四章若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化課件

1、第四章 若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化“對(duì)稱”的觀點(diǎn)第四模塊重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容1 一、我們身邊的對(duì)稱 人體 雪花 鼠標(biāo) 請(qǐng)問：有哪些圖形是對(duì)稱的？什么是軸對(duì)稱圖形？什么是中心對(duì)稱圖形？請(qǐng)點(diǎn)擊“百度百科”。2下列實(shí)物是什么對(duì)稱？3下列圖形中各包含幾種對(duì)稱？4下列圖形中各包含幾種對(duì)稱？5-數(shù)學(xué)公式中的對(duì)稱 對(duì)稱多項(xiàng)式海倫公式,其中正弦定理余弦定理將圖形對(duì)稱概念推廣數(shù)學(xué)公式的對(duì)稱：將數(shù)學(xué)公式中的元素位置進(jìn)行對(duì)調(diào)， 公式不變。6對(duì)稱 照鏡子 夫妻 比賽循環(huán)賽 足球非對(duì)稱 照哈哈鏡 父子 比賽淘汰制 非對(duì)稱戰(zhàn)爭(zhēng)其它的一些例子思考：你還能舉出哪些對(duì)稱與不對(duì)稱的例子？“信息對(duì)稱與不對(duì)稱”，“地位的對(duì)稱與不對(duì)稱”，“資源

2、的對(duì)稱與不對(duì)稱”，“權(quán)利的對(duì)稱與不對(duì)稱”等等。7臺(tái)灣日月潭文武廟頂部對(duì)稱圖案8阿拉伯建筑物的外墻 美國(guó)哈佛大學(xué)曾發(fā)表一份研究報(bào)告稱，伊斯蘭世界對(duì)數(shù)學(xué)有過重要貢獻(xiàn)。研究人員認(rèn)為，中世紀(jì)伊斯蘭世界的外墻磚設(shè)計(jì)圖案說明它們的設(shè)計(jì)者掌握了西方世界500年后才掌握的數(shù)學(xué)概念。 9文學(xué)中的對(duì)仗 上聯(lián)對(duì)下聯(lián)：明月 - 清泉,自然景物明清（形容詞）；月泉 （名詞）明月松間照清泉石上流10作為多面體的足球 亞正多面體中的一種 足球多面體，它的側(cè)面由正五邊形和正六邊形組成。11碳富勒烯介紹： 碳富勒烯，即籠狀的碳原子團(tuán)簇，是一類新的有機(jī)化學(xué)物種。由于它具有特殊的分子構(gòu)型以及量子尺寸效應(yīng)，因而表現(xiàn)出了異常高的化學(xué)活

3、性、催化活性，以及奇特的導(dǎo)電性，在化工、光電材料等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。12 1985，一位來自英國(guó)的天文學(xué)家克魯托(H.W.Kroto)，和兩位美國(guó)物理學(xué)家斯莫利（R.E.Smalley），柯爾（R.F. Curl）走進(jìn)美國(guó)賴斯大學(xué)化學(xué)實(shí)驗(yàn)室，希望能探討宇宙中長(zhǎng)鏈碳分子的形成和光譜。在他們短短幾個(gè)星期的合作過程中意外地發(fā)現(xiàn)（9月4日）：在強(qiáng)烈的激光脈沖輻照下產(chǎn)生的碳團(tuán)簇中，C60具有超常的穩(wěn)定性。他們并不知道化學(xué)的理論游戲C60，所以這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果讓他們一籌莫展。后來受著名建筑學(xué)家B富勒最牢固的薄殼拱形結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，他們最終才為其設(shè)想了一種與上述理論結(jié)果不謀而合的球形結(jié)構(gòu)，并將C60命名為富

4、勒烯。富勒烯的發(fā)現(xiàn)13 當(dāng)他們滿懷喜悅向數(shù)學(xué)家們請(qǐng)教時(shí)，得到的回答卻是“孩子們，你們所發(fā)現(xiàn)的，就是一個(gè)足球??！”。一經(jīng)別人點(diǎn)破，他們也詫異地發(fā)現(xiàn)他們所醉心的最完美、最對(duì)稱的分子結(jié)構(gòu)竟然是一個(gè)簡(jiǎn)單得讓人哭笑不得的常識(shí)。一個(gè)現(xiàn)代足球正是由20塊白色的六邊形球皮和12塊黑色的五邊形球皮縫成的。在足球上你恰好可以數(shù)出60個(gè)頂點(diǎn)。他們的努力是制造了一個(gè)全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足球”！由此，這三位科學(xué)家因其天才式的開創(chuàng)性工作共享了2019年度諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。 14克魯托(H.W.Kroto,1939-)2019年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)得主斯莫利(R.E.Smalley,1943-2019)15 柯爾（Ro

5、bert F. Curl Jr.）的自傳 我1933年8月23日出生在美國(guó)德州的Alice.我的父親是一個(gè)衛(wèi)理公會(huì)的牧師,母親是家庭主婦.我有一個(gè)姐姐,她叫瑪麗.在過去, 衛(wèi)理公會(huì)的牧師游動(dòng)頻繁,因此我的孩提時(shí)代的大部分時(shí)間在德州南部的一個(gè)又一個(gè)的小鎮(zhèn)中度過:Alice,Brady,San Antonio, Kingsville,Del,Rio,Brownsville, McAllen,Austin,然后又回到San Antonio.2019年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)得主16 在此期間教會(huì)管理層漸漸認(rèn)識(shí)到我父親具有組織群眾活動(dòng)及解決沖突方面的管理才能.所以，從我九歲起我父親就不再當(dāng)教會(huì)牧師, 而成了一名地

6、區(qū)教會(huì)活動(dòng)的主管. 這就將我解脫了, 使我有時(shí)間擔(dān)當(dāng)“兒童傳道士” 并成為人們關(guān)注的中心17Richard Buckminster Fuller (1895-1983) 建筑學(xué)家 富勒 富勒(R.B.Fuller)，美國(guó)建筑學(xué)家。1967年蒙特利爾世界博覽會(huì)的美國(guó)館由他設(shè)計(jì)。富勒的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思想被稱之為綜合主義。綜合主義是表示將結(jié)構(gòu)單位組合起來，以承受更大的結(jié)構(gòu)力量；結(jié)構(gòu)單位組合后承受的力量比結(jié)構(gòu)單位分立所能承受的力量大。這原理被富勒用于建筑設(shè)計(jì)，蒙特利爾世界博覽會(huì)的美國(guó)館即是這一綜合主義的代表作品。 18那么，什么是“對(duì)稱”的共性？ 什么是“對(duì)稱”的本質(zhì)？ 如何用數(shù)學(xué)語言描述“對(duì)稱”？ “對(duì)稱

7、即群”19二、平面圖形的對(duì)稱 問：正三角形與正方形誰“更”對(duì)稱一些？201.在運(yùn)動(dòng)中看 “對(duì)稱” 可以把“平面圖形的對(duì)稱” 軸對(duì)稱、n次中心對(duì)稱、平移對(duì)稱中用到的運(yùn)動(dòng)分為三類： 2.從不變性看“對(duì)稱” 這些運(yùn)動(dòng)都是變換；這些變換共同的特點(diǎn)是，都保持平面上任意兩點(diǎn)間的距離不變。所以，把反射、旋轉(zhuǎn)、平移，以及它們的相繼實(shí)施，統(tǒng)稱為 “保距變換”。 （有意避開“滑動(dòng)反射”，含于“相繼實(shí)施”中）反射 旋轉(zhuǎn) 平移定義見教材p18121 注意，在上述“保距變換”的定義下,“不動(dòng)”也是一種“保距變換”,它可以看成旋轉(zhuǎn)0o的“保距變換”,也可以看成平移 a=0 的“保距變換”.這樣，任何平面圖形都會(huì)在某種“保

8、距變換”下不變,因?yàn)樗辽僭凇安粍?dòng)”下不變. 如果一種平面圖形（例如,一般三角形）只在“不動(dòng)”這種“保距變換”下才不變,那么我們就認(rèn)為該平面圖形的對(duì)稱性最差,或者干脆說它“不對(duì)稱”. 變中有不變22 由這一觀點(diǎn)自然的延伸,就可以想到描述平面圖形對(duì)稱性強(qiáng)弱的一種量化的方法.這就是把所有使某平面圖形K不變的“保距變換”放在一起,構(gòu)成一個(gè)集合,記為S(K)并稱其為K的對(duì)稱集.注意：233. 抽象觀點(diǎn)與具體例子的對(duì)照 正三角形與正方形誰更對(duì)稱一些？答：正方形比正三角形更對(duì)稱一些。 24 4. 小結(jié) 從 “對(duì)稱”的現(xiàn)象，到發(fā)現(xiàn) “變中有不變” 的本質(zhì)，再提出“保距變換”；把保持圖形K不變的“保距變換”放

9、到一起，構(gòu)成一個(gè)集合，稱之為“K 的對(duì)稱集”，用它來描述K的對(duì)稱性；最后，我們把其中元素的個(gè)數(shù)，作為衡量平面圖形的對(duì)稱性強(qiáng)弱的一個(gè)量化指標(biāo)。然后，再對(duì)照例子，驗(yàn)證我們的理論。 “從實(shí)踐中來，又到實(shí)踐中去”，反觀前面關(guān)于“對(duì)稱”的例子。S(K)=2S(K)=12S(K)=225S(K)=2S(K)=2S(K)=?26 三、子集的對(duì)稱 把討論 “平面圖形的對(duì)稱” 中形成的數(shù)學(xué)思想提煉出來，用“子集的對(duì)稱”的語言來統(tǒng)一地描述任一客觀事物的“對(duì)稱”。任一客觀事物都可以看作某一個(gè)集合M的子集 MN27 2.子集的對(duì)稱 MN考慮M上的有特點(diǎn)的可逆變換 1. 集合上的可逆變換 設(shè)M是一個(gè)集合，則M到自身的一

10、個(gè)映射稱為“M上的一個(gè)變換”；M到自身的一個(gè)可逆映射稱為“M上的一個(gè)可逆變換”。28 變中有不變，“變”,是指集合M上有特點(diǎn)的一些可逆變換,每個(gè)可逆變換 都“改變”了集合M中的元素和子集.這里的“不變”,是指對(duì)于M的一個(gè)具體的子集N,有些 在整體上保持N不變,即 。稱這樣的 為“N的對(duì)稱變換”.把所有這樣的“對(duì)稱變換”放到一起,構(gòu)成一個(gè)集合,記為稱為“N的對(duì)稱集”，用來描述N的對(duì)稱性。與S(K )對(duì)照，基本精神是一致的。變中有不變29 3. 小結(jié) 這里用大量篇幅，從特殊到一般，把“對(duì)稱”的本質(zhì)抽象出來，定義了數(shù)學(xué)意義上的對(duì)稱；又從一般到特殊，用抽象觀點(diǎn)來返觀客觀實(shí)際中“對(duì)稱”的例子，看到抽象觀

11、點(diǎn)與感性認(rèn)識(shí)是吻合的。所以說，抽象來源于直觀，高于直觀，而且能反映直觀，指導(dǎo)直觀，并通過直觀來檢驗(yàn)。這是一種數(shù)學(xué)方式的理性思維。這一點(diǎn)在哲學(xué)上的敘述為：理論來源于實(shí)踐，高于實(shí)踐，而且能反映實(shí)踐，指導(dǎo)實(shí)踐，并通過實(shí)踐來檢驗(yàn)。30四、對(duì)稱變換群 上面把“對(duì)稱”這一概念，用集合及變換的語言嚴(yán)格敘述出來了，并由此給出了“子集N的對(duì)稱變換”和“子集N的對(duì)稱集S(N)”的概念，并用它們來描述N的對(duì)稱性。 子集N的對(duì)稱集S(N)，不是一個(gè)普通的集合，而是一個(gè)具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合。它的結(jié)構(gòu)表現(xiàn)在：S(N)中有運(yùn)算，即 S(N) 中任意兩個(gè)元素的相繼作用，記為 ；運(yùn)算還有規(guī)律，這些規(guī)律如下： 31S(N)中任意兩

12、個(gè)元素 , 相繼作用的結(jié)果仍保持N整體不變，故 仍在S(N)中,稱之為S(N)中的運(yùn)算滿足封閉律(一般說“運(yùn)算”,就隱含封閉,為強(qiáng)調(diào),單列一條)；S(N)中任意三個(gè)元素 的運(yùn)算，都有稱之為S(N)中的運(yùn)算滿足結(jié)合律；32S(N)中總有一個(gè)特殊的元素即恒等變換，它如同數(shù)的乘法中的1，與任何元素作運(yùn)算都保持該元素不變，稱之為S(N)中的運(yùn)算滿足幺元律；對(duì)S(N)中任一元素 ，S(N)中一定有一個(gè)元素 ，使 與 相繼作用的效果，恰相當(dāng)于中的恒等變換，即不動(dòng)， 稱為 的逆元，這稱為S(N)中的運(yùn)算滿足逆元律。N的對(duì)稱集S(N) 叫作“N的對(duì)稱變換群”。“對(duì)稱即群”33封閉律 有 ；五、群的定義 定義

13、設(shè)G是一個(gè)帶有運(yùn)算“ ”的非空集合，且其中的運(yùn)算滿足以下四個(gè)條件，則稱G； 是一個(gè)群 結(jié)合律 有 ；幺元律 存在 使 ， 有 ，稱e為幺元； 逆元律 ，存在 ，使 稱b為a的逆元。 群G； 也簡(jiǎn)記為G 34-由自然數(shù)和實(shí)數(shù)的加法構(gòu)成一個(gè)群?jiǎn)?？我們見過群?jiǎn)幔?群的舉例生活中的“群” “向左轉(zhuǎn)”；“向右轉(zhuǎn)”；“向后轉(zhuǎn)”；“不動(dòng)”這是由4個(gè)元素構(gòu)成的“群” 嗎？-由有理數(shù)和實(shí)數(shù)的加法構(gòu)成一個(gè)群。-由實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)的加法構(gòu)成一個(gè)群。-由正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)的加法構(gòu)成一個(gè)群。35群的應(yīng)用在晶體分類上的應(yīng)用 (230種)物理上的各種守恒定律 (楊振寧：“我學(xué)到了群論的美妙 和它在物理中深入的應(yīng)用，對(duì)我后來的工作有決定性的影響?！?用變換群下不變量的觀點(diǎn)統(tǒng)一地考察幾何學(xué)在討論“5次方程根式解”問題上的應(yīng)用36課下查書和思考 1.“群”的理論在討論“5次方程根式解”問題上的應(yīng)用 伽羅瓦探尋“方程可用根式解”的總思路： 不再去尋找求根公式，而是從“根集的置換”的角度去考慮問題。 拉格朗日、高斯、魯菲尼、阿貝爾引入“根集的置換”。 伽羅瓦引入”群”、“域”，創(chuàng)立“伽羅瓦理論”。2.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)