導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點問題解題方法歸納

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)導(dǎo)函數(shù)零點問題一方法綜述導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，其核心又是由導(dǎo)數(shù)值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)或研究不等式問題時，繞不開研究的單調(diào)性，往往需要解方程.若該方程不易求解時，如何繼續(xù)解題呢？在前面專題中介紹的“分離參數(shù)法”、“構(gòu)造函數(shù)法”等常見方法的基礎(chǔ)上，本專題舉例說明“三招”妙解導(dǎo)函數(shù)零點問題.二解題策略類型一 察“言”觀“色”，“猜”出零點【例1】【2020福建南平期末】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在有兩個零點，求m的取值范圍.【

2、分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)因式分解為，再對參數(shù)分類討論可得；（2）依題意可得，當(dāng)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，不滿足條件；當(dāng)時，由（1）得在為增函數(shù)，因為，.再對，三種情況討論可得.【解析】（1）因為，所以，即.由，得，.當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故在為增函數(shù).當(dāng)時，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).當(dāng)時，由得或，由得；所以在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).綜上，當(dāng)時，在為增函數(shù)；當(dāng)時，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)；當(dāng)時，在，為增函數(shù)，在為減函數(shù).（2）因為，所以，當(dāng)時，在為增函數(shù)，所以在至多一個零點.當(dāng)時，由（1）得在為增函數(shù).因為，.（）當(dāng)時，時，時，；所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，.故在有

3、且只有一個零點.（）當(dāng)時，使得，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).所以，又，根據(jù)零點存在性定理，在有且只有一個零點.又在上有且只有一個零點0.故當(dāng)時，在有兩個零點.（）當(dāng)時，使得，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).因為在有且只有一個零點0，若在有兩個零點，則在有且只有一個零點.又，所以即，所以，即當(dāng)時在有兩個零點.綜上，m的取值范圍為【指點迷津】1.由于導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)，無法利用解方程的方法，可以在觀察方程結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上大膽猜測.一般地，當(dāng)所求的導(dǎo)函數(shù)解析式中出現(xiàn)時，常猜x1；當(dāng)函數(shù)解析式中出現(xiàn)ex時，常猜x0或x.2.例題解析中靈活應(yīng)用了分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法【舉一反三】【2020山西呂梁期末】已知函數(shù).（1

4、）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若且有兩個零點，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域為，對于，當(dāng)時，則在上是增函數(shù).當(dāng)時，對于，有，則在上是增函數(shù).當(dāng)時，令，得或，令，得，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).綜上，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）由已知可得，因為，所以，而，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.所以.故有兩個零點，等價于=在內(nèi)有兩個零點.等價于有兩根，顯然不是方程的根，因此原方程可化為，設(shè)，由解得，或由解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.其圖像如下所示：所以，所以，所以.類型二 設(shè)而不求，巧“借”零點【例2】【2015高考新課標(biāo)1，文21】設(shè)函數(shù).（ = 1 *

5、ROMAN I）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；（ = 2 * ROMAN II）證明：當(dāng)時.【解析】（ = 1 * ROMAN I）的定義域為，.當(dāng)時,，沒有零點；當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時，,故當(dāng)時，存在唯一零點.（ = 2 * ROMAN II）由（ = 1 * ROMAN I），可設(shè)在的唯一零點為，當(dāng)時，;當(dāng)時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時，.【指點迷津】本例第(2)問的解題思路是求函數(shù)的最值因此需要求的根但是的根無法求解故設(shè)出的根為，通過證明f(x)在(0，)和(，)上的單調(diào)性知，進(jìn)而利用基本不等式證得結(jié)

6、論，其解法類似解析幾何中的“設(shè)而不求”【舉一反三】【2020江西贛州期末】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）在點的切線方程為.（1）求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式對于任意恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）令，則，得：，由題得：（2）根據(jù)題意，要證不等式對于任意恒成立，即證時，的最小值大于，令，記，當(dāng)時，；當(dāng)時，故即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，故存在唯一，使，故當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以一方面：另一方面：由，即，得由得：，進(jìn)而，所以 ，又因為是整數(shù)，所以，即.類型三 二次構(gòu)造（求導(dǎo)），避免求根【例3】【2020重慶巴蜀中學(xué)月考】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間

7、；（2）若，且在上有唯一的零點，求證：.【分析】（1）求出，令，解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）通過求的導(dǎo)函數(shù)，可得在上有兩個極值點，設(shè)為，又由在上有唯一的零點可得，所以有，消去，可得，記，研究其單調(diào)性，利用零點存在性定理可得結(jié)果.【解析】（1）由已知的定義域為，當(dāng)時，則，令且，則，故在上單調(diào)遞增；（2）由，有，記，由，有，即在上有兩個極值點，設(shè)為，不妨設(shè)，且，是的兩個根，則，又在上有唯一的零點，且當(dāng)時，當(dāng)時，所以得，所以，兩式結(jié)合消去，得，即，記，有，其在上單調(diào)遞增，所以則在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，又，由零點存在定理，.【指點迷津】當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點不易求時，可以通過進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)，

8、即通過“二次求導(dǎo)”，避免解方程而使問題得解.如上面例題，從題目形式來看，是極其常規(guī)的一道導(dǎo)數(shù)考題，第(3)問要求參數(shù)b的范圍問題，實際上是求g(x)x(xx2)極值問題，問題是g(x)12x3x20這個方程求解不易，這時我們可以嘗試對h(x)g(x)再一次求導(dǎo)并解決問題所以當(dāng)導(dǎo)數(shù)值等于0這個方程求解有困難，考慮用二次求導(dǎo)嘗試不失為一種妙法這種方法適用于研究函數(shù)的單調(diào)性、確定極（最）值及其相關(guān)參數(shù)范圍、證明不等式等.【舉一反三】【2020云南昆明一中期末】已知函數(shù)，且.（1）求；（2）證明：存在唯一極大值點，且.【解析】（1）因為,且,所以,構(gòu)造函數(shù),則,又,若,則,則在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時,矛盾

9、,舍去；若,則,則當(dāng)時,則在上單調(diào)遞增,則矛盾,舍去；若,則,則當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減,則矛盾,舍去；若,則當(dāng)時,當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,則,滿足題意；綜上所述,.（2）證明:由（1）可知,則,構(gòu)造函數(shù),則,又在上單調(diào)遞增,且,故當(dāng)時,當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,又,結(jié)合零點存在性定理知,在區(qū)間存在唯一實數(shù),使得,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故存在唯一極大值點,因為,所以,故,因為,所以.三強(qiáng)化訓(xùn)練1.【2020安徽合肥二中月考】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）（是自然對數(shù)的底數(shù)）A6B5C4D3【答案】B【解析】時，是增函數(shù)，時，顯然，

10、由，作出和的圖象，如圖，是增函數(shù)，在是減函數(shù)它們有一個交點，設(shè)交點橫坐標(biāo)為，易得，在時，時，所以在上遞減，在上遞增，是的極小值，也是在時的最小值，即，時，時，作出的大致圖象，作直線，如圖，時與的圖象有兩個交點，即有兩個解，時，由得，而時，所以直線與在處相切即時方程有一個解，令，則，由上討論知方程有三個解：()而有一個解，和都有兩個解，所以有5個解，即函數(shù)有5個零點故選B2【2020江蘇鹽城期中】已知函數(shù)，若函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】 函數(shù)，若函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間即0有兩個不等實根，即有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為y=a與y=的圖像有兩個不同的交點令，即x=，即y=在（

11、0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增。ymin=-，當(dāng)x（0，）時，y0，所以a的范圍為3.【2020重慶八中月考】己知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）討論的零點的個數(shù).【解析】（1）的定義域為，則在上單調(diào)遞增又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為故的極小值為，無極大值（2）當(dāng)時，由（1）知故僅有一個零點；當(dāng)時，令；令，所以在上單調(diào)遞增；令，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，最小值與0的比較等價于與0的大小比較，所以分三類進(jìn)行討論：當(dāng)時，即時，由在上單調(diào)遞減及在上單調(diào)遞增，且，由零點存在定理，得在上存在唯一零點，設(shè)為所以000遞增極大值遞減極小值遞增又及由零點存在定理，

12、得在上存在唯一零點，設(shè)為，綜上，當(dāng)時，在上存在2個零點（一個為，一個為）；當(dāng)時，即時，由在上單調(diào)遞減及在上單調(diào)遞增，且，得在上單調(diào)遞增，故在上只有一個零點；當(dāng)時，同理可得在上存在2個零點：一個為，一個為綜上可得，當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)且時，有2個零點.4.【2020河南南陽期末】已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若的圖象與直線交于，兩點，且，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)依題意，.若，則，故在上單調(diào)遞減若，令，解得或.（i）若，則，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；（ii）若，則，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，

13、在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)令，則由題意可知有兩個大于1的實數(shù)根，顯然.令，則.若，則當(dāng)時，當(dāng)時，要滿足已知條件，必有此時無解；若，則當(dāng)時，當(dāng)時，要滿足已知條件，必有解得.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有一個零點.易知，且，下證：.令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，故，即，故，故，又在上單調(diào)遞增，故在上有一個零點.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為.5.【2020遼寧實驗中學(xué)高三期中】已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若（i）證明恰有兩個零點；（ii）設(shè)為的極值點，為的零點，且證明：.【解析】(1),因此,在和上單調(diào)遞增;(2)(i),對求導(dǎo)得,當(dāng)時,則;當(dāng)時,令則在上單調(diào)遞增,而,故存在,使,即,且在上,

14、在上,因此,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,又,則,而,(注:取值不唯一)恰有兩個零點;(ii)為的極值點,為的零點,且,故由(i)可知,并且有,則,因此,即,而當(dāng)時,下面證明此結(jié)論:令,求導(dǎo)得,則在上時,;在上時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此,所以,當(dāng)時,那么對于有,可得,而,即.6.【2020哈爾濱呼蘭一中期末】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍【解析】（1），. 當(dāng)時，,的情況如下表：20極小值所以，當(dāng)時，函數(shù)的極小值為. （2）. 當(dāng)時，的情況如下表：20極小值因為F(1)=10, 若使函數(shù)F(x)沒有零點，需且僅需，解得, 所以此時；

15、10分當(dāng)時，的情況如下表：20極大值因為,且，所以此時函數(shù)總存在零點. （或：當(dāng)時，當(dāng)時，令即由于令得，即時，即時存在零點.）綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是.7.【2020廣東深圳高三入學(xué)摸底】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極小值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求證：.【解析】（1）.當(dāng)時，在上為增函數(shù)，函數(shù)無極小值；當(dāng)時，令，解得.若，則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.故函數(shù)的極小值為.（2）證明：由題可知.要證，即證，不妨設(shè)，只需證，令，即證，要證，只需證，令，只需證，在內(nèi)為增函數(shù)，故，成立.所以原命題成立.8.【2020江蘇南通一中月考】已知函數(shù)，.(1)求的極值；(2)若對任意的，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)

16、的最大值；(3)若函數(shù)恰有兩個不相等的零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，令，得.列表如下：10極小值，的極小值為，無極大值.(2)，由(1)可知等價于，即.設(shè)，則在為增函數(shù).在恒成立.恒成立.設(shè)，在上恒成立為增函數(shù).在上的最小值為.，的最大值為.(3)當(dāng)時，當(dāng)和時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減所以的極大值為所以函數(shù)至多一個零點當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，當(dāng)和時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減所以的極大值為的極小值為所以函數(shù)至多有一個零點.當(dāng)時，當(dāng)，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減所以：當(dāng)時，即時，函數(shù)至多一個零點.：當(dāng)時，所以存在，所以函數(shù)在上有唯一的零點.又所以函數(shù)在上有唯一的零點.綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.9.【2020山東泰安一中期末】設(shè)函數(shù)， (1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)， 時，求證： . 【解析】(1)函數(shù)的定義域為，當(dāng)時， ，令： ，得： 或，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為： ， .，得： ，所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為， .(2)若證， 成立，只需證： ，即： 當(dāng)時成立.設(shè)