9.3.1　平面向量基本定理 講義 （word版含解析）

1、93向量基本定理及坐標(biāo)表示93.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義2.掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算：平面向量基本定理及其應(yīng)用1平面向量基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2基底兩個(gè)不共線的向量e1，e2叫作這個(gè)平面的一組基底探究點(diǎn)1平面向量基本定理的理解 (多選)設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，則下列各組向量能作為一組基底的是()Ae1與e1e2Be12e2與e22e1Ce12e2與4e22e1De1e2與e1e2【解析】A設(shè)e

2、1e2e1，則 eq blc(avs4alco1(1，,10，)無(wú)解，所以e1e2與e1不共線，即e1與e1e2能作為一組基底B設(shè)e12e2(e22e1)，則(12)e1(2)e20，則 eq blc(avs4alco1(120，,20，)無(wú)解，所以e12e2與e22e1不共線，即e12e2與e22e1能作為一組基底C因?yàn)閑12e2 eq f(1,2)(4e22e1)，所以e12e2與4e22e1共線，即e12e2與4e22e1不能作為一組基底D設(shè)e1e2(e1e2)，則(1)e1(1)e20，則 eq blc(avs4alco1(10，,10，)無(wú)解，所以e1e2與e1e2不共線，即e1e2

3、與e1e2能作為一組基底【答案】ABD對(duì)基底的理解(1)兩個(gè)向量能否作為一個(gè)基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線若共線，則不能作基底，反之，則可作基底(2)一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以用這組基底唯一線性表示出來(lái)設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若x1ay1bx2ay2b，則 eq blc(avs4alco1(x1x2，,y1y2.)提醒一個(gè)平面的基底不是唯一的，同一個(gè)向量用不同的基底表示，表達(dá)式不一樣 1設(shè)點(diǎn)O是ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是() eq o(AD,sup6()與 eq o(AB,sup6()

4、； eq o(DA,sup6()與 eq o(BC,sup6()； eq o(CA,sup6()與 eq o(DC,sup6()； eq o(OD,sup6()與 eq o(OB,sup6().ABCD解析：選B尋找不共線的向量組即可，在ABCD中， eq o(AD,sup6()與 eq o(AB,sup6()不共線， eq o(CA,sup6()與 eq o(DC,sup6()不共線；而 eq o(DA,sup6() eq o(BC,sup6()， eq o(OD,sup6() eq o(OB,sup6()，故可作為基底2.點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對(duì)向量是()A e

5、q o(OA,sup6()， eq o(BC,sup6()B eq o(OA,sup6()， eq o(CD,sup6()C eq o(AB,sup6()， eq o(CF,sup6()D eq o(AB,sup6()， eq o(DE,sup6()解析：選B由題圖可知， eq o(OA,sup6()與 eq o(BC,sup6()， eq o(AB,sup6()與 eq o(CF,sup6()， eq o(AB,sup6()與 eq o(DE,sup6()共線，不能作為基底向量， eq o(OA,sup6()與 eq o(CD,sup6()不共線，可作為基底向量探究點(diǎn)2用基底表示平面向量如圖

6、，已知在梯形ABCD中，ADBC，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的中點(diǎn)，且BC3AD， eq o(BA,sup6()a， eq o(BC,sup6()b.試用基底a，b表示 eq o(EF,sup6()， eq o(DF,sup6().【解】連接FA，DF(圖略).因?yàn)锳DBC，且AD eq f(1,3)BC，所以 eq o(AD,sup6() eq f(1,3) eq o(BC,sup6() eq f(1,3)b.所以 eq o(AE,sup6() eq f(1,2) eq o(AD,sup6() eq f(1,6)b.因?yàn)?eq o(BF,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,su

7、p6() eq f(1,2)b.所以 eq o(FA,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(BF,sup6()a eq f(1,2)b.所以 eq o(EF,sup6() eq o(EA,sup6() eq o(AF,sup6() eq o(AE,sup6() eq o(FA,sup6() eq f(1,6)b eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b) eq f(1,3)ba， eq o(DF,sup6() eq o(DA,sup6() eq o(AF,sup6()( eq o(AD,sup6() eq o(FA,sup6() eq blcrc(avs4al

8、co1(f(1,3)bblc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b) eq f(1,6)ba.用基底表示向量的兩種方法(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止(2)通過(guò)列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解 1如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若 eq o(AB,sup6()a， eq o(AC,sup6()b，則 eq o(AD,sup6()()Aa eq f(1,2)bB eq f(1,2)abCa eq f(1,2)bD eq f(1,2)ab解析：選D連接CD，OD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，可得C

9、DAB，且 eq o(CD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq f(1,2)a，所以 eq o(AD,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(CD,sup6() eq f(1,2)ab，故選D2.如圖所示，在OBC中，點(diǎn)A為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，CD，OA相交于點(diǎn)E，設(shè) eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b.(1)用a，b 表示 eq o(OC,sup6()， eq o(DC,sup6()；(2)若 eq o(OE,sup6() eq o(OA,sup6()，求.解：(1)因?yàn)?eq o(

10、OC,sup6() eq o(OB,sup6()2 eq o(OA,sup6()，所以 eq o(OC,sup6()2 eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()2ab， eq o(DC,sup6() eq o(OC,sup6() eq o(OD,sup6()2ab eq f(2,3)b2a eq f(5,3)b.(2)因?yàn)?eq o(CE,sup6() eq o(OE,sup6() eq o(OC,sup6()a(2ab)(2)ab，又由E在CD上， eq o(CE,sup6()與 eq o(DC,sup6()共線，所以存在實(shí)數(shù)，使 eq o(CE,sup6() eq o(D

11、C,sup6().即(2)ab eq blc(rc)(avs4alco1(2af(5,3)b)，則 eq blc(avs4alco1(avs4alco1(22，,1f(5,3)，)解得 eq f(4,5).探究點(diǎn)3平面向量基本定理的應(yīng)用 如圖，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求APPM與BPPN.【解】設(shè) eq o(BM,sup6()e1， eq o(CN,sup6()e2，則 eq o(AM,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(CM,sup6()3e2e1， eq o(BN,sup6() eq o(BC,sup6() eq o

12、(CN,sup6()2e1e2.因?yàn)锳，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得 eq o(AP,sup6() eq o(AM,sup6()e13e2， eq o(BP,sup6() eq o(BN,sup6()2e1e2.故 eq o(BA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(PA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(AP,sup6()(2)e1(3)e2.而 eq o(BA,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CA,sup6()2e13e2，由平面向量基本定理，得 eq blc(avs4alco1(22，,33，)解得 eq bl

13、c(avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5)所以 eq o(AP,sup6() eq f(4,5) eq o(AM,sup6()， eq o(BP,sup6() eq f(3,5) eq o(BN,sup6().所以APPM41，BPPN32.1變條件、變問法在本例條件下，若 eq o(CM,sup6()a， eq o(CN,sup6()b，試用a，b表示 eq o(CP,sup6().解：由本例解析知BPPN32，則 eq o(NP,sup6() eq f(2,5) eq o(NB,sup6()， eq o(CP,sup6() eq o(CN,sup6() eq o(NP,sup6(

14、) eq o(CN,sup6() eq f(2,5) eq o(NB,sup6()b eq f(2,5)( eq o(CB,sup6() eq o(CN,sup6()b eq f(4,5)a eq f(2,5)b eq f(3,5)b eq f(4,5)a.2變條件若本例中的點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，其他條件不變，求APPM與BPPN.解：如圖，設(shè) eq o(BM,sup6()e1， eq o(CN,sup6()e2，則 eq o(AM,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(CM,sup6()2e2e1， eq o(BN,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CN,su

15、p6()2e1e2.因?yàn)锳，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得 eq o(AP,sup6() eq o(AM,sup6()e12e2， eq o(BP,sup6() eq o(BN,sup6()2e1e2.故 eq o(BA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(PA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(AP,sup6()(2)e1(2)e2.而 eq o(BA,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CA,sup6()2e12e2，由平面向量基本定理，得 eq blc(avs4alco1(22，,22，)解得 eq blc(avs4

16、alco1(f(2,3)，,f(2,3)所以 eq o(AP,sup6() eq f(2,3) eq o(AM,sup6()， eq o(BP,sup6() eq f(2,3) eq o(BN,sup6().所以APPM2，BPPN2.若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得 1(2021江蘇省如皋中學(xué)高一月考)如圖，在直角梯形ABCD 中，已知ABCD，BAD90，ADAB2，CD1，動(dòng)點(diǎn)P在線段

17、BC上運(yùn)動(dòng)，且 eq o(AP,sup6()m eq o(AB,sup6()n eq o(AD,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(m，nR)，則 eq f(1,m) eq f(2,n)的最小值是()A3B32 eq r(2)C4D42 eq r(2)解析：選C設(shè) eq o(BP,sup6() eq o(BC,sup6().因?yàn)?eq o(BC,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq f(1,2)

18、 eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6().所以 eq o(AP,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(AB,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AD,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2) eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6().所以m1 eq f(1,2)，n，所以2mn2. eq f(1,m) eq f(2,n) eq f(2mn,2m) eq f(2mn,

19、n)1 eq f(n,2m) eq f(2m,n)122 eq r(f(n,2m)f(2m,n)4.當(dāng)且僅當(dāng) eq f(n,2m) eq f(2m,n)，即n2m時(shí)取等號(hào)，此時(shí)1，P與C重合，符合題意. 故選C2. (2021江蘇南通市啟東中學(xué)高一月考)如圖，在ABC中， eq o(BD,sup6() eq f(1,3) eq o(BC,sup6()，點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)(不含端點(diǎn))，若 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，則 eq f(,)_，2的最小值是_解析：設(shè) eq o(AE,sup6()m eq o(AD,sup6() eq bl

20、c(rc)(avs4alco1(0m1)，則 eq o(AE,sup6()m eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)o(BC,sup6()m eq blcrc(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(o(BA,sup6()o(AC,sup6()，所以 eq o(AE,sup6() eq f(2,3)m eq o(AB,sup6() eq f(1,3)m eq o(AC,sup6()，而 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，可得 eq f(2,3)m， e

21、q f(1,3)m，所以 eq f(,) eq f(f(2,3)m,f(1,3)m)2，2 eq f(4,9)m2 eq f(1,3)m eq f(4,9) eq blc(rc)(avs4alco1(mf(3,8)2 eq f(1,16)，所以當(dāng)m eq f(3,8)時(shí)，2取得最小值 eq f(1,16).答案：2 eq f(1,16)1在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且 eq o(BD,sup6() eq f(1,2) eq o(DA,sup6()，設(shè) eq o(CB,sup6()a， eq o(CA,sup6()b，則 eq o(CD,sup6()()A eq f(1,3)a eq f(2,3

22、)bB eq f(2,3)a eq f(1,3)bC eq f(3,5)a eq f(4,5)bD eq f(4,5)a eq f(3,5)b解析：選B因?yàn)?eq o(BD,sup6() eq f(1,2) eq o(DA,sup6()， eq o(CB,sup6()a， eq o(CA,sup6()b，所以 eq o(CD,sup6()a eq o(BD,sup6()a eq f(1,3) eq o(BA,sup6()a eq f(1,3)(ba) eq f(2,3)a eq f(1,3)b.2已知非零向量 eq o(OA,sup6()， eq o(OB,sup6()不共線，且2 eq o(

23、OP,sup6()x eq o(OA,sup6()y eq o(OB,sup6()，若 eq o(PA,sup6() eq o(AB,sup6()(R)，則x，y滿足的關(guān)系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：選A由 eq o(PA,sup6() eq o(AB,sup6()，得 eq o(OA,sup6() eq o(OP,sup6()( eq o(OB,sup6() eq o(OA,sup6()，即 eq o(OP,sup6()(1) eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6().又2 eq o(OP,sup6()x eq o(OA,sup6()y e

24、q o(OB,sup6()，所以 eq blc(avs4alco1(x22，,y2，)消去得xy2.3如圖所示，在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，則的值為_解析：由題意，得 eq o(AE,sup6() eq f(1,2)( eq o(AD,sup6() eq o(AC,sup6().又 eq o(AD,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(AB,sup6()，所以 eq o(AE,sup6() eq f(1,2)( eq o(AB,sup6()2 eq

25、 o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6().又 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，所以 eq f(1,2)1 eq f(1,2).答案： eq f(1,2)4在梯形ABCD中，ABCD，M，N分別是邊DA，BC的中點(diǎn)，且 eq f(DC,AB)k(k1).設(shè) eq o(AD,sup6()e1， eq o(AB,sup6()e2，試用基底e1，e2表示 eq o(DC,sup6()， eq o(BC,sup6()， eq o(MN,sup6().解：如圖，因?yàn)?eq o(AB,s

26、up6()e2，且 eq f(DC,AB)k，所以 eq o(DC,sup6()k eq o(AB,sup6()ke2.又因?yàn)?eq o(AB,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(DA,sup6()0，所以 eq o(BC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(DA,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AD,sup6()e2ke2e1e1(k1)e2.因?yàn)?eq o(MN,sup6() eq o(NB,sup6() eq o(BA,sup6() eq o

27、(AM,sup6()0，所以 eq o(MN,sup6() eq o(NB,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AM,sup6() eq o(BN,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AM,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,sup6()e2 eq f(1,2) eq o(AD,sup6() eq f(1,2)e1(k1)e2e2 eq f(1,2)e1 eq f(k1,2)e2.A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1 eq f(1,2)e2C2e23e1，6

28、e14e2De1e2，e1e2解析：選D不共線的兩個(gè)向量可以作為平面的一組基底對(duì)于A，e2e1(e1e2)不滿足；對(duì)于B，2e1e22(e1 eq f(1,2)e2)不滿足；對(duì)于C，6e14e22(2e23e1)不滿足；故選D2在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若 eq o(BC,sup6()e1， eq o(DC,sup6()e2，則 eq o(OC,sup6()()A eq f(1,2)(e1e2) B eq f(1,2)(e1e2)C eq f(1,2)(2e2e1) D eq f(1,2)(e2e1)解析：選A因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)， eq o(BC,sup6()e1， e

29、q o(DC,sup6()e2，所以 eq o(OC,sup6() eq f(1,2)( eq o(BC,sup6() eq o(DC,sup6() eq f(1,2)(e1e2)，故選A3已知e1，e2為基底，向量 eq o(AB,sup6()e1ke2， eq o(CB,sup6()2e1e2， eq o(CD,sup6()3e13e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是()A2B3C2D3解析：選A eq o(DB,sup6() eq o(CB,sup6() eq o(CD,sup6()e12e2(e12e2).又A，B，D三點(diǎn)共線，則 eq o(DB,sup6()和 eq o(AB,su

30、p6()是共線向量，所以k2.4(多選)如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中ABCD，AB2CD，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A eq o(AC,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()B eq o(MC,sup6() eq f(1,2) eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,sup6()C eq o(MN,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,4) eq o(AB,sup6()D eq o(BC,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(

31、AB,sup6()解析：選ABD eq o(AC,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()，A正確； eq o(MC,sup6() eq o(MA,sup6() eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6() eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(o(BC,sup6()o(AC,sup6() eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o

32、(BC,sup6()，B正確； eq o(MN,sup6() eq o(MA,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DN,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,4) eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,4) eq o(AB,sup6()，C錯(cuò)誤； eq o(BC,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()

33、 eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()，D正確故選ABD5如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)， eq o(AM,sup6() eq f(4,5) eq o(AB,sup6()， eq o(AN,sup6() eq f(2,3) eq o(AD,sup6()，連接AC，MN交于P點(diǎn)若 eq o(AP,sup6() eq o(AC,sup6()，則的值為()A eq f(3,5)B eq f(3,7)C eq f(4,11)D eq f(4,13)解析：選C因?yàn)?eq o(AM,sup6() eq f(4,5) eq o(AB,su

34、p6()， eq o(AN,sup6() eq f(2,3) eq o(AD,sup6()，所以 eq o(AP,sup6() eq o(AC,sup6()( eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)o(AM,sup6()f(3,2)o(AN,sup6() eq f(5,4) eq o(AM,sup6() eq f(3,2) eq o(AN,sup6().因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線所以 eq f(5,4) eq f(3,2)1.解得 eq f(4,11).6已知a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x4y)a(2x3y)b6a

35、3b，則xy的值為_解析：因?yàn)閍，b是一組基底，所以a與b不共線，因?yàn)?3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以 eq blc(avs4alco1(3x4y6，,2x3y3，)解得 eq blc(avs4alco1(x6，,y3，)所以xy3.答案：37已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2 eq o(AC,sup6() eq o(CB,sup6()0，若 eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b，用a，b表示向量 eq o(OC,sup6()，則 eq o(OC,sup6()_解析： eq o(AC,sup6() eq o(OC,sup6() eq

36、 o(OA,sup6()， eq o(CB,sup6() eq o(OB,sup6() eq o(OC,sup6()，因?yàn)? eq o(AC,sup6() eq o(CB,sup6()0，所以2( eq o(OC,sup6() eq o(OA,sup6()( eq o(OB,sup6() eq o(OC,sup6()0.所以 eq o(OC,sup6()2 eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()2ab.答案：2ab8如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)，若 eq o(BE,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(BD,sup6

37、()(，R)，則_解析：因?yàn)?eq o(BE,sup6() eq o(BO,sup6() eq o(OE,sup6() eq f(1,2) eq o(BD,sup6() eq o(EA,sup6() eq f(1,2) eq o(BD,sup6() eq o(EB,sup6() eq o(BA,sup6()，所以 eq o(BE,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6() eq f(1,4) eq o(BD,sup6().所以 eq f(1,2)， eq f(1,4)，所以 eq f(3,4).答案： eq f(3,4)9設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be

38、13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)若4e13e2aub，求，u的值解：(1)證明：假設(shè)ab (R)，由e1，e2不共線，得 eq blc(avs4alco1(1，,32，)所以不存在，故a，b不共線，可以作為一組基底(2)由4e13e2aub，得4e13e2aub(e12e2)u(e13e2)(u)e1(23u)e2，所以 eq blc(avs4alco1(u4，,23u3，)解得 eq blc(avs4alco1(3，,u1.)10已知e，f為兩個(gè)不共線的向量，在四邊形ABCD中，已知 eq o(AB,sup6()e2f， eq o(BC,sup6()4ef， eq o(C

39、D,sup6()5e3f.(1)將 eq o(AD,sup6()用e，f表示；(2)求證：四邊形ABCD為梯形解：(1) eq o(AD,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CD,sup6()(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)證明：因?yàn)?eq o(AD,sup6()8e2f2(4ef)2 eq o(BC,sup6()，即 eq o(AD,sup6()2 eq o(BC,sup6()，所以 eq o(AD,sup6()與 eq o(BC,sup6()同方向且 eq o(AD,sup6()的長(zhǎng)度為 eq o(BC

40、,sup6()的長(zhǎng)度的2倍所以在四邊形ABCD中，ADBC且ADBC.所以四邊形ABCD是梯形B能力提升11(多選)若e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說(shuō)法不正確的是()Ae1e2 eq blc(rc)(avs4alco1(，R)可以表示平面內(nèi)的所有向量B對(duì)于平面中的任一向量a，使ae1e2的實(shí)數(shù)，有無(wú)數(shù)多對(duì)C1，1，2，2均為實(shí)數(shù)，且向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使1e11e2 eq blc(rc)(avs4alco1(2e12e2)D若存在實(shí)數(shù)，使e1e20，則0解析：選BC由平面向量基本定理，可知A，D說(shuō)法正確，B說(shuō)法不正確，對(duì)于C，當(dāng)12120時(shí)，這樣

41、的有無(wú)數(shù)個(gè)，故C說(shuō)法不正確故選BC12.如圖所示，在四邊形ABCD中， eq o(DC,sup6() eq f(1,3) eq o(AB,sup6()，E為BC的中點(diǎn)，且 eq o(AE,sup6()x eq o(AB,sup6()y eq o(AD,sup6()，則3x2y()A eq f(1,2)B eq f(3,2) C1D2解析：選C由題意，得 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BE,sup6() eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,sup6() eq o(AB,sup6() eq f(1,2)( eq o(AB,sup

42、6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()o(AD,sup6()f(1,3)o(AB,sup6() eq f(2,3) eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq o(AD,sup6().因?yàn)?eq o(AE,sup6()x eq o(AB,sup6()y eq o(AD,sup6()，所以x eq o(AB,sup6()y eq o(AD,sup6() eq f(2,3) eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq o(AD,sup6().因?yàn)?eq o(AB,sup6()與 eq o(AD,sup6()不共線，所以由平面向量基本定理得 eq blc(avs4alco1(xf(2,3)，,yf(1,2)所以3x2y3 eq f(2,3)2 eq f(1,2)1.故選C13已知在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)， eq o(AP,sup6()y eq o(AD,sup6()， eq o(AQ,sup6()x eq o(AB,sup6()，其中x，yR，且均不為0.若 eq o(PQ,sup6() eq o(BE,sup6()，則 eq f(x,y)_解析：因?yàn)?eq o(PQ,su