析 各層小波系數(shù)分布圖 63小波變換域小波系數(shù)分析 小波系數(shù)規(guī)律: （1） 隨著分層數(shù)的增加，小波系數(shù)的范圍越來越大，說明越往后層次的小波系數(shù)越重要。（2）除LL4外，其他子帶方差和能量明顯減少，充分說明低頻系數(shù)在圖像編碼中的重要性。（3）對同一方向子帶，按從高層到低層（從低頻到高頻）子帶，有：HL4HL3HL2HL1，LH4LH3LH2LH1，HH4HH3HH2HH1，大部分情況下其方差從大到小，有一定的變換規(guī)則。（4）第一層中有90%的系數(shù)絕對值集中在0零附近。以上規(guī)律對圖像壓縮編碼算法有很重要的指導(dǎo)意義 64小波變換域小波系數(shù)分析 例65直接閾值編

17、碼法對小波系數(shù)C(i,j), 在圖像壓縮中常用的閾值法為： 閾值化處理的關(guān)鍵問題是選擇合適的閾值的選取，如果閾值太小，壓縮效果不明顯，閾值太大，壓縮圖像重構(gòu)就是丟失很多細節(jié)，產(chǎn)生模糊 66直接閾值編碼法小波變換系數(shù)的二種閾值方法： 對所有子帶用一個全局閾值； 對各子帶分別用不同的閾值；67直接閾值編碼法 例68基于小波樹結(jié)構(gòu)的矢量量化法 人眼視覺系統(tǒng)是對高頻分量不敏感，而對低頻分量反應(yīng)很敏感。根據(jù)這一特點，在壓縮時應(yīng)盡量降低低頻分量的失真，即在量化編碼的碼率分配時，低頻區(qū)碼率相對高，高頻區(qū)碼率相對低。二級小波分解和矢量量化位率分配圖69基于小波樹結(jié)構(gòu)的矢量量化法 前面章節(jié)已經(jīng)指出若對圖像進行L

18、層分解,其變換系數(shù)有以下幾個特點：（1）圖像的能量主要集中在低頻的LL子帶上。（2）子帶LH，HL，HH表現(xiàn)出明顯的方向性，它們分別代表水平、垂直和對角方向的邊沿或紋理信號。（3）各子帶的相應(yīng)位置的系數(shù)有明顯的相關(guān)性。70基于小波樹結(jié)構(gòu)的矢量量化法 例矢量量化結(jié)果 71嵌入式小波零樹編碼 （1）零樹表示小波系數(shù)分三種情形： 零樹根； 孤立零； 重要系數(shù)。 72嵌入式小波零樹編碼 系數(shù)編碼時的掃描順序圖 73嵌入式小波零樹編碼 系數(shù)編碼的流程圖 74嵌入式小波零樹編碼 （2）逐次逼近量化 逐次逼近量化是逐次使用閾值序列T0，T1，TN-1以決定重要系數(shù)，其中閾值序列的選取是Ti=Ti-1/2，而最初的閾值T0的選擇使得對所有系數(shù)xj有|xj|2T0，且T0=2n。75嵌入式小波零樹編碼 簡單例子 考慮88圖像的3尺度小波變換63-344910713-127-312314-13346-115143-125-739-9-7-1484-232-59-14746-2230-323-2042-36-436365115603-4476嵌入式小波零樹編碼 簡單例子 T0=32的編碼過程 子帶系數(shù)值符號重構(gòu)值子帶系數(shù)值符號重構(gòu)值LL363POS48LH2-9ZTR0HL3-34NEG-48LH2-7ZTR0LH3-31IZ0HL17Z0HH323ZTR0