數(shù)學(xué)物理方法15

1、第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題泛定方程：波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程、穩(wěn)定場(chǎng)方程定解條件：初始條件、邊界條件第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題$7.3 數(shù)學(xué)物理方程的分類二次曲線方程：橢圓拋物線雙曲線 (以上a、b大于0)第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題令 ，代入得：選取可消去uv項(xiàng)。（坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)）再選取u、v的零點(diǎn)可消去一次項(xiàng)。（坐標(biāo)軸平移）最終可得到標(biāo)準(zhǔn)型。第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題對(duì)于線性二階偏微分方程可以做類似處理：令： ，則第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題代入后同樣可以消去交叉項(xiàng)，得到二階偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。雙曲型：橢圓型：拋物線型：第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題$7.4 達(dá)朗貝爾公式1、求解偏微分方程的通解。令 ，得：第七章 數(shù)

2、學(xué)物理定解問(wèn)題由 解出即：or第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題無(wú)色散波動(dòng)第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題2、根據(jù)定解條件求取定解。（無(wú)限長(zhǎng)弦情況）將通解代入得：(2)式積分后得：第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題求得f1、f2后回代得：第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題行波法的缺陷：能求出通解的微分方程太少。第八章 分離變數(shù)法數(shù)理方程的一般情況：定解條件：第八章 分離變數(shù)法線性： +）_ 第八章 分離變數(shù)法1）如果則第八章 分離變數(shù)法2）如果有 ，則方程可以轉(zhuǎn)化為非齊次項(xiàng)可以逐個(gè)分別求解，可以互相轉(zhuǎn)化。第八章 分離變數(shù)法核心問(wèn)題：怎樣求解齊次方程？從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手假設(shè)解具有某種簡(jiǎn)單形式： 第八章 分離變數(shù)法Eg：兩端固定弦的自由橫振動(dòng)問(wèn)題。邊界條件：初始條件：解：假設(shè)u(x,t)可以表示為 ，則得：第八章 分離變數(shù)法另上式等于常數(shù)-k2，則第八章 分離變數(shù)法由于方程為線性齊次方程，根據(jù)疊加原理，解的一般形式為第八章 分離變數(shù)法2)引入邊界條件 （仍然是齊次條件）因?yàn)檫吔鐥l件與t無(wú)關(guān)，必然有得：第八章 分離變數(shù)法3)引入初始條件：代入得：將左邊展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)or根據(jù)函數(shù)基組的正交關(guān)系：第八章 分離變數(shù)法最終得：第八章 分離變數(shù)法由于邊界條件的限制，求解中引入的常數(shù)-k2往往只在某些特定值方程才有意義，稱為本征值，對(duì)應(yīng)的