2023版高三一輪數(shù)學復習課件（新高考人教版）：第2章　第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第三講函數(shù)的奇偶性與周期性知識梳理雙基自測考點突破互動探究名師講壇素養(yǎng)提升知識梳理雙基自測知識點一函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有_，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有_，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于_對稱關(guān)于_對稱f(x)f(x)f(x)f(x)y軸原點知識點二函數(shù)的周期性1周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有_，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期2最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個_，那么這個_就叫做f(x)的最小正周期f(xT)f(

2、x)最小的正數(shù)最小正數(shù)題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)0.()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱()04(必修1P85T1改編)若函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù)，則下列坐標表示的點一定在函數(shù)yf(x)圖象上的是()A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D(a，f(a)解析函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，f(a)f(a)即點(a，f(a)一定在函數(shù)yf(x)的圖象上B5(必修1P87T12改編)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是減函數(shù)，則它在b，

3、a上是_函數(shù)；若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則它在b，a上是_函數(shù)6(必修1P86T11改編)已知函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，當x0，1時，f(x)log4(x23)，則f(2 023)_.減減1B4考點突破互動探究例1考點一函數(shù)的奇偶性分析先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，在定義域內(nèi)，解析式帶絕對值號的先化簡，計算f(x)，再判斷f(x)與f(x)之間的關(guān)系抽象函數(shù)常用賦值法判斷(3)函數(shù)的定義域x(，)，關(guān)于原點對稱f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函數(shù)(4)易知函數(shù)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱，又當

4、x0時，f(x)x2x，則當x0，故f(x)x2xf(x)；當x0時，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)(6)已知對任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取x0，y0，則有2f(0)2f(0)2，因為f(0)0，所以f(0)1.取x0，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)又yR，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性的方法(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，再判斷f(x)是否等于f(x)或f(x)，據(jù)此得出結(jié)論(2)圖象法：奇(

5、偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(或y軸)對稱(3)性質(zhì)法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注：利用上述結(jié)論時要注意各函數(shù)的定義域)例2例3BA1求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式；2求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解對于在x0處有定義

6、的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)0求解變式訓練1(1)(角度1)將例2中“函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)”改為“函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且定義域為xR|x0”，則f(x)的解析式為_.(2)(角度2)(2019北京，13，5分)設函數(shù)f(x)exaex(a為常數(shù))若f(x)為奇函數(shù)，則a_.1解析(1)f(x)exaex為奇函數(shù)，f(x)f(x)0，即exaexexaex0，(a1)(exex)0，a1.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當x0，2)時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)求f(2)的值；(3)當x(2，4時，求f(x)的解

7、析式；(4)計算f(0)f(1)f(2)f(2 023)例4考點二函數(shù)的周期性自主練透解析(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)f(2)f(02)f(0)0.(3)當x(2，0時，x0，2)，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2.f(x)x22x.又當x(2，4時，x4(2，0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.即當x(2，4時，f(x)x26x8.(4)f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1，且f(x)

8、是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 020)f(2 021)f(2 012)f(2 023)0.f(0)f(1)f(2)f(2 021)f(2 022)f(2 023)0.答案(1)證明見解析(2)0(3)f(x)x26x8，x2，4(4)0高考中對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值，以及解決與周期有關(guān)的函數(shù)綜合問題解決此類問題的關(guān)鍵是充分利用題目提供的信息，找到函數(shù)的周期，利用周期在有定義的范圍內(nèi)進行求解角度1奇偶性與單調(diào)性結(jié)合若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，且f(2)0，則滿足f(x)0

9、的取值范圍是()A(，2B0，2C(，20，2D(，22，)例5考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合應用多維探究C解析由已知得圖象，故選C引申1若將“奇函數(shù)”改為偶函數(shù)，則結(jié)果為_.解析如圖D引申2若將例5中不等式改為xf(x1)0呢？結(jié)果為_. 1，01，3角度2奇偶性與周期性結(jié)合已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f(2x)f(x)，則f(x)的周期為()A2B1C2D3例6C解析f(2x)f(x)，f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，f(x)f(x2)，又f(x)f(x)，f(x2)f(x)T2.角度3單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)且在區(qū)間0，2上

10、是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)例7D解析因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2，2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)函數(shù)性質(zhì)綜合應用問題的常見類型及解

11、題策略1函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性2周期性與奇偶性結(jié)合此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解3周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解B(2)(角度2)(2018課標全國)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)，若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2D50CD(2)f(x)是奇函數(shù)，且f(1x)f(1x)，f(1x)f(1x)f(x1)，f(0)0，則f(x

12、2)f(x)，則f(x4)f(x2)f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(1)2，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2，f(4)f(0)0，則f(1)f(2)f(3)f(4)20200，則f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)f(1)f(2)202，故選C名師講壇素養(yǎng)提升例8解析解法1：對于任意xR，都有f(x6)f(x)f(3)成立，令x3，則f(36)f(3)f(3)，又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)0.所以f(x6)f(x)，所以f(x)的周期為6，又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x6)f(x)，而f(x)的周期為6，所以f(x6)f(6x)，f(x)f(x6)，所以f(6x)f(6x)，所以直線x6是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對稱軸，故正確解法2：圖象法函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題變式訓練3已知f(x)的定義域為R，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x3對稱，且f(x3)f(x3)，若當x0，3時，f(x)2x1，則下列結(jié)論正確的是_.(填序號)f(x)為偶函數(shù)；f(x)在6，3上單調(diào)遞減；f(x)關(guān)于直