2022年《微積分》教案

1、學(xué)習(xí)好資料函歡迎下載第一章數(shù)一、預(yù)備學(xué)問（一）集合1、集合的概念：具有某種共同屬性的事物的全體叫做集合 ,用 A , B , C , 表示；集合中的每個事物稱為該集合的 元素 ,用 a , b , c , 表示；2、集合的表示法：（1）列舉法：把全部元素都列舉在大括號中；（2）描述法：把全部元素的共同特性描述出來；3、集合的運(yùn)算：（1）全集與空集 ：由所爭論的全部事物構(gòu)成的集合稱為 形表示；不包含任何元素的集合稱為空集,記作；全集 ,記作 U ；在圖形表示中用長方（2）子集 ：假如集合 A的每一個元素都是集合 B的元素, 就稱A是B的子集 ,記作 A B 或B A；（3）集合相等 ：兩個集合

2、A 、 B ,如 A B 且 B A,就稱 A與 B 相等 ,記作 A B；（4）并集 ：屬于 A 或?qū)儆?B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的并集,記作 A B；（5）交集 ：既屬于 A 又屬于 B 的全部元素組成的集合稱為 A 與 B 的交集,記作 A B；（6）差集 ：屬于 A 而不屬于 B 的全部元素組成的集合稱為 A與B的差集,記作 A B；（7）補(bǔ)集 ：如集合 A 是全集 S 的子集,就 S 中不屬于 A 的元素所組成的集合稱為 A的補(bǔ)集 ,記作 A ；4數(shù)集表示 ：自然數(shù)集 N ,整數(shù)集 Z ,有理數(shù)集 Q ,實(shí)數(shù)集 R；例 1：（1）寫出x1 xB2 0及x1 x2 0的解

3、集 . ,AB . 解：x1 x2 0 xx1x2 ,12；x1 x2 0 xx1x2；（2）如Axx1,x0 x3,就 A. 解：Axx1 ,ABxx1 且x,03 xx0（二）實(shí)數(shù)集1、概念（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸 ：學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)；具有原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線稱為數(shù)軸；（2）肯定值 ：|x|x ,x0 x ,x0（3）區(qū)間 ：有限區(qū)間：a ,b,a,b,a,b ,a,b,必需ab；無限區(qū)間：a ,a,b ,b ,（4）x 點(diǎn)的鄰域 ：x0|x 0,x0；實(shí)心鄰域：x|x空心鄰域：x0|xx0|x 0,x 0 x0,x 02、運(yùn)算技能（1）不等式組的解是全部不等式

4、解集的交集,ax b , , , , c 的解要留意 a 的正負(fù)性；（2）二次不等式 ax 2 bx c , , , , t,（ a 除到右邊去） ； t 是負(fù)數(shù)時(shí),依據(jù)在任何實(shí)數(shù)的平方0 的屬性分析出訪不等式成立的 x 的取值范疇 t 是非負(fù)數(shù)時(shí),不等式兩端同時(shí)開放取肯定值,化為肯定值不等式求解解集例 2：求解x22x30 ,x22x30 ,2x24x60,3x216x60；解：x22x30 x1 22,解集是實(shí)數(shù)集R；x22x30 x122,不等式無解；,32x24x60 x1 24|x1|2,解集為3x26x60 x1 23|x1|3,解集為13,13；求解；|x1|2也可利用二次函數(shù)y

5、ax2bxc的圖像求解：（3）簡潔指數(shù)不等式,axb,兩邊取自然對數(shù)xlnalnb例 3：求解3x100；解：取自然對數(shù)得xln3ln10 ,ln30,不等式解集為x（4）簡潔對數(shù)不等式logafxba1 ,fxab例 4：求解lnx22x204解：lnx22x20 x22x2e0 x1 2,3,1（5）復(fù)雜肯定值根式不等式要用爭論的方式去掉肯定值符號再求解；例 5：求解|x3|2x5|2332xx5x25x10解：1）x5 2時(shí),原不等式為x22）3x5 2時(shí),原不等式為x522x5023）x3時(shí),原不等式為x3522,無解,原不等式解為0,10學(xué)習(xí)好資料歡迎下載二、函數(shù)關(guān)系（一）概念定義

6、：如 D 是一個非空實(shí)數(shù)集合,設(shè)有一個對應(yīng)規(guī)章 f ,使每一個 x D 都有一個確定的實(shí)數(shù) y 與之對應(yīng), 就稱這個對應(yīng)規(guī)章 f 為定義在 D 上的一個函數(shù)關(guān)系,或稱變量 y 是變量 x 的函數(shù),記作 y f x , x D；x 稱為自變量,y 稱為因變量；集合 D 稱為函數(shù)的定義域,也可記作 D f ；留意 ：（1）定義域D f非空,照實(shí)數(shù)范疇內(nèi)ysin x2就構(gòu)不成函數(shù)關(guān)系；（2）單值函數(shù),自變量取定一個值時(shí),與之對應(yīng)的函數(shù)值只有一個（過定義域內(nèi)任意一點(diǎn)、垂直于橫軸的直線與函數(shù)圖像只有一個交點(diǎn)）；y252 x和例如y225x2,x一旦取定,對應(yīng)的y 有兩個,稱為多值函數(shù),把y25x2稱為多

7、值函數(shù)y25x2的兩個單值支；不作特殊說明,今后提到的函數(shù)都是單值函數(shù)；（二）表示法1、公式法 ：優(yōu)點(diǎn)是簡潔明確,便于理論分析,但不夠直觀；且在實(shí)際問題中許多函數(shù)關(guān)系不能用解析式表達(dá)；2、表格法 ：優(yōu)點(diǎn)是查可以直接由表中自變量的值查出對應(yīng)的函數(shù)值,如數(shù)學(xué)用表,但表中所列的值是有限的、不便于作理論分析；3、圖像法 ：優(yōu)點(diǎn)鮮明直觀,但不便于作理論分析；以上三種方法各有優(yōu)劣,在今后學(xué)習(xí)中可交替使用；（三）運(yùn)算技能1、確定函數(shù)的定義域?qū)嶋H問題（略） ；一般函數(shù),定義域就是使函數(shù)值存在的自變量取值范疇 如f1,就fx0；x,就1fx1；x 如y2kfx,就fx0； 如ylogafx,就fx0； 如yar

8、csinfx或yarccosf 分段函數(shù)的定義域是各個部分自變量取值的并集；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 由幾項(xiàng)代數(shù)和構(gòu)成的函數(shù),其定義域是各項(xiàng)定義域的公共部分； 如fx的定義域是a,b,就fx的定義域由axb解出；例 1：填空：（1）ylgx23x2的定義域是；,2由x2x23 x2200 x23x20 x23 x22x332lg2 x3 x213 x2222解得函數(shù)的定義域?yàn)?0 ,3（2）ylncosx的定義域是；由cosx0可以求出函數(shù)的定義域是（用弧度表示的一、四象限的角,）無窮多個區(qū)間,2k2,2k2k0 ,12,（3）yarcsinlnx的定義域是；e由1lnx11lnxlne10lnx

9、2,函數(shù)的定義域是1 ,e2e例 2：ygx 25x2的定義域是5,0,就gx（）（A ）sinx（ B）cosx（C）tanx（D）cotx按已知條件,gx必需在5,0,內(nèi)有意義且g x0,tanx與cotx分別在20 點(diǎn)無意義；cosx在2,內(nèi)非正；選（ A）例 3：fx 2 x1 ,x,2x04,求f x4的定義域0 x解：f2x4 2 2 x144 ,22x4044x 110 ,x24,02x44,2x2 x2x定義域是,4或：fx的定義域是,4,由2x44解出f x4 的定義域是x4；2、判定兩個函數(shù)相同確定函數(shù)的主要因素是定義域與對應(yīng)規(guī)律,兩個函數(shù)只有在定義域與對應(yīng)規(guī)律都相同時(shí),才

10、表示同一個函數(shù)；有時(shí)也可以通過值域觀看；例 4：判定以下函數(shù)是否相同（1）fx lnx22x3 ,gxlnx1 lnx3；（2）fx x11,g學(xué)習(xí)好資料,1x4歡迎下載x112；2x（3）fx |3x|,gx 3 x；343 413 x ,x3（4）fx 1cos2x,gx 2sinx；解：（1）定義域不同,兩個不函數(shù)不相等；（2）定義域都是 R,依據(jù)肯定值概念,對應(yīng)規(guī)律也相同,所以相等；（3）對應(yīng)規(guī)律就不同,所以不相等；（4）值域不同,不相等1cos2x2|sinx|練習(xí) ：判定以下函數(shù)是否相等（1）fx 2arcsinx與gxarccosx；（2）fx ln1x與gx ln1xlnx3

11、；相等；x3（3）fx x2與gxx；不相等（定義域不相同）x解：（1）定義域相同,對應(yīng)規(guī)律也相同,相等；（2）定義域相同,對應(yīng)規(guī)律也相同,相等；（3）定義域不相同,不相等3、運(yùn)算函數(shù)值當(dāng) x 取x 時(shí),函數(shù)yfx對應(yīng)的函數(shù)值記作fx0或yxx 0,如函數(shù)對應(yīng)規(guī)律由解析式確定,只要將表達(dá)式中的x 換成x 即得fx0,分段函數(shù)要留意依據(jù)自變量的條件選準(zhǔn)相應(yīng)的表達(dá)式；練習(xí) ：設(shè)fx ,1x0,gx1 x2x1,求f3 ,f0 ,f1,f x1 ,x ,x0gx,fgx,g fx；,f1 1,1,1x x1 3 1 3guu2u1,解：f3 1,f00f3x1 3 x求g x ,作變量替換, 令ux

12、1,即xu1,代入gx1表達(dá)式中得,也就是gx x2x1；0,而gx0無解,所以fgx x2x1；fgxg,1gx x ,gx 0gfx fx 2f學(xué)習(xí)好資料1,1x0歡迎下載x12 1x2x,1x0（四）幾個特殊形式的函數(shù)1 多值函數(shù) ：如y92 x,yx,Arcsinx（ A 起頭的反三角函數(shù)都是多值函數(shù)）；2 隱函數(shù) ：對應(yīng)規(guī)章用一個方程Fy0表示的函數(shù),稱為隱函數(shù)；如xy1；3 分段函數(shù)： 函數(shù)定義域被分成如干個互不相交的部分,在不同的部分上,函數(shù)有著不同的對應(yīng)規(guī)律,這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)；sin x ,1 x 0例如 f x 0 , x 0 就是一個分段函數(shù),其定義域是 R2 x ,

13、1 x 0要點(diǎn) ：（1）分段函數(shù)是由幾個公式表達(dá)的一個函數(shù),對應(yīng)一個自變量只有一個函數(shù)值,求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),要依據(jù)自變量滿意的條件去套用適當(dāng)?shù)墓?；如上例中f2sin21,f000,f 32315（2）在不同的區(qū)間上,分段函數(shù)的表達(dá)式不同,圖像通常是一些互不相交的曲線段；一個常見的分段函數(shù)是符號函數(shù)ysgnx,1x00 ,x0,1x0學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載三、函數(shù)的幾種簡潔性質(zhì)（一）奇偶性 （定義域必需是對稱區(qū)間）1、概念（1）定義 ：給定函數(shù)yf x ffx為奇函數(shù)； 假如對于全部的xD f,有fxfx ,就稱 假如對于全部的xD f,有fxfx,就稱x為偶函數(shù)；（2）圖像特點(diǎn) ：奇函數(shù)的

14、圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對稱；（3）fx fx 2,0fx 為奇函數(shù)fx ,fx 為偶函數(shù)練習(xí)：判定以下函數(shù)的奇偶性fx lnxx21 ；h xa11；gx11x21 2x2,0 xax12解：fx fx x21lnlnxx21 lnxxfx l n x2 x1 是奇函數(shù)；ax1a1hx非奇非偶h x a111hxx1ax1ax11axax1gxgxax11ax1ax1 x1gx 是奇函數(shù)；0121ax21a2、奇偶函數(shù)的性質(zhì)奇 奇奇；偶 偶偶；奇 奇偶；偶 偶偶；奇 偶奇如yxcosx是（偶函數(shù)） ,yx992tanx是（奇函數(shù)）是奇函數(shù)sinx補(bǔ)充：設(shè)fx是定義在 R 上的

15、實(shí)函數(shù),證明fxfx（二）周期性定義 ：對于函數(shù)yfx,假如存在正的常數(shù)T ,使得fxfxT恒成立,就稱此函數(shù)為周期函數(shù)；滿意這個等式的最小正數(shù)T ,稱為函數(shù)的周期；三角函數(shù)都是周期函數(shù),ysinx ,ycosx都是以 2為周期,ytanx ,ycotx都是以為周期；yAsinax的周期是2（a0）以T 為周期的周期函數(shù)；aa如fx 是以 T （T0）為周期的周期函數(shù),就fax（三）單調(diào)性定義 ：設(shè)函數(shù)yfx學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1x 和x ,當(dāng)x 1x2在區(qū)間a,b內(nèi)有定義, 對區(qū)間a,b內(nèi)任意兩點(diǎn)時(shí) , 如 有fx 1fx2, 就 稱 函 數(shù)f x 在 區(qū) 間a,b內(nèi) 單 調(diào) 增 加 或 單

16、調(diào) 遞 增 ； 如 有fx 1fx2,就稱函數(shù)fx在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)削減或單調(diào)遞減；練習(xí)：判定以下函數(shù)的單調(diào)性（1）yex,ylnx在定義域內(nèi)（嚴(yán)格單增） ；2,3內(nèi)（嚴(yán)格單（2）yy1x,y53x在定義域內(nèi)（嚴(yán)格單增）；e x,2（3）ysinx在定義域內(nèi)（不單調(diào)） ；在2,2內(nèi)（嚴(yán)格單增） ；在2減）（4）符號函數(shù)ysgnx1 ,x0在定義域內(nèi)（單調(diào)遞增） ；0 ,x0,1x0（四）有界性恒有定義 ：設(shè)函數(shù)yfx在a,b內(nèi)有定義,假如存在一個正數(shù)M ,對于全部的xa,b,|fx|M成立,就稱函數(shù)yM ,就稱函fx在a,b 內(nèi)有界；假如不存在這樣的正數(shù)數(shù)yfx在a ,b內(nèi)無界；留意： 1、通

17、常爭論函數(shù)是否有界是相對于某個區(qū)間而言；如yex在,內(nèi)是無界的,在|1,0內(nèi)卻是有界的；112x211121；2、幾個常見的在R 內(nèi)有界的函數(shù)f,0|sinx|1,|cosfxxx四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)（一）反函數(shù)1、概念定義 ：設(shè)yf x 是定義在D f上的一個函數(shù),值域?yàn)閆 f,假如對每一個yZ f有一個確定的且滿意yf x 的xD f與之對應(yīng),其對應(yīng)規(guī)章記作f1,這個定義在Z f上的函數(shù)xf1 y稱為yfx的反函數(shù),或稱它們互為反函數(shù)；1 y 習(xí)慣上用 x 表示自變量, y 表示因變量； 因此我們將xyf改寫為以 x 為自變量、 以 y 為 的反函數(shù)；因變量的函數(shù)關(guān)系yf1 x,這時(shí)我們說

18、yf1 x 是fx要點(diǎn)：（1）只有一一對應(yīng)的函數(shù)（自變量不同時(shí)因變量也不同）才有反函數(shù),多值函數(shù)的反函數(shù)可以依據(jù)原自變量（反函數(shù)的因變量）的取值范疇分成幾個；如yx2在x0 ,內(nèi)的反函數(shù)是yx,在x,0 內(nèi)的反函數(shù)是yx；（2）函數(shù)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載yfx與其反函數(shù)yf1 x的定義域?yàn)?、值域位置交換可得；y 為自變量,表達(dá)式 x f 1 y1 x ,圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于直線,圖像與原函數(shù)圖（3）yf x 的反函數(shù)有兩個,一個以像重合；一個以x 為自變量,表達(dá)式y(tǒng)fyx對稱；xx2、求反函數(shù)步驟中解出,得到xf1 y；yy37,這時(shí)1 把 x 作為未知數(shù),從方程yf xyf1 y 2 所得的表達(dá)

19、式中x 與 y 對換,即得練習(xí) ：求ye2x3的反函數(shù)解：兩邊取對數(shù)lny2x3 lne ,2x3lny,得到xf1yln2所以ye2x3的反函數(shù)是yf1xlnx32例 1、設(shè)fx3x4 ,12xx21,就f1 x x210 ,2y100ex,2x4解：分別求出各區(qū)間上的反函數(shù)與定義域（原函數(shù)的值域）；1）在,21 內(nèi),yfx3x4是增函數(shù),f2yf 1 ,即f1y y34；時(shí)2）當(dāng)x,12 時(shí),yfxx210是增函數(shù),9y6,這時(shí)xy10e4,這3）在2 ,4內(nèi),y100ex是減函數(shù),f2yf4,即100ex100f1yln100y所以f1xx 10 x 4,3ln 100,x ,9x476

20、100e2xx100e（二）復(fù)合函數(shù)1、概念 ：就稱定義 ：設(shè)函數(shù)yfu 的定義域?yàn)镈 f,如ux 的值域?yàn)閆,DfZ非空,yfx為復(fù)合函數(shù),x 為自變量, y 為因變量, u 稱為中間變量；非空；要點(diǎn)：（1）yfu,ux可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是DfZ（2）中間變量可以有好幾個2、運(yùn)算技能（1）把幾個函數(shù)復(fù)合成一個函數(shù),與求函數(shù)值完全相同,用代入法；練習(xí) ：（1）fxsinx1,x 2 x1,求ffx,fx,fx；解：ffxsinfx 學(xué)習(xí)好資料x1 1；歡迎下載1sinsinfxsinx1sinx211；fgx,g fxfxf2x1sin2x11；（2）fx x e,x1,gx2x1,求x,

21、2x1解：fgx g ex,g x1e2x1,x0 0；gx,2x 12x,1x g fx2fx22 e x,2x12x,6x1分段函數(shù)與分段函數(shù)的復(fù)合要顯得復(fù)雜一些,可以借助圖形幫忙分析；例 1：fx 2x,1x22,gxx e,x0,求g fx0；sinx ,23x ,x0 x解：g fxefx,fx 0,畫出中間變量的圖像,可以看出3fx ,fx 0sinx,1x時(shí),fx2x10；當(dāng)x,2時(shí),fx 2x1,2時(shí),fx 2x10；當(dāng)x2,時(shí),fx sinx02e2x1,x1122所以g fx6x3x23sinx,2x2sin ex,x（2）把復(fù)雜函數(shù)分解成幾個簡潔函數(shù)；在高數(shù)運(yùn)算中, 為便

22、于對函數(shù)進(jìn)行爭論,經(jīng)常需要把一個紛雜的函數(shù)看成由幾個簡潔函數(shù)（基本初等函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)）復(fù)合而成,這就是復(fù)合函數(shù)的分解；例 2：函數(shù)ytanlnx21 可看成由哪些簡潔函數(shù)復(fù)合而成？得雜函數(shù)從外到內(nèi),逐層畫上矩形框,每個矩形框用一個中間變量來表示；解：可看成由ytanu,uy,fx 2tanlnx21 lnvvx1復(fù)合而成；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載五、初等函數(shù)（一）基本初等函數(shù) ：（六大類,要記住它們的定義域、基本性質(zhì)、圖像）1、常數(shù)函數(shù)yyxC（ C 為實(shí)常數(shù)）x 軸的直線；其定義域?yàn)?圖形是一條平行于2、冪函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）其定義域隨 值的不同而不同,但不管 的值是多少,它在 ,0 內(nèi)總

23、是有定義的；當(dāng) 0 時(shí),其圖形都通過原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（ 1,1）,在 0 , 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加且無界；當(dāng) 0時(shí),其圖形都通過點(diǎn)（1, 1）,在 0 , 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)削減且無界；常用的幾種冪函數(shù)的圖形如下：3、指數(shù)函數(shù)yax（a0且a1）其定義域?yàn)?不論 x 為何值, 總有axx0,且a01,所以它的圖形總是在x 軸的上方,且通過點(diǎn)（0,1）；（如下圖）是微積分中常用的指數(shù)函數(shù)；當(dāng)a1時(shí),函數(shù)yax嚴(yán)格單調(diào)增加且無界；當(dāng)0a1時(shí),函數(shù)yax嚴(yán)格單調(diào)削減且無界；以無理數(shù)e.27182818為底的指數(shù)函數(shù)ye4、對數(shù)函數(shù)yloga學(xué)習(xí)好資料1）歡迎下載x（a0且a它的定義域?yàn)?0 , ,不論 a 為何值,對數(shù)曲線都通過點(diǎn)（1,0）；（如下圖）當(dāng) a 1 時(shí),函數(shù) y log a