專題一復數(shù)與數(shù)列

1、專題一復數(shù)與數(shù)列復數(shù)數(shù)列的題目主要體現(xiàn)對復數(shù)運算的規(guī)律性的把握.例1設(shè)數(shù)列ZiZJIZn，-是首項為48，公比為,2i)的等比復4數(shù)列.(1 )求 Z4.(2 )將這個數(shù)列中的實數(shù)項，不改變原來的次序，從首項開始，排成aj ,a2,，a*,，試求 a3 .(3)求無窮級數(shù)。-a2* an 的和.分析：利用三角形式解決本題.1-/-1HH解： r (、. 6. 2i) (cos isin ).41(：).時，an 1a1(11 -k1 -kn 1 (3 1)kn，一、3kT-kTk所以七汕一“-諷-3kn1 k.3卜-31zi 八D，/nT 閔）涉及復數(shù)列的問題，所學過的數(shù)列的求和公式及構(gòu)造方法

2、麗可以應(yīng)用到復 數(shù)列中去.例3（1）設(shè)在復數(shù)列 z1,Zn,之間有如下關(guān)系：Zn 1-召二：（Zn- Z.）（n =1,2,3，），其中：-1）是常復數(shù).當氣二0,Z1 =1時，試將Zn的值用表示.（2）若（1）中的二二1.3i，求在圓z =10（z是復數(shù)）的內(nèi)部總共含有Zn的個數(shù).解：（1） Z2 -乙二（乙一匕）*Z22（Z2 一一 乙）=：n -1Zn Zn4 二(Znj Zn_)=:于是，從:-1得,z1-1(2) ? =1n nn、.3i = 2(cos i sin )，所以：=2 (cos33要使Zn在圓1 ZZ =10的內(nèi)部，它的充分必要條件是i sin )3；101 -:-TP

3、cos 22n)，所3(2 )將中的極限點用Q表示.若固定=二而8變動口寸，點Q所描24100 即 z z =: 100,而 z -z (1 - 2n nn n 3以(1 -2 cos 2 ) ： 100 n 12n33又 12 cos+2 12+2 =(12),3能適合(1 -2： ： 300的n只是0,1,2,3,4 在逐個驗證這五個點確信都在圓z =10的內(nèi)部，故符合條件的點共有5個.復數(shù)乘除的幾何意義是處理某些與幾何圖形有關(guān)的數(shù)列的基本手段之一.例4設(shè)平面上有點P,R,，如圖所示，其中，線段O P。，P0R,RP2,，的長成首項為1,公比為r的等比數(shù)列.(1 )若0 ： r ： 1，則

4、當n一時，Pn與哪一點無限接近?述的是怎樣的曲線?解：(1)：=r(cosri si nr)，此時，若將表示點Pn的復數(shù)記作z，則有 Zn - Zn=其中z就是原點0 于是n 11 COnZn =1(二 1) 一ZnZn1 一國(2)，1 一n 1因此若0 :，則Zn所表示的點與Z1則有所表示的點最靠近.1 一尬1固定，2二做變動，、一點；總在以原點為圓心的圓周上.但因1故有Z-1當點，在以原點為中心，1一為半徑的圓上22An1( n =1，2,3,)由 1 AnAn 1=2人/代I ,以及AnAn1,An A的夾角二所定義。試求被表示為氣復數(shù)氣。(3)若(2)中，片 兀，且記，1二乙Z3Z2

5、n4,2解：(1)將表示B的復數(shù)記作 ，則對有關(guān)系OC=AB的點C表示為j復數(shù)，就是-Z，從而心-z) A尬 _z= kz(cosT +i sin 日)，所以國=(1 +k cos 日)+ik sin 6zo4相應(yīng)的在以點一為圓1 -國32心，2為半徑的圓上.3常見的分析幾何圖形中的數(shù)列問題的方法結(jié)合復數(shù)乘除的幾何意義， 是解決這類問題的重要手段。例5設(shè)在復平面上，(1)原點為0 ,表示復數(shù)Z的點為A，點B由I AB I二k |0A| , AB,OA的交角為二所確定。試求表示點B的復數(shù)。這里k是實數(shù)。(2)點列Ao, A】，A2,，代，由下述方式確定：Ao取(0,0), A取(1,0),(2)人 “/ =op，AnAn +=oq 所表示的點P,Q，則用復數(shù)分別表示為Zn -Zn，Zn 1- Zn。由/ POQ -二，推出Zn Zn = 2(Zn -Z)(COS V i Si門日勺，因此，數(shù)列znZ是首項為Zj-Z。=10 = 1，公比為2(cosv isin)的等比數(shù)列。所以 z -Zn4 = 2n4(co isin v)n (