線性系統(tǒng)理論LQR

1、線性系統(tǒng)理論2008-2009學年Email: hjt.Lab: 10-8251線性二次型最優(yōu)控制LQ優(yōu)化型綜合問題性能指標：以給定的性能指標函數(shù)極大或極小作為系統(tǒng)綜合的目標線性二次型最優(yōu)控制有限時間情形無限時間情形2線性二次型最優(yōu)控制LQLQ(Linear Quadratic)問題LQ問題的提法：性能指標其中，尋找使得3線性二次型最優(yōu)控制LQ性能指標函數(shù)的屬性：數(shù)學上，是控制量u的泛函；物理上，能量=運動能量+控制能量加權陣的選?。篠、R、Q根據(jù)經驗選取; 不同的加權陣性能指標雖都能達到最優(yōu),但對應的最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)動態(tài)性能不同.容許控制的特點：滿足狀態(tài)方程解存在唯一性條件的所有類型的控制通常認

2、為最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線最優(yōu)控制最優(yōu)軌線最優(yōu)性能4線性二次型最優(yōu)控制LQ極值化的類型基于性能指標函數(shù)的廣義能量物理意義，采用最小化形式實際工程中，根據(jù)需要，可采用最大化或最小化最優(yōu)控制問題的數(shù)學實質性能指標泛函的約束最優(yōu)化(極值問題)數(shù)學上多采用變分法最優(yōu)控制問題按末時刻的分類有限時間LQR：只考慮系統(tǒng)在過渡過程中的最優(yōu)運行無限時間LQR：還要考慮系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài)時的漸近行為；更實用調節(jié)問題和跟蹤問題最優(yōu)調節(jié)問題: 尋找使性能指標泛函最優(yōu)的控制量u,使系統(tǒng)由初始狀態(tài)驅動到零平衡態(tài)最優(yōu)跟蹤問題: 尋找使性能指標泛函最優(yōu)的控制量u, 使系統(tǒng)輸出跟蹤參考輸入.最優(yōu)跟蹤是最優(yōu)調節(jié)的推廣,可轉化為等價的調節(jié)

3、問題.5有限時間LQ問題的最優(yōu)解有限時間時變LQ問題最優(yōu)解 對有限時變LQ調節(jié)問題，設末時刻為固定，組成對應矩陣Riccati微分方程：解陣P(t)為正半定對稱陣。則 為最優(yōu)控制的充分必要條件是具有形式：最優(yōu)軌線最優(yōu)性能值6有限時間時變LQ問題的基本屬性最優(yōu)控制的唯一性最優(yōu)控制必存在且唯一,即最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性最優(yōu)控制具有狀態(tài)反饋形式最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7線性二次型最優(yōu)控制無限時間情形附加限定條件：受控系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)；調節(jié)問題平衡狀態(tài)為 和最優(yōu)控制系統(tǒng)前提為漸近穩(wěn)定所決定，與末狀態(tài)無關；受控系統(tǒng)完全能控，加權陣R對稱正定，Q正定對稱 或Q半正定對稱且 完全能觀測。8線性二次型最

4、優(yōu)控制無限時間情形矩陣Riccati方程解的特性解陣P(t)的基本屬性Riccati方程有唯一對稱正定解陣P9線性二次型最優(yōu)控制無限時間情形無限時間LQ問題最優(yōu)解 對無限時間時不變LQ調節(jié)問題，組成對應矩陣Riccati微分方程：解陣P(t)為正定對稱陣。則 為最優(yōu)控制的充分必要條件是具有形式：最優(yōu)軌線最優(yōu)性能值最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性：最優(yōu)控制的狀態(tài)空間描述：10穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性最優(yōu)條件系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性無限時間時不變LQ條件問題，其最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)必為大范圍漸近穩(wěn)定最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性11穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性最優(yōu)條件系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性 對指定指數(shù)衰減度的無限時間時不變LQ調節(jié)問題，組成相應的Ric

5、cati代數(shù)方程：解陣P(t)為正定對稱陣。取最優(yōu)控制為：最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)為則最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)以 為衰減上限指數(shù)穩(wěn)定，即12最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件多輸入最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)頻率域條件 對多輸入無限時間時不變LQ調節(jié)問題，最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)其中，等號只對有限個 成立。單輸入最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)頻率域條件 對單輸入無限時間時不變LQ調節(jié)問題，最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)滿足如下頻率域條件：滿足如下頻率域條件：其中，等號只對有限個 成立。13最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)頻率域條件的幾何解釋對單輸入無限時間時不變LQ調節(jié)問題，最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件在幾何上表示為，開環(huán)頻率響應 在復平面上

6、由 變化到 的曲線必不進入單位圓內，且 曲線和單位圓 只有有限個切點。14最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的魯棒性魯棒性是控制系統(tǒng)正常運行的必備條件指系統(tǒng)參數(shù)產生攝動時，閉環(huán)調節(jié)系統(tǒng)仍能保持漸近穩(wěn)定或綜合性能的一種屬性穩(wěn)定性魯棒性的指標有相角裕度與增益裕度、對非線性的容限等。15相角裕度與增益裕度相角裕度假設一個閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如果加在系統(tǒng)的相角滯后量小于角，系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，而當大于角時就變?yōu)椴环€(wěn)定了。即相位裕度是使系統(tǒng)達到不穩(wěn)定的邊緣所需要的額外的相位滯后量。16相角裕度與增益裕度相角裕度和增益裕度 對單輸入無限時間時不變LQ調節(jié)問題，最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)具有：至少 相角裕度 增益裕度對多輸入無限時間時不變LQ調節(jié)問

7、題，取相對于控制輸入的加權陣：則最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)的每個反饋控制回路具有以上相角和增益裕度。17最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)對非線性的容限狀態(tài)反饋矩陣產生非線性攝動的最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)，可等價視為最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)中引入附加非線性環(huán)節(jié)18最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)對非線性的容限對非線性的容限 對多輸入無限時間時不變LQ調節(jié)問題，給定反饋通道中包含非線性環(huán)節(jié) 的最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)，則對滿足扇形條件 的任意 ，擾動最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)可保持大范圍漸近穩(wěn)定。19扇形條件的幾何解釋對單輸入無限時間時不變LQ調節(jié)問題，進入于最優(yōu)調節(jié)系統(tǒng)反饋通道中的向量非線性攝動 化為標量非線性攝動 ，且 也為標量，相應地，非線性容限的扇形條件化為：其幾何表征如下圖所示： 20最優(yōu)

8、跟蹤問題最優(yōu)跟蹤問題是最優(yōu)調節(jié)問題的推廣設系統(tǒng)(A,B,C)完全能控、能觀測，系統(tǒng)(F,H)完全能觀測；系統(tǒng)(A,B,C)的輸出y跟蹤系統(tǒng)(F,H)的輸出，引入二次型指標：最優(yōu)跟蹤問題就是對受控系統(tǒng)和參考輸入模型，有上述性能指標，尋找一個控制 使輸出y跟蹤參考輸入 同時，有：21最優(yōu)跟蹤問題等價條件問題及其最優(yōu)解22最優(yōu)跟蹤問題最優(yōu)等價調節(jié)問題最優(yōu)解 對無限時間時不變LQ調節(jié)問題，組成對應矩陣Riccati微分方程：解陣為正定對稱陣。則 為最優(yōu)控制的充分必要條件是具有形式：最優(yōu)軌線最優(yōu)性能值最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性：最優(yōu)控制的狀態(tài)空間描述：23最優(yōu)跟蹤問題跟蹤問題最優(yōu)解 對由連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)和二次型指標組成的跟蹤問題，將等價最優(yōu)調節(jié)問題的矩陣Riccati代數(shù)方程解陣作分塊化表示：最優(yōu)跟蹤控制最優(yōu)性能指標24小結本章主要內容: 按期望的性能指標設計狀態(tài)反饋控制器控制系統(tǒng)的實現(xiàn): 物理構成和實際運行中