淺談中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明方法

1、-PAGE . z.- - - z - 本 科 生 畢 業(yè) 論 文學(xué) 院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù) 學(xué) 與 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 屆 別 2015屆 題 目 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明方法 學(xué)生 徐 亞 娟 學(xué) 號 8 指導(dǎo)教師 吳 萬 勤 教 務(wù) 處 制民族大學(xué)畢業(yè)論文(設(shè)計)原創(chuàng)性聲明本人重聲明：所呈交的畢業(yè)論文(設(shè)計)，是本人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進展研究工作所取得的成果。除論文中已經(jīng)注明引用的容外，本論文沒有抄襲、剽竊他人已經(jīng)發(fā)表的研究成果。本聲明的法律結(jié)果由本人承當。 畢業(yè)論文(設(shè)計)作者簽名： 日 期： 年 月 日關(guān)于畢業(yè)論文(設(shè)計)使用授權(quán)的說明本人完全了解民族大學(xué)有關(guān)保存、使用畢業(yè)

2、論文(設(shè)計)的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保存、送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱，學(xué)?？梢怨颊撐?設(shè)計)的全部或局部容，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文(設(shè)計)。論文在解密后應(yīng)遵守指導(dǎo)教師簽名：論文(設(shè)計)作者簽名：日期： 年 月 日目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc24316 摘 要 PAGEREF _Toc24316 4 HYPERLINK l _Toc25470 引言 PAGEREF _Toc25470 6 HYPERLINK l _Toc5688 1、預(yù)備知識 PAGEREF _Toc5688 6 HYPERLINK l _Toc7029 1.1不等式的

3、概念 PAGEREF _Toc7029 6 HYPERLINK l _Toc22766 1.2不等式的性質(zhì) PAGEREF _Toc22766 6 HYPERLINK l _Toc2213 1.3根本不等式 PAGEREF _Toc2213 7 HYPERLINK l _Toc4625 1.4幾個重要不等式 PAGEREF _Toc4625 7 HYPERLINK l _Toc31047 1.4.1柯西不等式 PAGEREF _Toc31047 7 HYPERLINK l _Toc4516 1.4.2伯努利不等式 PAGEREF _Toc4516 7 HYPERLINK l _Toc5443

4、2、證明不等式的常用方法 PAGEREF _Toc5443 7 HYPERLINK l _Toc16434 2.1比擬法 PAGEREF _Toc16434 8 HYPERLINK l _Toc2606 2.1.1求差法 PAGEREF _Toc2606 8 HYPERLINK l _Toc18256 2.1.2求商法 PAGEREF _Toc18256 8 HYPERLINK l _Toc3156 2.1.3過度比擬法 PAGEREF _Toc3156 8 HYPERLINK l _Toc7933 2.2分析法 PAGEREF _Toc7933 9 HYPERLINK l _Toc32019

5、 2.3綜合法 PAGEREF _Toc32019 9 HYPERLINK l _Toc12048 2.4縮放法 PAGEREF _Toc12048 10 HYPERLINK l _Toc18703 2.4.1放縮法的常見技巧 PAGEREF _Toc18703 10 HYPERLINK l _Toc27932 2.5反推法 PAGEREF _Toc27932 10 HYPERLINK l _Toc25865 2.6數(shù)學(xué)歸納法 PAGEREF _Toc25865 11 HYPERLINK l _Toc25201 2.7反證法 PAGEREF _Toc25201 11 HYPERLINK l _

6、Toc18013 2.7.1反證法的根本思路 PAGEREF _Toc18013 11 HYPERLINK l _Toc8992 2.7.2反證法的步驟 PAGEREF _Toc8992 11 HYPERLINK l _Toc23662 2.8判別式法 PAGEREF _Toc23662 12 HYPERLINK l _Toc17970 2.9等式法 PAGEREF _Toc17970 12 HYPERLINK l _Toc31376 2.10中值定理法 PAGEREF _Toc31376 12 HYPERLINK l _Toc12392 2.11排序法 PAGEREF _Toc12392 1

7、2 HYPERLINK l _Toc24115 2.12分解法 PAGEREF _Toc24115 13 HYPERLINK l _Toc20042 2.13函數(shù)極值法 PAGEREF _Toc20042 13 HYPERLINK l _Toc6994 3 .利用構(gòu)造法證明不等式 PAGEREF _Toc6994 13 HYPERLINK l _Toc32581 3.1構(gòu)造函數(shù)模型 PAGEREF _Toc32581 13 HYPERLINK l _Toc18808 3.1.1構(gòu)造一次函數(shù)模型 PAGEREF _Toc18808 14 HYPERLINK l _Toc17195 3.1.2構(gòu)造

8、二次函數(shù)模型 PAGEREF _Toc17195 14 HYPERLINK l _Toc24027 3.1.3構(gòu)造單調(diào)函數(shù)證明不等式 PAGEREF _Toc24027 14 HYPERLINK l _Toc1115 3.2構(gòu)造復(fù)數(shù)模型 PAGEREF _Toc1115 14 HYPERLINK l _Toc17244 3.3構(gòu)造方程法 PAGEREF _Toc17244 15 HYPERLINK l _Toc27721 4.換元法證明不等式 PAGEREF _Toc27721 15 HYPERLINK l _Toc1896 4.1. 三角換元法 PAGEREF _Toc1896 15 HYP

9、ERLINK l _Toc23883 4.2 均值換元 PAGEREF _Toc23883 16 HYPERLINK l _Toc27411 4.3 幾何換元法 PAGEREF _Toc27411 16 HYPERLINK l _Toc17366 4.4 增量換元法 PAGEREF _Toc17366 17 HYPERLINK l _Toc25064 5.利用著名不等式證明 PAGEREF _Toc25064 17 HYPERLINK l _Toc17039 5.1利用均值不等式 PAGEREF _Toc17039 17 HYPERLINK l _Toc5177 5.2柯西不等式證明法 PAG

10、EREF _Toc5177 18 HYPERLINK l _Toc60965.3利用契比雪夫不等式 PAGEREF _Toc6096 18 HYPERLINK l _Toc26872 5.4利用絕對值不等式 PAGEREF _Toc26872 18 HYPERLINK l _Toc20645 5.5利用重要不等式 PAGEREF _Toc20645 19 HYPERLINK l _Toc31589 總結(jié) PAGEREF _Toc31589 19 HYPERLINK l _Toc15422 參考文獻： PAGEREF _Toc15422 20 HYPERLINK l _Toc17169 致 PA

11、GEREF _Toc17169 21淺談中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明方法 徐亞娟 民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院摘 要在中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式是十分重要的容，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用。因此不等式的應(yīng)用表達了一定的綜合性、靈活多樣性，對數(shù)學(xué)各局部知識融會貫穿，起到了很好的促進作用。在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的構(gòu)造特點、在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明。而不等式的證明，方法靈活多樣，還和很多容結(jié)合，所以具體問題具體分析是證明不等式的精華。不等式的證明問題也是各種思想方法的集中表達，因此難度較大。解決這個問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些根本不等式，靈活運用常用

12、的證明方法。在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法。在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中常用到的方法是：比擬法、作商法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、換元法、換縮法、判別式法、函數(shù)法、幾何法等等。在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)、以及一些證明不等式，如：均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，從而使不等式的證明方法更加的完善，有利于我們進一步探討和研究不等式的證明，通過學(xué)習(xí)這些方法，可以為我們解決一些實際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣?！?】【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；不等式；證明方法；函數(shù)AbstractIn the

13、 middle school inequalities are very important content, penetration in the middle school mathematics branches, has a very wide range of applications. So the inequality reflects the prehensive application, certain fle*ibility and diversity, mastery of mathematics knowledge of each part, played a very

14、 good role in promoting. In solving the problem, according to the questions set structure characteristics, and conclusion inner relation, selection of the appropriate solution, finally go to solve or proof of inequality. But the inequality proof method, fle*ible, and a lot of content bination, so th

15、e concrete analysis of concrete problems is the essence of the proof of inequality. Embodiment of proving inequalities are also all kinds of method of thinking, so difficult. The way to solve this problem is to master the nature of inequality and some basic inequalities, fle*ibility in the use of mo

16、nly used methods of proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Methods in the elementary mathematical proof inequality to the monly used are: the parative method, for mercial, analysis, synthesis method, mathematical induction method, reduction to absurdity, chang

17、e element method, change the shrinkage method, the discriminant method, function method, geometric method and so on .In equality in higher mathematics proof is usually used in the mean value inequality, Taylor formula, Lagrange function, as well as some proof of inequality, such as: mean inequality,

18、 Cauchy inequality, Bernoulli inequality, thus making the method to prove inequality more perfect, is favorable for us to further e*plore and research proof of inequality, through the study of these methods, we can to solve some practical problems, develop logical reasoning ability and abstract thin

19、king ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good learning habits.Keywords:Middle school mathematics；Inequality；The proof method；Function引言眾所周知，在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系，不等關(guān)系是根本的數(shù)學(xué)關(guān)系，在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用。因此，研究不等式的證明方法顯得尤為重要，許多前輩在此領(lǐng)域取得了非常好的成績，得出了許多證明不等式的方法，在他們的成績根底上，本文對各種方法進展了歸納與總結(jié)。證明不等式的方

20、法靈活多樣，容豐富、技巧性較強。所以我們在證明不等式時要依據(jù)題設(shè)、題斷的構(gòu)造特點、在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點。通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是執(zhí)果索因，后者是由因?qū)Ч瑑烧邽闇贤?、?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，到達欲證的目的?！?】通過不等式的根本知識、根本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各局部知識中的應(yīng)用，使數(shù)學(xué)知識間相互融合，得到全面透徹的理解

21、，從而提高分析問題解決問題的能力。在應(yīng)用不等式的根本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意。1、預(yù)備知識1.1不等式的概念用不等號(如 、 、等)連接兩個代數(shù)式而成的式子叫做不等式.其中用或連接的式子叫嚴格不等式；用 或 連接的不等式叫做非嚴格不等式。31.2不等式的性質(zhì)性質(zhì)1:如果ab,bc,則ac.(不等式的傳遞性).性質(zhì)2：如果*y,則y*;如果yy; 性質(zhì)3:如果ab,而c為任意實數(shù)或整數(shù)，則a+cb+c(不等式的可加性). 性質(zhì)4:如果ab,c0,則acbc;性質(zhì)5：如果ab,cd,則a+cb+d. 性質(zhì)6:如果ab0,cd0,則acbd. 性質(zhì)7:如果ab0,n

22、N,n1,則anbn.性質(zhì)8：ab0 1/a 0,則(a+b)/2 ,當且僅當a=b時,等號成立.(3)假設(shè)a,b,cR,則(a+b+c)/3 ,當且僅當a=b=c時，等號成立。 推廣到n個正數(shù)*1,*2,*3,*4,*n,(*1+*2+*3+.+*n )/n 當且僅當 *1=*2=*3=*4=*n時，等號成立。1.4幾個重要不等式1.4.1柯西不等式(1)二維形式 假設(shè)a,b,c,d都是實數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時，等號成立。(2)三角不等式:*1,y1,*2,y2R,則+ (3)柯西不等式的一般形式：設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3b

23、n是實數(shù)，則(a12+a22+a32+an2) (b12+b22+b32+bn2)(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2,當且僅當bi=0(i=1,2,n)或存在一個實數(shù)k使得ai=kbi(i=1,2,n)時，等號成立。1.4.2伯努利不等式對任意整數(shù)n0任意實數(shù)*-1,有(1+*)n1+n*成立；如果n0是偶數(shù)，則不等式對任意實數(shù)*都成立。可以看到在n=0,1或*=0時等號成立，而對任意正整數(shù)n2和任意實數(shù)*-1，*0，有嚴格不等式：(1+*)n1+n*.伯努利不等式的一般式為:(1+*1+*2+*3+*n)(1+*1)(1+*2)(1+*3)(1+*n)當且僅當n=1時等號成立。42

24、、證明不等式的常用方法不等式的證明沒有固定的程序，證法因題而異，靈活多樣，技巧性強，其根本的手法是應(yīng)用定義及其根本性質(zhì)，并通過代數(shù)變換予以論證。52.1比擬法比擬兩個式子的大小,求差法、求商法與過度比擬法都是最根本最常用的方法。2.1.1求差法 理論依據(jù)是不等式的根本性質(zhì)：假設(shè)a-b0,則ab；假設(shè)a-b0,則ab.其一般步驟為：作差：觀察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體；變形：把不等式兩邊的差進展變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為假設(shè)干個因式的乘積，或變形為一個或幾個平方的和，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段。 判斷：根據(jù)條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差

25、的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時。例1求證：*2+33* 證：(*2+3)-3*= *2-3*+(3/2)2-(3/2)2 +3=(*-2/3)2 +3/40*2+33*2.1.2求商法理論依據(jù)：假設(shè)a,bR+,a/b1,則ab；假設(shè)a/b1，則ab.一般步驟為：作商：將左右兩端作商； 變形：化簡商式到最簡形式；判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時。例2假設(shè)a2,求證 (a-1)aa(a+1) 證： a2 a(a-1)0 a(a+1)0(a-1)a/a(a+1)=1/a(a-1)/

26、 a(a+1)=1/a(a-1)a(a+1) a(a-1) a(a+1) a(a-1)+ a(a+1)/22=a(a2-1)2/41故命題得證。說明：觀察不等式的特點，a充當了真數(shù)和底，聯(lián)想到an=1/na,進而用了作商法，作商比擬法的變形主要是利用*些運算性質(zhì)和性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性等。2.1.3過度比擬法假設(shè)要比擬的幾個數(shù)能與*數(shù)相比擬，則可利用這個數(shù)作媒介進展比擬。例3 比擬0.60.5與0.50.6的大小 分析：0.60.5的底數(shù)大于0而小于1，真數(shù)也是大于0而小于1，則0.60.50; 0.50.6也是一個大于0的數(shù)。針對這類體型我們選取的媒介往往是0或1，而這題我們選取介數(shù)1就可以進

27、展比擬了。解：0.60.50.60.6=10.50.6 0.50.5=10.50.60.60.52.2分析法1 .證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否成立的問題。如果能夠肯定這些條件都已成立，則就可以斷定原不等式成立。這種證明方法通常叫做分析法。2. 用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：B B1 B2 B3 Bn A3. 分析法的思想：執(zhí)果索因4. 分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需證明命題B1為真，從而有 這只需要證明命題B2為真，從而又有 這只需要證明命題A為真。而命題A為真，故命題B必為真。例4+ 證：因為+和都是

28、正數(shù) 所以為了證明只需證明(+)2(2)2即可 展開得10+220,即210,2125 因為2125成立，所以(+)2(a-b+c)2 證：左-右=2(ab+bc-ac) a,b,c成等比數(shù)列 b2=aca,b,c都是正數(shù)，所以b0 ，且b=(a+c)/2b 2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)0 a2+b2+c2(a-b+c)2說明：此題在證明過程中應(yīng)用了比擬法、根本不等式、等比中項性質(zhì)，表達了綜合法證明不等式的特點。2.4縮放法 所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進展合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的度，否則就不能同向傳遞

29、了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。2.4.1放縮法的常見技巧1舍掉或加進一些項。2在分式中放大或縮小分子或分母。3應(yīng)用根本不等式放縮。4應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進展放縮。5根據(jù)題目條件進展放縮。例6求證：1/12+1/22+1/32+1/42+1/n22 證：1/n21/n(n-1)=1/(n-1)-1/n 1/12+1/22+1/32+1/42+1/n21+1-1/2+1/2-1/3+1/3+1/(n-1) - 1/n=2-1/n22.5反推法前面講的方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，有題設(shè)出發(fā)，經(jīng)一系列的邏輯推理，得到要證的結(jié)果。但對于一些復(fù)雜的不等式，有

30、時就難于直接入手得證，可以用間接的方法。常用的方法有反推法與反證法。所謂反推法就是先假定要證的結(jié)果。假設(shè)要證的不等式是成立的，然后由它出發(fā)推出一系列與之等價的不等式即要求推理過程的每一步可逆，直到得到一個較容易證明的不等式或者一個明顯成立的不等式。由于等價性，從最后的不等式成立，得知原不等式成立。這就是通常所說的分析法。其特點和思路是執(zhí)果索因，即從未知看需知，逐步靠攏。例7 a,b是不相等的正實數(shù)，且a3-b3=a2-b2,求證：1a+b0,b0, ab,且a3-b3=a2-b2即 (a-b)(a2+ab+b2)=(a+b)(a-b)a2+ab+b2=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2a2

31、+ab+b2=a+ba+b1 a+b4/3 3(a+b)4 3(a+b)24(a+b) 3(a2+2ab+b2)0 (a-b)20 而(a-b)0一定成立，故a+b3/4 綜上所述1a+b4/3。2.6數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的典型類型有兩類，一類是與數(shù)列或數(shù)列求和有關(guān)的問題，另一類是函數(shù)迭代問題。但凡與數(shù)列或數(shù)列求和有關(guān)的問題都可統(tǒng)一表述成f(n)-1時，不等式(1+*)n1+n*(n為自然數(shù))成立，當且僅當*=0,式中取等號。 證：當n=1時，(1+*)1 =1+*,當n=2時, (1+*)2 =1+2*+*21+2*,設(shè)當n=k時，不等式成立，即有(1+*) k1+k*,則當n=1

32、+k時，1+*0(1+*)1+k=(1+*)(1+*)k1+*(1+k*)=1+(1+k)* + k*21+(1+k)*(1+*)n1+n*.顯然在n1時，當且僅當*=0時取等號。2.7反證法反證法的證題模式可以簡要的概括為否認 推理 否認。即從否認結(jié)論開場，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，到達新的否認。2.7.1反證法的根本思路 否認之否認2.7.2反證法的步驟 否認結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立. 具體步驟：1反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； 2歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推導(dǎo)出矛盾； 3結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。例9 設(shè)a3+b3=2,求證a+b2。 證：假設(shè)

33、a+b2,則有a2-b a38-12b+6b2-b3 a3+b36b2-12b+8=6(b-1)2+2 6(b-1)2+22,從而a3+b32,這與題設(shè)條件a3+b3=2矛盾。 原命題得證。2.8判別式法判別式法是根據(jù)的或構(gòu)造出來的一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證明的不等式的方法。例10設(shè)*,yR,且*2+y2=1,求證 ：y-a* 證明：設(shè)m=y-a*,則y=a* + m 代入*2+y2=1中得*2+(a*+m)2=1,即(1+a2)*2+2am*+(m2-1)=0*,yR,1+a20 0,即(2am)2-4(1+

34、a2)(m2-1)0 解得m 故y-a*2.9等式法應(yīng)用一系列的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的性質(zhì)。6 例11 a,b,c為 ABC的三邊長，求證：2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4 證明：由海倫公式 S ABC =,其中p=1/2(a+b+c) 兩邊平方，移項整理得16(S ABC)2=2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4 而S ABC0,所以2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c42.10中值定理法 利用中值定理：f(*)是在區(qū)間a,b上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在，an(-1)證明：1+1/2+1/3+1/n=(1+1)+(1/2

35、+1)+(1/3+1)+(1/n+1) -n =2+3/2+4/3+(n+1)/n - nn-n =n- n 1+1/2+1/3+1/nn(-1)2.13函數(shù)極值法通過變換，把*些問題歸納為求函數(shù)的極值，到達證明不等式的目的。例15 設(shè)*R,求證：-4cos2*+3sin*17/8證明：f(*)=cos2*+3sin*=1-2sin2*+3sin*=-2(sin*-3/4)2+17/8 當sin*=3/4時，f(*)取最大值17/8； 當sin*=-1時，f(*)取最小值-4； 故-4cos2*+3sin*17/8.3 .利用構(gòu)造法證明不等式構(gòu)造法是通過一定的數(shù)學(xué)模型來完成解題的一種方法。倘假

36、設(shè)充分地挖掘題設(shè)與結(jié)論的在聯(lián)系，把問題與*個熟知的概念、公式、定理、圖形結(jié)合起來，并恰當?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)模型，就可以得到富有新意的獨特解法。利用構(gòu)造法解題，不僅構(gòu)思精巧，形式優(yōu)美，過程簡單，而且極富思維的靈活性和創(chuàng)造性。73.1構(gòu)造函數(shù)模型 函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，一些本身無明顯函數(shù)關(guān)系的問題，通過類化、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，合理構(gòu)造一個函數(shù)，使原不等式的左右兩邊是這個函數(shù)在其中一個單調(diào)區(qū)間上的兩個值，就可以利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式或構(gòu)造一個函數(shù)，再利用函數(shù)的奇偶性證明不等式。例1假設(shè)0a1/k(k2,kN*),且a2a-b,則b1/(k+1). 證：令f(a)=a-a2,又0a1/k1/2,f(a)

37、在(0,1/2)上單調(diào)遞增ba-a2f(1/k)=1/k-1/k2=(k-1)/k2(k-1)/(k2-1)=1/(k+1)構(gòu)造一次函數(shù)模型例2 設(shè)0*1,0y1,0z1,求證：*(1-y)+y(1-z)+z(1-*)1證明：令f(*)= *(1-y)+y(1-z)+z(1-*),整理得 f(*)= (1yz)*(yzyz), 其中0*1 0*1,0y1,0z1 -11-y-z1 (1)當01-y-z1時，f(*)在0,1上是增函數(shù)于是f(*)f(1)=1-yz1(2)當-11-y-z0時，f(*)在(0,1)上是減函數(shù)于是f(*)f(0)=y+z-yz=1-(1-y)(1-z)1(3)當1-

38、y-z=0,即y+z=1時，f(*)=y+z-yz=1-yz0又二次項系數(shù)為正數(shù)， =4(abcd)216(a2b2c2d2)=4(8e)216(16e2)0，解之得0e16/5故不等式成立.3.1.3構(gòu)造單調(diào)函數(shù)證明不等式 例4 a0,b0,求證：a/(1+a)+b/(1+b)(a+b)/(1+a+b) 證明：令f(*)=*/(1+*) 易證f(*)=*/(1+*)=1-1/(1+*) 當*0時單調(diào)遞增 a+b+aba+b0 f(a+b+ab)f(a+b) 故a/(1+a)+b/(1+b)=(a+b+2ab)/(1+a)(1+b)(a+b+ab)/(1+a+b+ab)= f(a+b+ab)f

39、(a+b)=a+b/(1+a+b).3.2構(gòu)造復(fù)數(shù)模型假設(shè)證明的結(jié)論為幾個根式相加的和與一個常數(shù)比擬大小，每個根式中的自變量都一樣且為和的形式，這時我們可以用構(gòu)造復(fù)數(shù)或在坐標軸中構(gòu)造圖形的方法來證明。例5 ：*2+y21,a2+b22 , b(*2-y2)+2a*y 證：構(gòu)造復(fù)數(shù)法依題設(shè)，構(gòu)造復(fù)數(shù)z1=*+yi,z2=a+bi,則z11,z22z12z2=(*+yi)2(a+bi)=a(*2-y2)-2b*y+b(*2-y2)+2a*yib(*2-y2)+2a*y =Im(z12z2) z1 2z2故b(*2-y2)+2a*y3.3構(gòu)造方程法根據(jù)所給不等式的特征，由根和系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造出一元二次

40、方程，再由判別式或根的特點證明不等式。例6實數(shù)a,b,c,滿足a+b+c=0和abc=2,求證a,b,c中至少有一個不小于2. 證：由題設(shè)顯然a,b,c中必有一個正數(shù) 不妨設(shè)a0,則 b+c= -a 即b,c是二次方程*+a*+2/a=0的兩個實根。 bc=2/a =a2 -8/a0 a24.換元法證明不等式換元法是指對構(gòu)造比擬復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不太直觀的命題，通過恰當引入新的變量，來代換原命題中的局部式子，通過代換到達減元的目的，以到達簡化構(gòu)造、便于研究的形式。解不等式題時，把*個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理

41、論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛，常采用的方法有：三角換元法、均值換元法、幾何換元法及增量換元法。84.1. 三角換元法把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決。 例1 a,bR，且a2+b21，求證：a2+2ab-b2 證明：設(shè)a=rcos,b=rsin，其中r1,0,2 QUOTE ) 則a2+2ab-b2=r2cos2+2r2cossin-r2sin =r2cos2+r2sin2 =r2sin(2+ QUOTE /4) a2+2ab-b2 原不等式得證。

42、4.2 均值換元使用均值換元法能到達減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。 例2 a,bR,且a+b=1，求證：(a+2)2+(b+2)225/2 證明：因為a,bR,且a+b=1 所以設(shè)a=1/2+t,b=1/2-t(tR) 則：(a+2)2+(b+2)2=(1/2+t+2)2+(1/2-t+2)2 =(5/2+t)2 +(5/2-t)2 =25/2+t225/2 即(a+2)2+(b+2)225/2原不等式得證。4.3 幾何換元法在ABC中，AB=c，BC=a,CA=b切圓交AB、BC、CA分別于D、E、F，如圖，則可設(shè)a=*+y,b=y+z,c=z+*，其中*0，y0,z0。幾何換元法能到

43、達利用等式反映出三角形任意兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系的成效。9 例3 設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證：a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)3 證明：設(shè)a=*+y,b=y+z,c=*+z，其中*,y,z0 則a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c) =*+y/2z+(y+z)/2*+(*+z)/2y =1/2(*/z+z/*)+(y/z+z/y)+(y/*+*/y) =3 原不等式得證。4.4 增量換元法假設(shè)一變量在*一常量附近變化時，可設(shè)這一變量為該常量加上另一個變量。 例4 a2,b2，求證：a+b0,n0 則a+b-ab=2+m+2+n-(2+m)

44、(2+n) =4+m+n-4-2n-2m-mn =-m-n-mn0故a+bab5.利用著名不等式證明5.1利用均值不等式 均值不等式：設(shè)a1,a2,a3,an是n個正實數(shù)，記Hn = n/(1/a1+1/a2+1/an) G n=An=(a1+a2+an)/n Qnn=它們分別稱為n個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù),幾何平均數(shù)，算數(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)，有如下關(guān)系：HnGnAnQn ,等號成立的條件是a1=a2=a3=an.10 例1設(shè)a,b,c,d為正實數(shù)，且滿足ac+bc+cd+da=1，求證：a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(b+a+d)+d3/(a+b+c)1/3 證明：由均值不等式

45、得：a3/(b+c+d)+(b+c+d)/18+1/12=a/2 從而 a3/(b+c+d)a/2-(b+c+d)/18-1/12 同理 b3/(a+c+d)b/2-(a+c+d)/18-1/12c3/(b+a+d)c/2-(a+b+d)/18-1/12 d3/(a+b+c)d/2-(a+b+c)/18-1/12各式相加得：a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(b+a+d)+d3/(a+b+c)(a+b+c+d-1)/3又由題設(shè)ac+bc+cd+da=(a+c)(b+d)=1得a+b+c+d=a+c+1/(a+c)2代入上式得a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(b

46、+a+d)+d3/(a+b+c)(a+b+c+d-1)/3 (2-1)/3=1/3故原命題得證。5.2柯西不等式證明法柯西不等式是求*些函數(shù)最值和證明*些不等式時經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。Cauchy不等式的形式化寫法就是：(aibi)2(ai2)(bi2)11例2設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)9/(a+b+c)分析：a、b、c均為正數(shù)為證結(jié)論正確只需證：2(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)證明：2(a+

47、b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)=(a+b)+(a+c)+(b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b、c各不相等，故等號不能成立原不等式成立5.3利用契比雪夫不等式設(shè)a1, a2, a3, an,b1,b2,b3,bnR, 且a1 a2 an ,b1 b2 b3 bn,則aibin(aibi) 例3 0abcde,a+b+c+d+e=1,求證：ad+cd+cb+be+ea1/5. 證明：注意到2(ad+cd+cb+be+ea)=a(d+e)+b(c+e)+c(b+d)+d(a+c)+e(a+b) abcde d+ec+eb+da+ca+b 由契比雪夫不等式得：a(d+e)+b(c+e)+c(b+d)+d(a+c)+e(a+b)1/5(a+b+c+d+e)(d+e+c+e+b+d+a+c+a+b)2/5(a+b+c+d+e)2=2/5 故ad+cd+cb+be+ea1/55.4利用絕