計(jì)算工具的發(fā)展

1、計(jì)算工具的發(fā)展計(jì)算工具Calculating Devices 是計(jì)算時(shí)所用的器具或輔助計(jì)算的實(shí)物。 人們從數(shù)學(xué)產(chǎn)生之日，便不斷尋求能方便進(jìn)行和加速計(jì)算的工具。因此，計(jì)算 和計(jì)算工具是息息相關(guān)的。由于時(shí)代的限制，不發(fā)達(dá)的交通阻礙了東西方文化的交流。因此計(jì)算工具 在東西方的發(fā)展也相對(duì)獨(dú)立。計(jì)算工具在東方的發(fā)展基本是中國(guó)計(jì)算工具的發(fā) 展中國(guó)古代最早的記數(shù)方法是結(jié)繩。所謂結(jié)繩記數(shù)，就是在一根繩子上打結(jié)來(lái) 表示事物的多少。比結(jié)繩記數(shù)稍晚一些，古代的先民又發(fā)明了契刻記數(shù)的方法， 即在骨片、木片或竹片上用刀刻上口子，以此來(lái)表示數(shù)目的多少。在中國(guó)歷史上，結(jié)繩記數(shù)和契刻記數(shù)的方法大約使用了幾千年時(shí)間，到新 石器

2、時(shí)代的晚期，才逐漸地被數(shù)字符號(hào)和文字記數(shù)所代替。最晚到商朝時(shí)，我 國(guó)古代已經(jīng)有了比較完備的文字系統(tǒng)，同時(shí)也有了比較完備的文字記數(shù)系統(tǒng)。 在商代的甲骨文中，已經(jīng)有了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、 千、萬(wàn)這13個(gè)記數(shù)單字，而有了這13個(gè)記數(shù)單字，就可以記錄十萬(wàn)以?xún)?nèi)的 任何自然數(shù)。中國(guó)春秋時(shí)代就出現(xiàn)了”算籌”根據(jù)史書(shū)的記載和考古材料的發(fā) 現(xiàn)，古代的算籌實(shí)際上是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，一般長(zhǎng)為13-14cm， 徑粗0.20.3cm，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制 成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個(gè)布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要 記數(shù)和計(jì)算的時(shí)候，就把它們?nèi)〕?/p>

3、來(lái)，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。別看 這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上它們卻是立有大功的。在算籌計(jì)數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來(lái)表示單位數(shù)目的，其中1-5均分 別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來(lái)表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的 算籌來(lái)表示。表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用 橫式，以此類(lèi)推，遇零則置空。這種計(jì)數(shù)法遵循十進(jìn)位制。那么為什幺又要有 縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因?yàn)槭M(jìn)位制的需要了。按照中國(guó)古代 的籌算規(guī)則，算籌記數(shù)的表示方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位再用縱 式，千位再用橫式，萬(wàn)位再用縱式這樣從右到左，縱橫相間，以此類(lèi)推， 就可以用

4、算籌表示出任意大的自然數(shù)了。由于它位與位之間的縱橫變換，且每 一位都有固定的擺法，所以既不會(huì)混淆，也不會(huì)錯(cuò)位。算籌的出現(xiàn)年代已經(jīng)不可考，但據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn) 國(guó)初年（公元前722年公元前221年），一直到算盤(pán)發(fā)明推廣之前都是中國(guó)最 重要的計(jì)算工具。人們發(fā)明了算盤(pán)，并在15世紀(jì)得到普遍采用，取代了算籌。 它是在算籌基礎(chǔ)上發(fā)明的，比算籌更加方便實(shí)用，同時(shí)還把算法口訣化，從而 加快了計(jì)算速度。古代算籌記數(shù)的擺法縱 式II III IIIIIIIIITT1nn橫_一一11式MM 1| 23456789算盤(pán)是一種計(jì)算工具，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前廣為使用的計(jì)算工具?，F(xiàn)存的算盤(pán) 形狀不一、材質(zhì)

5、各異。一般的算盤(pán)多為木制（或塑料制品），矩形木框內(nèi)排列一 串串等數(shù)目的算珠，中有一道橫梁把珠分隔上下兩部分，上部代每算珠代表5, 下半部代表1，其形式有二：-上半部?jī)伤阒椤⑾掳氩课逅阒辏▊鹘y(tǒng)“一斤十六兩”進(jìn)制）-上半部一算珠，下半部四算株（才會(huì)使用十進(jìn)制）用算盤(pán)計(jì)算稱(chēng)珠算，珠算有對(duì)應(yīng)四則運(yùn)算的相應(yīng)法則，統(tǒng)稱(chēng)珠算法則。相對(duì)一 般運(yùn)算來(lái)看，熟練的珠算不遜于計(jì)數(shù)機(jī)，尤其在加減法方面。根據(jù)珠算演變而來(lái)的珠心算成了速算技術(shù)的一種。中國(guó)算盤(pán)是從算籌發(fā)展而來(lái)的。隨著手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展，數(shù)學(xué)計(jì)算日益復(fù)雜， 撥珠的速度遠(yuǎn)比擺算籌方便快捷多了，于是人們發(fā)明了珠算。漢末三國(guó)時(shí)期徐 岳撰的數(shù)術(shù)記遺中有述：“珠算，控帶

6、四時(shí)，經(jīng)緯三才”，這是對(duì)珠算的最 早的文字記載。最早的算盤(pán)圖見(jiàn)北宋畫(huà)家張擇端（1085-1145）的清明上河圖長(zhǎng)卷，卷左趙太丞家 藥鋪柜臺(tái)上帳本左手左邊，有一個(gè)15檔算盤(pán)珠算盤(pán)是中國(guó)首創(chuàng)的，并流傳到了朝鮮、日本、越南等亞洲國(guó)家，后來(lái)又經(jīng)一 此商旅傳到了西方。算盤(pán)一類(lèi)的計(jì)算工具很多文明古國(guó)都出現(xiàn)過(guò)，例如古羅馬算盤(pán)沒(méi)有位值概念， 被淘汰，俄羅斯算每柱十個(gè)算珠，計(jì)算麻煩?，F(xiàn)在很多國(guó)家流行的是中國(guó)式的 算盤(pán)。指法 算盤(pán)一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數(shù)非常熟練的人五個(gè)手指都用 上的），三個(gè)手指的基本分工是：-拇指撥下珠向上靠梁。-食指撥下珠向下離梁。-中指撥上珠靠梁和離梁。至于上一下四的算盤(pán)、兩

7、個(gè)手指的基本分工是：-食指撥上珠向下靠梁。-食指撥上珠向上離梁。-食指撥下珠向下離梁。-拇指撥下珠向上靠梁。乘法口訣就是“九九歌”，同時(shí)要結(jié)合加法進(jìn)行計(jì)算。除法口訣可以是“九九歌”，同時(shí)結(jié)合減法計(jì)算。別有源自籌算的“九歸訣”如下：二一添作五，逢二進(jìn)一；三一三一，三二六十二，逢三進(jìn)一；四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進(jìn)一；五一添作二，五二添作四，五三添作六，五四添作八，逢五進(jìn)一。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進(jìn)一;七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十 四，逢七進(jìn)一；八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八六七十四

8、，八五六十 二，八七八十六，逢八進(jìn)一；九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加 六，九七下加七，九八下加八，逢九進(jìn)一。撞歸口訣撞一:見(jiàn)一無(wú)除作九一；-撞二:見(jiàn)二無(wú)除作九二；撞三:見(jiàn)三無(wú)除作九三；撞四:見(jiàn)四無(wú)除作九四； 撞五:見(jiàn)五無(wú)除作九五；撞六:見(jiàn)六無(wú)除作九六；撞七:見(jiàn)七無(wú)除作九七；撞八:見(jiàn)八無(wú)除作九八；撞九:見(jiàn)九無(wú)除作九九;有的文明古國(guó)也出現(xiàn)過(guò)算盤(pán)一類(lèi)的計(jì)算工具，有的國(guó)家從中國(guó)傳入算盤(pán)以后, 對(duì)算盤(pán)的形態(tài)作了改變。羅馬算盤(pán)古羅馬曾出現(xiàn)過(guò)一種帶槽的金屬算盤(pán)，槽中放著石子，上下移動(dòng)石子進(jìn)行計(jì) 算。當(dāng)時(shí)羅馬人不用十進(jìn)制，也沒(méi)有數(shù)位的概念，羅馬算盤(pán)運(yùn)算笨拙，最終 未能流行

9、。古羅馬人博伊斯的幾何學(xué)中亦記載了一種羅馬算盤(pán)的構(gòu)造及 用法，這種算盤(pán)不用石子做算盤(pán)子，用的是標(biāo)有數(shù)字的狀似錐體的圓臺(tái)做算 子，將算子放入算盤(pán)不同的檔中進(jìn)行計(jì)算。日本算盤(pán)日本算盤(pán)是從中國(guó)傳入的，形態(tài)與中國(guó)算盤(pán)相似，只是橫梁上方只有一顆算 珠?，F(xiàn)代日本算盤(pán)則改為上一下四。用商除法而不用歸除法。同時(shí)為了使乘 除位數(shù)一致改用隔位乘。俄羅斯算盤(pán)俄羅斯算盤(pán)單純采用十進(jìn)制，與中國(guó)算盤(pán)相比，沒(méi)有中間的橫梁，每檔有十 顆算珠，每個(gè)算珠表示一個(gè)單位。俄羅斯算盤(pán)撥珠速度沒(méi)有中國(guó)算盤(pán)快，計(jì) 算速度較慢，實(shí)用性較小，但它比較直觀，沒(méi)有專(zhuān)門(mén)口訣，容易上手。現(xiàn)在， 俄羅斯算盤(pán)常用作兒童算術(shù)啟蒙教育的教具。應(yīng)該說(shuō)算盤(pán)使中國(guó)

10、計(jì)算工具一個(gè)偉大發(fā)明，甚至至今，然而，計(jì)算工具的發(fā)展 從此停滯不前。與西方繁多的計(jì)算工具相比，不禁令國(guó)人嘆息。西方計(jì)算工具的發(fā)展除中國(guó)外，其它的國(guó)家亦有各式各樣的計(jì)算工具發(fā)明，例如羅馬人的算 盤(pán)，古希臘人的算板，印度人的沙盤(pán)，及英國(guó)人的刻齒本片等。這 些計(jì)算工具的原理基本上是相同的，同樣是透過(guò)某種具體的物體來(lái)代表數(shù)，并 利用對(duì)物件的機(jī)械操作來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。簡(jiǎn)述一張西方計(jì)算工具的發(fā)展時(shí)間表納皮爾籌：15世紀(jì)后，格子算法通行于中亞細(xì)亞及歐洲，納皮爾籌便是 根據(jù)了格子算法的原理，但與格子算法不同的是它把格子和數(shù)字刻在籌 長(zhǎng)條竹片或木片上，這便可根據(jù)需要拼湊起來(lái)計(jì)算。計(jì)算尺：計(jì)算尺發(fā)明于大約1620 -

11、1630年，在約翰納皮爾對(duì)數(shù)概念發(fā)表后不久。 牛津的埃德蒙甘特(Edmund Gunter )發(fā)明了一種使用單個(gè)對(duì)數(shù)刻度的計(jì)算工 具，當(dāng)和另外的測(cè)量工具配合使用時(shí)，可以用來(lái)做乘除法。1630年，劍橋的William Oughtred發(fā)明了圓算尺，1632年，他組合兩把甘特式計(jì)算尺，用手合 起來(lái)成為可以視為現(xiàn)代的計(jì)算尺的設(shè)備。1722年,Warner引入了2-和3-十進(jìn)刻 度，1755年Everard導(dǎo)入倒數(shù)刻度；包含所有這些刻度的算尺通常稱(chēng)為“多相 算尺。第二次世界大戰(zhàn)中，需要進(jìn)行快速計(jì)算的轟炸者和航行者經(jīng)常使用專(zhuān)用算尺。美國(guó)海軍的一個(gè)辦公室實(shí)際上設(shè)計(jì)了一個(gè)通用算尺底盤(pán),它由一個(gè)鋁主 體和塑料

12、游標(biāo)，可以把賽璐珞卡片（兩面印刷）插到里面以進(jìn)行特定的計(jì)算。這 個(gè)過(guò)程被發(fā)明來(lái)用于計(jì)算射程，燃料使用和飛行器高度，然后適用到很多其他 目的。從1950年代到1960年代，計(jì)算尺是工程師身份的象征，如同顯微鏡代表 了醫(yī)學(xué)行業(yè)一樣。有些工程系的學(xué)生和工程師常把10-英寸算尺別在皮帶上，或 者把一把10-或20-英寸算尺安放在家中或辦公室里做精確運(yùn)算用（當(dāng)然,再精確 運(yùn)算,計(jì)算尺就不行了,需要一本厚厚的八位對(duì)數(shù)表），而隨身攜帶一把5-英寸袖 珍算尺。所有這一切在1970年代告終，因?yàn)槲⑿陀?jì)算器頓使算尺過(guò)時(shí)。袖珍科 學(xué)計(jì)算器（即帶有三角和對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算器）的誕生為計(jì)算尺敲響了最后的喪 鐘。1972年的

13、惠普HP-35是最早的科學(xué)計(jì)算器。機(jī)械計(jì)算機(jī)：機(jī)械式計(jì)算機(jī)是與計(jì)算尺同時(shí)出現(xiàn)的，是計(jì)算工具上的一大發(fā)明。席卡德 1623是最早構(gòu)思出機(jī)械式計(jì)算機(jī)，他在給天文學(xué)家J.開(kāi)普勒的信】1623, 1624 上描述了他發(fā)明的四則計(jì)算機(jī)，但并沒(méi)有成功制成。而能成功創(chuàng)制第一 部能計(jì)算加減法的計(jì)算機(jī)是B,帕斯卡1642，在1671年，G.W.萊布尼茨發(fā)明 了一種能作四則運(yùn)算的手搖計(jì)算機(jī)，是長(zhǎng)1米的大盒子。自此以后，經(jīng)過(guò)人們 在這方面多年的研究，特別是經(jīng)過(guò)L.H.托馬斯，W.奧德內(nèi)爾等人的改良后，出 現(xiàn)了多種多樣的手搖計(jì)算機(jī)，并風(fēng)行全世界。于17世紀(jì)末，這種計(jì)算機(jī)傳入了 中國(guó)，并由中國(guó)人制造了 12位數(shù)的手搖計(jì)

14、算機(jī)，獨(dú)創(chuàng)出一種算籌式手搖計(jì)算機(jī)。電子計(jì)算機(jī)：一種能依照一定的程序自動(dòng)控制的計(jì)算機(jī)。19世紀(jì)初，法國(guó)的J.M.雅 卡爾發(fā)明了用穿孔卡片來(lái)控制的紡織機(jī)，1822年，英國(guó)的C.巴貝奇便根據(jù)同一 原理制成了一部能執(zhí)行計(jì)算程序的差分機(jī)，并于1834年，設(shè)計(jì)了一部完全程序 控制的分析機(jī)，可惜礙于當(dāng)時(shí)的機(jī)械技術(shù)所限制而沒(méi)有制成，但已包含了現(xiàn)代 計(jì)算的基本思想和主要的組成部分了。此后，由于電力技術(shù)有了很大的發(fā)展， 電動(dòng)式計(jì)算機(jī)便慢慢取代以人工為動(dòng)力的計(jì)算機(jī)。在1880年，美國(guó)的H.霍勒里 斯與J.S.比林斯發(fā)明了電動(dòng)穿孔卡片式計(jì)算機(jī)，能機(jī)械化地處理數(shù)據(jù)。后來(lái)他 們更開(kāi)創(chuàng)了第一家制造電子計(jì)算機(jī)的公司一一國(guó)際商

15、業(yè)機(jī)器公司簡(jiǎn)稱(chēng)IBM。 20世紀(jì)以來(lái)，電子技術(shù)與數(shù)學(xué)得到充分的發(fā)展，電子技術(shù)的改進(jìn)，為計(jì)算機(jī)提 供了物質(zhì)上的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)設(shè)計(jì)及研制新型的計(jì)算機(jī)有很大的幫助。 1941年，德國(guó)的楚澤采用了繼電器，制成了第一部通用程序控制計(jì)算機(jī)，實(shí)現(xiàn) 了 100多年前巴貝奇的理想。1944年，美國(guó)的艾肯亦以同一方法制成了一臺(tái)程 序控制自動(dòng)數(shù)字計(jì)算機(jī)。20世紀(jì)初，電子管的出現(xiàn)，使計(jì)算機(jī)的改革有了新的 發(fā)展，并由于二次大戰(zhàn)的迫切的軍事需要，美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)和有關(guān)單位在 1946年制成了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)外國(guó)算籌納皮爾的骨頭是一種用來(lái)計(jì)算乘法與除法，類(lèi)似算盤(pán)的工具。由一個(gè)底座 及九根圓柱（方柱）組成，可以把乘法運(yùn)算

16、轉(zhuǎn)為加法，也可以把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)為 減法。更為進(jìn)階的用法也可以開(kāi)平方根。E 72 =7 7 =7x4 =7 -3 -76 -77 -7wy pL-3rJ_?lI.L-，T-LASLT Of H油A乘法運(yùn)算 舉例說(shuō)明如何用納皮爾的骨頭進(jìn)行乘法運(yùn)算。46785399 乘以 7把編號(hào)4,6,7,8,5,3,9,9的圓柱依序放入底座。如下圖將結(jié)果相加即得到乘積（記得要進(jìn)位）。46785399 乘以 96431把編號(hào)4,6,7,8,5,3,9,9的圓柱依序放入底座。將46785399乘以9,6,4,3,1分別用上述方法一條一條算出來(lái)。接著用直式加法把數(shù)字加起來(lái)。除法運(yùn)算同樣舉例說(shuō)明。46785399 除以

17、96431把除數(shù)(96431)編號(hào)的柱子擺入底座。如下圖所示把96431乘以1-9的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)。46785399從左邊六位開(kāi)始看，下面寫(xiě)上小于467853最大的96431k。用467853減96431k(此例中k=4)，得到的數(shù)字寫(xiě)下面。把上面的數(shù)字移下來(lái)，如同長(zhǎng)除法般重復(fù)進(jìn)行此動(dòng)作。最后得到一個(gè)比96431還小的數(shù)，為余數(shù)。如有需要，可以一直進(jìn)行除法工作以得到小數(shù)點(diǎn)位數(shù)。1964312%必3初X4%必5%6%X7彩必0%9為96431192S6229S2933S57244S215557S5S667501777144SS67S7946785399 |9643, 3857244858212999

18、 771448 498519 482155 16364利用納皮爾的計(jì)算工具甚至可以開(kāi)平方 計(jì)算尺基本概念 在其最基本的形式中，算尺用兩個(gè)對(duì)數(shù)標(biāo)度來(lái)作乘法除法，這些在紙上進(jìn)行時(shí) 既費(fèi)時(shí)又易出錯(cuò)的常見(jiàn)運(yùn)算。用戶(hù)通過(guò)估計(jì)決定小數(shù)點(diǎn)在結(jié)果中的位置。在包 含加減乘除的計(jì)算中，加減在紙上進(jìn)行，而耳非算尺上。滑竿上的游標(biāo)實(shí)際上，就是最基本的學(xué)生用算尺也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止兩個(gè)標(biāo)度。多數(shù)算尺由三個(gè)直條 組成，平行對(duì)齊，互相鎖定，使得中間的條能夠沿長(zhǎng)度方向相對(duì)于其他兩條滑 動(dòng)。外側(cè)的兩條是固定的，使得它們的相對(duì)位置不變。有些算尺(雙面型)在 尺和滑桿的兩面都由刻度，有些在外條的單面和滑桿的兩面有刻度，其余的只 有一面有刻度

19、(單面型)。一個(gè)滑動(dòng)標(biāo)記有一個(gè)或多個(gè)豎直的對(duì)齊線(xiàn)用于在任 何一個(gè)刻度上記錄中間結(jié)果，也可用來(lái)找出不相鄰的刻度上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。更復(fù)雜的算尺可以進(jìn)行其他計(jì)算，例如平方根，指數(shù)，對(duì)數(shù)，和三角函數(shù)。通常，數(shù)學(xué)計(jì)算通過(guò)把滑動(dòng)桿上的記號(hào)和其他固定桿上的的記號(hào)對(duì)齊來(lái)進(jìn)行， 結(jié)果通過(guò)觀察桿子上的其他記號(hào)的相對(duì)位置來(lái)讀出。乘法下圖顯示了一把有兩個(gè)對(duì)數(shù)刻度的簡(jiǎn)化算尺。也就是說(shuō)，一個(gè)數(shù)字X印在每把 尺的離索引(用數(shù)字1標(biāo)記)的距離和logx成正比的地方。i|i|i|i|MWI* i4 1|娜卅叫洲噸|6 |T aG r7 B 9對(duì)數(shù)把乘法和除法操作變?yōu)榧臃ê蜏p法，這要感謝log(xy) = log(x) + log(y

20、) 和log(x / y) = log(x) log(y)這兩個(gè)法則。把頂部刻度向右滑動(dòng)log(x) 的距離把每個(gè)數(shù)字y (位于頂部刻度log(y)的位置)和底部刻度log(x) + log(y) 位置對(duì)齊了。因?yàn)閘og(x) + log(y) = log(xy),底部刻度的這個(gè)位置標(biāo)記為 xy,也就是x和y的積。下面的圖示顯示了 2乘其它任何數(shù)字。上面刻度的索引 和下面刻度的2對(duì)齊 了。這把整個(gè)上刻度右移了 log(2)的距離。上刻度的數(shù)字(乘數(shù))和下刻度上的 乘積對(duì)應(yīng)。例如，上刻度的3.5和下刻度的乘積7對(duì)齊，而4和8對(duì)齊，等等，如 圖所示：yy | | |ijf隔3川|11呵和叫1啊|岬

21、0咿：岫血山川盅島操作可能會(huì)超出范圍。例如上圖顯示上刻度的7沒(méi)有任何下刻度的數(shù)字對(duì)齊， 所以它沒(méi)有給出己x的答案。在這種情況下，使用者可以把上刻度往左移一點(diǎn)， 乘以02而不是2,如下圖所示：= L LJ J11j 11-lllJllljkllJllll-lil l.i 1；lbLljl-Ail_:T| i |T|T j h 11 *T|卜| 111 E|l 寸|111|1頃! Il |1|股11|這里，算尺的使用者必須記得相應(yīng)的調(diào)整小數(shù)點(diǎn)以得到最后答案。我們要找到X，但是我們實(shí)際上計(jì)算了 U -2； = 14。所以真正的答案是14而不是1.4.除法下圖顯示了 5.5/2的計(jì)算。頂部刻度的2放在

22、底部刻度5.5的上面。頂部的1就在 商2.75的上面。A 111山器,以!1；11禪.山川1%Mi流血思1：11井山博 | 丁叩巧叩中山礦唧1.卜i戶(hù)工I山|拽11 j叫；，r 丁 |* *|其他運(yùn)算除了對(duì)數(shù)刻度，有些算尺還有其他數(shù)學(xué)函數(shù)刻錄在輔助刻度上。最常見(jiàn)的有三 角函數(shù)，通常有正弦和正切，常用對(duì)數(shù)(log10)(用于取一個(gè)乘數(shù)刻度上的值的 對(duì)數(shù))，自然對(duì)數(shù)(ln)和指數(shù)函數(shù)(ex)刻度。有些尺包含一個(gè)畢達(dá)格拉斯刻度，用 來(lái)算三角形的邊，還有一個(gè)算圓的刻度。其它的有計(jì)算雙曲函數(shù)的刻度。在直 尺上，刻度和它們的標(biāo)示是高度標(biāo)準(zhǔn)化的，主要的變化在于哪些刻度被包括進(jìn) 來(lái)以及出現(xiàn)的次序。A, B雙-

23、十對(duì)數(shù)刻度C, D單-十對(duì)數(shù)刻度K三-十對(duì)數(shù)刻度CF, DF從丸而不是1開(kāi)始的C和D刻度CI, DI, DIF倒數(shù)刻度，從右到左S用于在D刻度上找正弦和余弦T用于在D和DI刻度上找正切ST用于小角度的正弦和正切L線(xiàn)性刻度，和C及D刻度配合使用來(lái)找基數(shù)為10的 對(duì)數(shù)和10的冪LLn一套對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)刻度，用于找自然對(duì)數(shù)和指數(shù)t出州時(shí)廿川瞄、LL02 L I iiii iIh - iln-iJ!LL03邕高血仙I心u酒QF I* I* l|MHj?ill|llH 口 j p |!lll|rlllii!*l|rill l| II i|-H-ir|ll1iniG r| i iii nibhiii-iBFi

24、iiiii|ihp|s;i r | tW%. lliJTWV”爐叫”州:mn|iiiiOiii|niL|LL3 /心山叩俱了可而Wildiyilili lil iMiiili 1 Ji l.kL|?tal|11|114|11|-)111|11；|1114 .,jiiiuiiui-l-i i|H iij-i；A dllli:|llll ilnijlijlili.nlJlJ 、一把K&E 4081-3算尺的正面和反面。求根和幕有單-十（CandD）,雙-十（AandB）,和三-十（K）刻度。例如，要計(jì)算x2,我 們可以在D上找到x,從A上讀出它的平方。把這個(gè)過(guò)程反過(guò)來(lái)，我們可以計(jì)算 平方根，同樣3

25、, 1/3, 2/3,和3/2次冪都可以這樣算。在刻度上找底x的時(shí)候 必須小心，有時(shí)候會(huì)有不只一個(gè)地方出現(xiàn)x。例如，A刻度上有兩個(gè)9,要找9的 平方根，我們必須使用第一個(gè)9；用第二個(gè)9就會(huì)給出90的平方根。三角函數(shù)對(duì)于5.7到90度之間的角度，正弦可以通過(guò)比較S刻度和C或D找到。S刻度有 第二套角度（有時(shí)會(huì)用不同的顏色），從反方向增大，這是用來(lái)算余弦的。正切 可以通過(guò)比較T刻度和C, D刻度,或者，對(duì)于大于45的角，可以比較CI刻度。小于5.7度的角的正弦和正切可以使用ST刻度找到。反三角函數(shù)可以用相反的 過(guò)程找。對(duì)數(shù)和指數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)和指數(shù)可以用L刻度找到，它是線(xiàn)性的。底是e的時(shí)候要用L

26、L 刻度。圓算尺圓算尺有兩種基本類(lèi)型，一種有兩個(gè)游標(biāo)，另外一種有一個(gè)活動(dòng)圓盤(pán)和一個(gè) 游標(biāo)。圓算尺的基本優(yōu)點(diǎn)在于最長(zhǎng)的尺寸縮小到大約3倍（也就是n倍）。例如， 一把10 cm圓算尺和一把30 cm普通算尺的精度相當(dāng)。圓算尺也消除了 越界 計(jì)算，因?yàn)榭潭缺辉O(shè)計(jì)為環(huán)繞的;它們從不需要在結(jié)果接近1.0的時(shí)候重定向 一尺子總是在界內(nèi)的。圓算尺在機(jī)械方面更為強(qiáng)壯，活動(dòng)更平滑而且比直算尺更精確，因?yàn)樗麄冎灰?賴(lài)于一個(gè)中央軸承。中央支撐很少脫開(kāi)。軸承也避免了劃傷表面和游標(biāo)。只有 最昂貴的直算尺才提供這些特性。最高精度的刻度放在最外環(huán)。高端的圓算尺不用割裂式刻度，而是對(duì)比較困 難的刻度（如雙對(duì)數(shù)刻度）采用螺線(xiàn)刻度。一個(gè)八英寸高級(jí)圓算尺可以有一個(gè)50英寸雙對(duì)數(shù)刻度！技術(shù)上來(lái)講，圓算尺的真正缺點(diǎn)在于不那幺重要的刻度離中心比較近，所以精 度較差。歷史上，圓算尺的主要缺點(diǎn)只是它們不是標(biāo)準(zhǔn)的。多數(shù)學(xué)