一階線性微分方程第二節(jié)一階微分方程

1、第二節(jié)一階微分方程本節(jié)介紹幾種常用的一階微分的解法。,一，可分離變量的微分方程：形如_dy_=f(x) g(y)的微分方程，稱為可分離變量的微分方程。d(y)解法如下：1分離變量，即-dy-=f(x)dxg(y).兩邊積分，即可求得通解，dy = f(x)dx+c g(y).化簡，整理，即可。例1求微分方程dy = I的通解。解：分離變量，得dy = - dxy x兩邊積分，得 ln|y|二ln|x|+lnC 1 (Ci0)整理，得y= Cix (令C= Ci)= C1x (C1為不為零的常數(shù))在y=Cx中若令C =0,得y=0.將y=0代入原方程，方程兩邊相等，故 y=0也是該方程的解。因此

2、，原方程的通解為：y=Cx(C為任意數(shù))注：把y=0稱為該方程的補解。例2求微分方程dy=2x y，滿足y|x=o = 1的特解。 dx解：分離變量，得dy = 2 x dxy兩邊積分，得 lny=x2+ C1整理，得 y=CqX2 (C R)e將y|x=0= 1代入上式，得 C=1因此，所求特解為：y= ex2例3,求微分方程dx+xydy=y 2dx+ydy滿足初始方程條件 y(0)=2的特解。解：方程變形為：y(x-1)dy=( y 2-1)dx分離變量，得 y dy= dxy2 1 x 1兩邊積分，得 1 ln(y2-1)=ln(x-1)+ lnC( C為任意常數(shù)) 22整理，得 y2

3、=C(x-1)2+1將y(o)=2代入上式，得C = 3所求特解為：y2= 3 (x 1)2+1例4 ,求 dy = + -y的通解。dx x e解，該方程不是可分離變量的微分方程，但可通過換之，將其它的可分離變量的微分方程。令u= 丫即y=ux 于是dy = u+x 叫xdx dx代入原方程，得u+x du-=eu+udxdux=edx分離變量，得e-udu=1 dx x兩邊積分，得C eu= lnx將u= y代入上式，得原方程的通解為：xlnx=C三(隱式解)ex注：說明齊次微分方和的解法。.階線性微分方程。形如dy + P(x)y=Q(x)的微分方程，稱為一階線性微分方程. 特別地，當Q

4、(x)=O時，出+ P(x)y= 0 ,稱為一階線性齊次微分方程。. dy + P(x)y= 0的解法：(分離變量)分離變量，得dy = P(x)dxy兩邊積分，得 lny= P( x) dx + In C1整理，得y=CP(x)dx (C R ), dy + P(x)y=Q(x)的通解公式：y=c(x) e p(x)dx = Q(x)eP(x)dxdx+C e P(x)dx(常數(shù)變量法)例1 ,例1 , 求微分方程dy + 2 xy=2xx2的通解。dxe解：這是P (x)=2x, Q(x)= 2xx2的一階線性非齊次微分方程e由通解公式，得：p(x)dxp(x)dxy Q(x)e dx C

5、ex2 2xdx2xdx2xe e dx C e22xdx Cex2x2(x2 C)ex解2 (常數(shù)變量法)1) 先求dy 2xy 0的通解 dx曳 2xdx , lny=- x2 +ln C1 yy= Ce x2 (C R)2) 設(shè)dy 2xy 2xex2的通解為： dx 2 -一 、y C(x)ex代入萬程則：y C(x)ex2 2xC(x)e x2得 C(x) 2x c(x)= x2 + c原方程的通解為：y=( x2 +C) e x2例2. 例2. 求方程gy y tan x secx滿足初始條件 y|x= =-1的特解。dx解：這是方程p(x)=-tanx. Q(x)=secx的一階線性非齊次微分方程，其通解為:tan xdxtan xdxy secxe dx