應(yīng)力狀態(tài)和基本的強(qiáng)度理論應(yīng)用含經(jīng)典例題講解

1、應(yīng)力狀態(tài)和基本的應(yīng)用含經(jīng)典例題講解 7-1 概述 7-2 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力 7-3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念 7-4 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系 7-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度 7-6 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力*7-7 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力 7-8 各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論31. 直桿受軸向拉（壓）時(shí):FF2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí):應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論7-1 概述一、問(wèn)題的提出 4應(yīng)力:不同橫截面應(yīng)力不同;同一橫截面上不同點(diǎn)處應(yīng)力不同。 同一點(diǎn)不同截面方位,應(yīng)力是不是變化?如果變化,又以怎樣的規(guī)律變化?得出：應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論3.剪切彎曲的梁:P5低碳鋼?塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑

2、移線？鑄鐵應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論6鑄鐵低碳鋼?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45螺旋面斷開(kāi)？應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論7 單元體的特點(diǎn)受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力的集合。三、研究方法：?jiǎn)卧w：2.兩個(gè)相互平行側(cè)面上的應(yīng)力情況是相同的。3.代表該點(diǎn)三個(gè)相互垂直方向上的應(yīng)力情況。1.單元體各側(cè)面上的應(yīng)力分布是均勻的。FF二、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)：取單元體的方法。圍繞受力構(gòu)件內(nèi)任意點(diǎn)切取的微元體。應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論854321S平面FPl/2l/2S平面54321123應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論9FlaS應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論10 xzy4321S平面應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論11yxz4321F143應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論MxFMz12

3、例7-1-1 畫(huà)出表示下列圖中的A、B、C點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的單元體。A應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論131.主單元體:2.主平面:3.主應(yīng)力:主應(yīng)力按代數(shù)值大小排列:各側(cè)面上只有正應(yīng)力作用,而無(wú)切應(yīng)力作用的單元體。單元體上切應(yīng)力為零的面。主平面上作用的正應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論四、主單元體、主平面、主應(yīng)力：14單軸應(yīng)力狀態(tài)： 只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零。平面應(yīng)力狀態(tài)： 只有一個(gè)主應(yīng)力等于零，其它兩個(gè) 主應(yīng)力不等于零?？臻g應(yīng)力狀態(tài)： 三個(gè)主應(yīng)力都不等于零。xy（二向應(yīng)力狀態(tài)）xy五、應(yīng)力狀態(tài)分類(lèi)：yxzxy應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論（三向應(yīng)力狀態(tài)）（單向應(yīng)力狀態(tài)）15空間應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單軸應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例應(yīng)力

4、狀態(tài)和強(qiáng)度理論16根據(jù)單元體的局部平衡：拉 中 有 剪應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論17剪 中 有 拉結(jié) 論 不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論18關(guān)于應(yīng)力的三個(gè)重要概念1.應(yīng)力的點(diǎn)的概念;2.應(yīng)力的面的概念;3.應(yīng)力狀態(tài)的概念.應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論19 橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論20 單元體平衡分析結(jié)果表明：即使同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論21應(yīng) 力指明哪一個(gè)面上哪一點(diǎn)？ 哪一點(diǎn)哪個(gè)方向面？應(yīng)力

5、狀態(tài)和強(qiáng)度理論22 過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 就是研究一點(diǎn)處沿各個(gè)不同方位的截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論1、 與截面外法線同向?yàn)檎?、 對(duì)研究對(duì)象內(nèi)任一點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正；3、 由x逆時(shí)針轉(zhuǎn)向截面外法線為正。一、任意斜截面上的應(yīng)力72 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論設(shè)：斜截面面積為dA，由分離體平衡得：應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論二、主平面和主應(yīng)力應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)主方向判定：應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)取 為主值，28三、最大剪應(yīng)力應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)條件極值四、單元體兩互垂面上的應(yīng)力關(guān)系txy應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例7-2-1

6、分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：1、確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫(huà)其原始單元體2、求極值正應(yīng)力應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)4、破壞分析鑄鐵（剪壞）（拉壞）3、求極值剪應(yīng)力低碳鋼灰口鑄鐵應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)發(fā)生在與1 、3所在主平面成45角的截面上，即橫截面上例7-2-2 已知單元體如圖，計(jì)算斜截面上的應(yīng)力。應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)（3）畫(huà)出主單元體應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例7-2-3 已知單元體上的應(yīng)力，求主應(yīng)力大小、確定主平面方位并畫(huà)出主單元體。圖中應(yīng)力單位為MPa。解：50應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例7-2-4 已知單元體上的應(yīng)力，求主應(yīng)力大小、主平面方位并畫(huà)出主單元體。圖中應(yīng)力單位為MPa。解：（3）畫(huà)主單元體txy應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例7

7、-2-5 已知單元體上的應(yīng)力（MPa），求(1)(2)消去參數(shù) 2 ，得：此方程曲線為圓-應(yīng)力圓（或莫爾圓）五、應(yīng)力圓（ Stress Circle）應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)圖2（1）建立坐標(biāo)系，如圖2，（注意選好比例尺）1、應(yīng)力圓的畫(huà)法（2）在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn) Dx(x， x)和 Dy(y， y) （4）以C為圓心，CDx為半徑畫(huà)圓應(yīng)力圓。C圖1Dx(x, x)Dy(y, y)saota應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)（3）連接Dx、Dy兩點(diǎn)交 軸于C，C點(diǎn)便是圓心。注意到：圖1（3）夾角關(guān)系：saota22、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖2CDx(x, x)Dy(y, y)應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)（2

8、）應(yīng)力圓的半徑 面的法線圓上一個(gè)點(diǎn) 單元體上一個(gè)面點(diǎn)的坐標(biāo) 面上的應(yīng)力應(yīng)力圓兩半徑夾角 單元體兩面夾角的兩倍 ；且轉(zhuǎn)向一致。s at aan393、應(yīng)力圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)值應(yīng)力應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)同理：xsaOC2 0Dy(y, y)Dx(x, x)Ea21x4、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力saOC2 0D3D1Dy(y, y)Dx(x, x)tmaxtmin應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例726 已知單元體上應(yīng)力如圖，用應(yīng)力圓求斜截面上的應(yīng)力、主應(yīng)力、主平面方向并畫(huà)主單元體（應(yīng)力單位MPa）。73 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念 應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)yxz 單元體的特點(diǎn)2.兩個(gè)相互平行側(cè)面上的應(yīng)力情況是相同的。

9、3.代表該點(diǎn)三個(gè)相互垂直方向上的應(yīng)力情況。1.單元體各側(cè)面上的應(yīng)力分布是均勻的。43132應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)o13231.彈性理論證明，單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對(duì)應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。2.整個(gè)單元體內(nèi)的最大、最小剪應(yīng)力：3.最大正應(yīng)力：例7-3-1 求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。(MPa)解：（1）由單元體圖a知：yz面為主平面（2）建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫(huà)圖b的應(yīng)力圓:xyz305040圖aCBAs at aO (M Pa)10圖bA(30, -40)B(0, 40)C(15, 0)(58, 0)(-27, 0)(50, 0)tmax應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)sx=50MP

10、a ， sy=40MPa tx=40MPa ， sz=60MPa 解：(1)確定坐標(biāo)、寫(xiě)出應(yīng)力分量(2)求主應(yīng)力s1=s2=60MPa s3= 應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例732 已知單元體如圖示，求單元體的主應(yīng)力、最大正應(yīng)力及最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位MPa）。一、單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系二、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系xyz x y74 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)xyz x47三、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系132依疊加原理，得:應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)（1）主單元體情況下第一棱邊線應(yīng)變記為11單獨(dú)作用時(shí)：2單獨(dú)作用時(shí)：3單獨(dú)作用時(shí)：同理可算得第二和第三棱邊的線應(yīng)變2和3，即可見(jiàn)：xyzxxy

11、zy應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)（2）非主單元體情況下各向同性材料，當(dāng)變形很小且在彈性范圍內(nèi)時(shí)，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)而與剪應(yīng)力無(wú)關(guān)，剪應(yīng)變只與剪應(yīng)力有關(guān)而與正應(yīng)力無(wú)關(guān)。49四、平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系:應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)五、體應(yīng)變（體積應(yīng)變）dz123dxdy體應(yīng)變：應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)51例7-4-1一受扭圓軸,直徑d=20mm,圓軸的材料為鋼, E=200GPa,?，F(xiàn)測(cè)得圓軸表面上與軸線成45 方向的應(yīng)變?yōu)?5.210-4,試求圓軸所承受的扭矩。 應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)解:5275 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)一、 應(yīng)變能密度1.單向應(yīng)力狀態(tài)下2313.空間應(yīng)力狀態(tài)下2.純剪切應(yīng)力狀態(tài)

12、下 x y53231圖 a應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)圖 c二、體積改變能密度和形狀改變能密度= 一般情況下，單元體將同時(shí)發(fā)生體積改變和形狀改變，應(yīng)變能密度相應(yīng)分為體積改變能密度vV 和形狀改變能密度vd，即 圖b中單元體各棱邊線應(yīng)變m相等，單元體只有體積改變而無(wú)畸變，對(duì)應(yīng)只有體積改變能密度uV。圖 b54圖b單元體各棱邊線應(yīng)變：圖c單元體的體積應(yīng)變?yōu)?，故沒(méi)有體積改變而只有形狀改變，對(duì)應(yīng)形狀改變能密度vd為：應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)對(duì)應(yīng)的體積改變能密度vV：231圖 a圖 c=圖 b5513例7-5-1 用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。1、純剪切單元體的應(yīng)變能密度為：2、純剪切單元體的應(yīng)變能密度用主應(yīng)力表

13、示為：應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)比較上兩式得：56應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例752有一直徑d=25mm的實(shí)心鋼球承受靜水壓力，壓強(qiáng)為p=14MPa，E=210GPa，。求鋼球體積減少多少？57應(yīng)力、應(yīng)變分析基礎(chǔ)例753 薄壁圓筒內(nèi)徑D，長(zhǎng)為l，壁厚為t。受內(nèi)壓 力p作用。彈性模量E，泊松比。求圓筒 的容積改變量。58組合變形桿將怎樣破壞？二、強(qiáng)度理論的概念：強(qiáng)度理論7-6 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力一、危險(xiǎn)應(yīng)力狀態(tài) 當(dāng)載荷達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)處將產(chǎn)生顯著的塑性變形或斷裂，亦即構(gòu)件開(kāi)始發(fā)生破壞，此時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)稱為危險(xiǎn)應(yīng)力狀態(tài)。若橫截面上只有一種應(yīng)力或一種應(yīng)力是主要因素時(shí)，強(qiáng)度條件為：若橫截面上有不分主次的兩

14、種應(yīng)力，要用強(qiáng)度理論。59破壞條件：強(qiáng)度條件：三、四個(gè)常用的強(qiáng)度理論：強(qiáng)度理論材料的破壞形式：（1）塑性屈服；（2）脆性斷裂 。1、第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論)：無(wú)論材料在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸時(shí)的強(qiáng)度極限 時(shí)，構(gòu)件就會(huì)脆性斷裂。適用范圍：適用于破壞形式為脆性斷裂的構(gòu)件。 強(qiáng)度理論：假設(shè)某些因素對(duì)材料的破壞起決定性作用，并且利用材料在簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)中所取得的試驗(yàn)結(jié)果作為衡量這些因素的限度。這些假說(shuō)，通常稱為強(qiáng)度理論。60強(qiáng)度條件：強(qiáng)度理論2、第二強(qiáng)度理論（最大伸長(zhǎng)應(yīng)變理論)：認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)變引起的。無(wú)論材料在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要最大拉應(yīng)變達(dá)到單向拉伸時(shí)的極限值

15、時(shí)，構(gòu)件就會(huì)脆性斷裂。破壞條件：適用范圍：適用于破壞形式為脆性斷裂的構(gòu)件。 613、第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論)：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大切應(yīng)力引起的。無(wú)論材料在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要最大切應(yīng)力達(dá)到單軸拉伸時(shí)的極限值 時(shí)，構(gòu)件就會(huì)發(fā)生塑性屈服。適用范圍：適用于破壞形式為塑性屈服的構(gòu)件。 強(qiáng)度條件：強(qiáng)度理論破壞條件：624、第四強(qiáng)度理論(形狀改變能密度理論) ：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由形狀改變能密度引起的。無(wú)論材料在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要形狀改變能密度達(dá)到單向拉伸下發(fā)生屈服時(shí)的形狀改變能密度，構(gòu)件就會(huì)發(fā)生塑性屈服。破壞條件：強(qiáng)度條件：適用范圍：適用于破壞形式為塑性屈服的構(gòu)件。 強(qiáng)度理論63其中，r相當(dāng)應(yīng)力

16、。四、 相當(dāng)應(yīng)力：強(qiáng)度理論64例7-6-1 如圖所示單向與純剪切組合應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)材料的許用應(yīng)力為，試按第三和第四強(qiáng)度理論導(dǎo)出其強(qiáng)度計(jì)算公式。強(qiáng)度理論解：可見(jiàn)第三強(qiáng)度理論：第四強(qiáng)度理論：65(a)(b)(a)(b)例7-6-2 圖示正方形截面棱柱體，比較(a)、(b)兩種情況下的相當(dāng)應(yīng)力r3，彈性常數(shù)E、為已知。(a)為棱柱體自由受壓；(b)為在剛性方模內(nèi)受壓。解: (a)柱中截取單元體:(b)柱中截取單元體:強(qiáng)度理論66解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例7-6-3 直徑為d的鑄鐵圓桿，T=7kNm， P=50kN，=40MPa，試用第一強(qiáng)度理論校 核桿的強(qiáng)度。 安全。強(qiáng)度理論P(yáng)TPTA67(b)(

17、a)解: (a)單元體，二向應(yīng)力狀態(tài): (b)單元體，單拉、純剪并存:故(a)、(b)危險(xiǎn)程度相同。例7-6-4 兩個(gè)單元體的應(yīng)力狀態(tài)分別如圖(a)、(b)所示，和數(shù)值相等。試根據(jù)第四強(qiáng)度理論比較兩者的危險(xiǎn)程度。強(qiáng)度理論68強(qiáng)度理論 例7-6-5圖示矩形截面鑄鐵梁，受兩個(gè)橫向力作用。（1）從梁表面的A、B、C三點(diǎn)處取出的單元體上，用 箭頭表示出各個(gè)面上的應(yīng)力。（2）定性地繪出A、B、C三點(diǎn)的應(yīng)力圓。（3）在各點(diǎn)的單元體上，大致地畫(huà)出主平面的位置和 主應(yīng)力的方向。（4）試根據(jù)第一強(qiáng)度理論，說(shuō)明（畫(huà)圖表示）梁破壞 時(shí)裂縫在B、C兩點(diǎn)處的走向。69強(qiáng)度理論70*7-7 莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力 德國(guó)

18、工程師莫爾考慮到某些材料拉伸與壓縮強(qiáng)度不等的情況，將最大剪應(yīng)力理論加以推廣，提出了莫爾強(qiáng)度理論。莫爾強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為:其中 為材料的許用拉應(yīng)力, 為材料的許用壓應(yīng)力。強(qiáng)度理論 對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料， 以上強(qiáng)度條件即為最大切應(yīng)力理論的強(qiáng)度條件，可見(jiàn)，莫爾強(qiáng)度理論既可用于脆性材料，也可用于塑性材料。71強(qiáng)度理論 在大多數(shù)應(yīng)力狀態(tài)下,脆性材料將發(fā)生脆性斷裂.故應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論。 而在大多數(shù)應(yīng)力狀態(tài)下,塑性材料將發(fā)生屈服和剪斷。故應(yīng)選用第三強(qiáng)度理論或第四強(qiáng)度理論。 但材料的破壞形式不僅取決于材料的力學(xué)行為,而且與所處的應(yīng)力狀態(tài),溫度和加載速度有關(guān)。 實(shí)驗(yàn)表明,塑性材料在一定的條件下(低溫和三向拉伸),會(huì)表現(xiàn)為脆性斷裂；脆性材料在一定的應(yīng)力狀態(tài)(三向受壓)下,會(huì)表現(xiàn)出塑性屈服或剪斷。7-8 各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用721. 在下列論述中， 是正確的。A、強(qiáng)度理論只適用于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。B、第一、第二強(qiáng)度理論只適用于脆性材料。C、第三、第四強(qiáng)度