二次函數(shù)與冪函數(shù)的知識點總結(jié)與題型歸納

1、二次函數(shù)與曷函數(shù)的知識點總結(jié)與題型歸納1.二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如：f(x)= ax2+ bx+ c_(a#0)的函數(shù)叫作二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x) = ax2+bx+ c_(a豐 0).頂點式：f(x)=a(x- m)2+n(a0).零點式：f(x) = a(x xi)(x x2)_(a? 0).2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x) = ax2 + bx+ c (a0)f(x)= ax2+ bx+ c (a4.(3)當 a=1 時，f(x) = x2+2x+3,.f(|x|) = x2+2|x|+3,此時定義域為 x6 6,6,x2+2x

2、+3, x6 0, 6且 f(x)=,x2 2x+3, x6 6, 0.f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6,單調(diào)遞減區(qū)間是6,0.探究提高(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定 區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵 是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū) 間的關(guān)系進行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二 次函數(shù)圖象的對稱軸進行分析討論求解.題型三二次函數(shù)的綜合應用【例 3】 若二次函數(shù) f(x)= ax2 + bx+c (a*0)滿足 f(x+ 1) f(x) = 2x,且 f(0) = 1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)

3、間 1,1上，不等式f(x)2x+ m恒成立，求實數(shù) m的 取值范圍.思維啟迪：對于(1),由f(0) = 1可得c,利用f(x+ 1) f(x) = 2x恒成立，可求出a, b,進而確定f(x)的解析式.對于(2),可利用函數(shù)思想求得.解 (1)由 f(0)=1,得 c= 1. . f(x)= ax2 +bx+ 1.又 f(x+ 1) f(x)= 2x,. a(x+ 1)2+ b(x+ 1)+1 (ax2 + bx+ 1) = 2x,2a=2,a= 1,即 2ax+ a + b=2x, .a+ b= 0,b= 1.因此，f(x) = x2-x+ 1.(2)f(x)2x+m 等價于 x2 x+

4、12x+m,即 x2 3x+1 m0,要使此不等式在 1,1上恒成立，只需使函數(shù) g(x) = x2 3x+1 m在1,1上的最小值大于0即可.; g(x)=x2 3x+ 1 m 在1,1上單調(diào)遞減,g(x)min = g(1) = - m 1,由一m 10 得，m 1.因此滿足條件的實數(shù) m的取值范圍是（ s, 1）.探究提高二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”， 它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過 二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.因此，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形 結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.用函數(shù)思想研 究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的

5、熱點.題型四哥函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例4 已知哥函數(shù)f(x) = xm2-2m-3 (m6N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0, +8)上是減函數(shù)，求滿足(a+1)m(3 2a) m的a的 33取值范圍.思維啟迪：由募函數(shù)的性質(zhì)可得到哥指數(shù) m22m 30,再結(jié)合m是整數(shù)，及募函數(shù)是偶函數(shù)可得 m的值.解 : 函數(shù)在(0, +)上遞減，.m2 2m 30,解得一1m3. mW N*,. m= 1,2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，.m2 2m3是偶數(shù)，而 22 2X23= 3 為奇數(shù)，12-2X 13= 4 為偶數(shù)，_ .1,m= 1.而 f(x) = x3在(一0, 0), (0, +)上均為減函數(shù)，

6、 TOC o 1-5 h z ,、1 一 一、 1一 一、.(a+1) 石3-2a0 或 0a+13 2a 33或 a+103 2a.2323解得a- 1或3a2.故a的取值氾圍為a|a 1或3a0b2 4ac0a0b2 4ac0, a#0恒成立的充要條件是(2)ax2+ bx+ c0, a#0恒成立的充要條件是 3.募函數(shù)y= xa(延R),其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以哥的底 x為自變量，指數(shù)%為常數(shù).失誤與防范.對于函數(shù)y=ax2+bx+ c,要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a#0, 當題目條件中未說明a?0時，就要討論a=0和a?0兩種情況. 冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)， 一定不會出現(xiàn)在第四象限