一維海森堡模型和MATLAB的簡(jiǎn)單介紹

1、一維海森堡模型和MATLAB的簡(jiǎn)單介紹i.i 一維海森堡模型海森堡模型(Heisenberg model)是一個(gè)自旋系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)的模型。在 量子力學(xué)發(fā)展初期，海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用，其數(shù) 學(xué)形式是兩個(gè)自旋角動(dòng)量的內(nèi)積S, Sj。海森堡模型的哈密頓算符H是這些內(nèi) 積的總和。H = J S S其中自旋角動(dòng)量的x,y,z三個(gè)分量之間的互易關(guān)系為S?,SJ = ihb8Sj ,力 為普朗克除以2兀，為了方便以下討論假設(shè)力=1。只考慮最近鄰的自旋才存在 交互作用，且交互作用的強(qiáng)度Jtj都均等，則哈密頓算符簡(jiǎn)化為H = JES S = j(SxSx + SySy + SzSz)i

2、ji j i j i ji,ji,jj=i+1可定義上升算符S +和下降算符S-，S= Sx 土iSy則哈密度算符寫成一 1H = JE (S+S- + S-S +) + SzSz2 i j i j i ji，j以上哈密頓純粹是算符的形式，為了方便，我們令J=i,對(duì)自旋為是S =1/2，每個(gè)自旋有兩個(gè)狀態(tài)：| J ,|個(gè),我們用列向量f10、， S + =f1，S -=f0 0-1J00 J0JS + I I=l f; S + I f =0;s-11=0; s-1 f =l Q;對(duì)于多個(gè)自旋的系統(tǒng)中，每一個(gè)自選的表示就不再相同。例如對(duì) 于L=2的兩個(gè)自旋的系統(tǒng)，它的希爾伯特空間為lf,|lf,

3、4 = lff,lfl,4f ,1口在它的希爾伯特空間中，將H寫成矩陣的表達(dá):vff l H lffm h ffAf l H lfff14-1 1二 4 -i2414) 加 H llf 、 )同理，L=3, 4個(gè)格點(diǎn)的H的矩陣表示也可以求得，進(jìn)而我們可以利用計(jì)算機(jī)中的 標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)來(lái)求得它的本征值和本征態(tài)，本文采用MATLAB中的庫(kù)函數(shù)eig(),和 LANCZOS方 法求出基態(tài)。但是，隨著L的增加，它的希爾伯特空間的維度按指數(shù)增加。因此，借助計(jì)算機(jī)是必要 的。(本文主要借助于MATLAB)1.2 MATLAB 的簡(jiǎn)介MATLAB是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù) 可

4、視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括 MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB是matrix&laboratory兩個(gè)詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實(shí)驗(yàn) 室）。是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程 序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué) 研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決 方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編 輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科

5、學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。MATLAB可以進(jìn)行矩 陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序 等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金 融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形 式十分相似，故用MATLAB來(lái)解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語(yǔ)言完成相同的 事情簡(jiǎn)捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成 為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中也加入了對(duì)C，F(xiàn)ORTRAN，C+，JAVA 的支持。Simulin

6、k是基于MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，可以用來(lái)對(duì)各種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行 建模、分析和仿真，它的建模范圍廣泛，可以針對(duì)任何能夠用數(shù)學(xué)來(lái)描述的系統(tǒng) 進(jìn)行建模，例如航空航天動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、衛(wèi)星控制制導(dǎo)系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)、船舶及汽 車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)等等，其中包括連續(xù)、離散，條件執(zhí)行，事件驅(qū)動(dòng)，單速率、多速 率和混雜系統(tǒng)等等。Simulink提供了利用鼠標(biāo)拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖 形界面，而且Simulink還提供了豐富的功能塊以及不同的專業(yè)模塊集合，利用 Simulink幾乎可以做到不書寫一行代碼完成整個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模工作MATLAB的優(yōu)點(diǎn)：1）高效的數(shù)值計(jì)算及符號(hào)計(jì)算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中解脫出 來(lái)

7、；2）具有完備的圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和編程的可視化；3）友好的用戶界面及接近數(shù)學(xué)表達(dá)式的自然化語(yǔ)言，使學(xué)者易于學(xué)習(xí)和掌握；4）功能豐富的應(yīng)用工具箱（如信號(hào)處理工具箱、通信工具箱等），為用戶提供了大 量方便實(shí)用的處理工具。1.3用MATLAB的語(yǔ)言描寫H簡(jiǎn)單的說，我們需要通過編寫程序在計(jì)算機(jī)中運(yùn)行，來(lái)求出我們需要的哈密頓H的矩陣;L個(gè)格點(diǎn)的希爾伯特空間為/ /2、/木/入 、|f,|f,|f|f|VL每個(gè)格點(diǎn)上的自旋狀態(tài)只有|（ ,|個(gè) ，這兩種情況。我們用0,1來(lái)表示。每個(gè)格點(diǎn)的狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)0或者1。例如:L=3時(shí)的一個(gè)基矢則它的基矢可表示為|1,0,0由此，我們不難想到利用二進(jìn)制數(shù)來(lái)

8、表示基矢，每個(gè)格點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)二進(jìn)制數(shù)的1位。我們的基矢可表示為2/個(gè)二進(jìn)制數(shù)；分別為十進(jìn)制數(shù)0，12/ -1所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)；現(xiàn)在我們關(guān)心編寫程序計(jì)算H的矩陣元：H = J L(S+S-+ S-S+) + SzSzj=i+1s +11=l T; s +1 T=0;s-11=0; s-1 T=l Q;主要程序如下H = zeros (2八l, 2八l);J = 1；for i = 1 : 2八lfor m = 1 : l - 1%轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)的m位n = m + 1;i_real = i - 1;im = bitget (i_real, m);in = bitget (i_real, n);

9、if (im = in)H (i, i) = H (i, i) + 0.25;elseif (im = 0 & in = 1 )i_new_real = i_real + 2八(m - 1) - 2八(n - 1);i_new = i_new_real + 1;H (i, i_new) = H (i, i_new) + 0.5火J;H (i, i) = H (i, i) - 0.25;elseif (im = 1 & in = 0)i_new_real = i_real + 2八(n - 1) - 2八(m - 1) ;i_new = i_new_real + 1;H (i, i_new) =

10、 H (i, i_new) + 0.5火J;H (i, i) = H (i, i) - 0.25;endendendH;由此，我們可以得到L個(gè)自旋格點(diǎn)的哈密頓量H;1.4 MATLAB中的運(yùn)行結(jié)果exponential nail此時(shí)，我們已經(jīng)完成了用MATLAB語(yǔ)言描寫哈密頓量H,我們可以通過eig()函 數(shù)求得它的本征值和本征態(tài)，然而我們最關(guān)心的是基態(tài)(在很大程度上，系統(tǒng) 都處在基態(tài))。MATLAB中，計(jì)算模擬的結(jié)果：L234567E-0.75-1-1.6160-1.9279-2.4936-2.83620L89101112E-3.3749-3.7363-4.2580-4.6321-5.14210physicists注：此圖來(lái)自中國(guó)人民大學(xué)物理系王