BB二重積分概念課件

1、1第八章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重 積 分與曲 線 積 分第1頁(yè)，共25頁(yè)。2三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例 二、二重積分的定義與可積性 二重積分的概念和性質(zhì) 第八章 第2頁(yè)，共25頁(yè)。3柱體體積=底面積高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.曲頂柱體的體積問(wèn)題的提出第3頁(yè)，共25頁(yè)。求曲邊梯形面積的解題步驟 :1) 大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;2) 常代變.在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取窄曲邊梯形面積得3) 近似和.4) 取極限.第4頁(yè)，共25頁(yè)。5解法: 類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體

2、的體積 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 第5頁(yè)，共25頁(yè)。61)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體第6頁(yè)，共25頁(yè)。74)“取極限”令第7頁(yè)，共25頁(yè)。82. 平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意

3、曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .第8頁(yè)，共25頁(yè)。92)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量第9頁(yè)，共25頁(yè)。10兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1) 解決問(wèn)題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第10頁(yè)，共25頁(yè)。11二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第11頁(yè)，共25頁(yè)。12引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄

4、板的質(zhì)量:如果 在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃 記作第12頁(yè)，共25頁(yè)。13關(guān)于二重積分定義的幾點(diǎn)說(shuō)明:1、二重積分的值與D域的分法及的取法無(wú)關(guān)。2、二重積分是個(gè)極限值，是個(gè)數(shù)值。其大小只與及D有關(guān)而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)。3、對(duì)D的分割是任意的，若用平行于坐標(biāo)軸的直線段來(lái)劃分D ,那么除了靠邊的一些小區(qū)域外，絕大部分的小區(qū)域都是矩形的，由于靠邊的小區(qū)域不作計(jì)較。第13頁(yè)，共25頁(yè)。14二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去

5、有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . 第14頁(yè)，共25頁(yè)。15上方的體積下方的體積。二重積分的幾何意義第15頁(yè)，共25頁(yè)。16三、二重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 （共8個(gè)）第16頁(yè)，共25頁(yè)。17特別, 由于則5. 若在D上6. （二重積分的估值定理）D 的面積為 ,則有設(shè)第17頁(yè)，共25頁(yè)。187.(二重積分的中值定理)證: 由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此此性質(zhì)的幾何意義是：總可以在D內(nèi)找到一點(diǎn)使得以D為底為曲頂?shù)那斨w的體積等于以D為底，為高的平頂柱體體積。第18

6、頁(yè)，共25頁(yè)。198. 設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有第19頁(yè)，共25頁(yè)。20例1. 比較下列積分的大小:其中解: 積分域 D 的邊界為圓周它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,而域 D 位從而于直線的上方, 故在 D 上 第20頁(yè)，共25頁(yè)。21例2. 估計(jì)下列積分之值解: D 的面積為由于積分性質(zhì)5即: 1.96 I 2D1、第21頁(yè)，共25頁(yè)。222. 其中 D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值的最小值第22頁(yè)，共25頁(yè)。233、 解： 先求在D上的最值令得駐點(diǎn)：在D