《高等代數(shù)》第五章矩陣課件

1、主要內(nèi)容問題的提出第一節(jié) 二次型及其矩陣表示二次型的定義及矩陣表示線性替換合同矩陣第1頁，共122頁。 在解析幾何中, 為了便于研究二次曲線把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形的幾何性質(zhì), 我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌?，作轉(zhuǎn)軸 ax2 + 2bxy + cy2 = f (1)(反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸)一、問題的提出第2頁，共122頁。變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問題.(1) 式的左邊是一個(gè)二次多項(xiàng)式, 從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看, 化標(biāo)準(zhǔn)的過程就是通過變量的線性替換(2) 化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式, 使它只含有平方項(xiàng). 這樣一個(gè)問題, 在許多理論問題或?qū)嶋H問題中常會(huì)遇到. 現(xiàn)在我們把這類問題一般化, 討論 n 個(gè)第3頁，共122頁。二、二次

2、型的定義及矩陣表示f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn (3)稱為數(shù)域 P 上的一個(gè) n 元二次型，簡(jiǎn)稱二次1. 定義定義1 設(shè) P 是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域 P 中的 x1 , x2 , , xn 二次齊次多項(xiàng)式型.第4頁，共122頁。2. 二次型的矩陣表示設(shè)有二次型f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn .令aij = aji ,

3、i 1 )不失一般性，設(shè) a12 0 .令它是非退化的線性替換，且使第31頁，共122頁。f ( x1 , x2 , , xn ) = 2a12x1x2 + .= 2a12(z1 + z2)(z1 - z2) + .= 2a12z12 -2a12z22 + ,這時(shí)上式右端是 z1 , z2 , , zn 的二次型，且 z12 的系數(shù)不為零，屬于第一種情況，定理成立.3) a11 = a12 = = a1n = 0 .由對(duì)稱性，有a21 = a31 = = an1 = 0 .第32頁，共122頁。這時(shí)是 n - 1 元二次型，根據(jù)歸納法假設(shè)，它能用非退化線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形.這樣我們就完成了定理的

4、證明.證畢第33頁，共122頁。不難看出，標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，d1x12 + d2x22 + + dnxn2反過來，矩陣為對(duì)角形的二次型就只含平方項(xiàng).按上一節(jié)的討論，經(jīng)過非退化的線性替換，二次型的矩陣變到一個(gè)合同的矩陣，因此，用矩陣的語言，第34頁，共122頁。定理 1 可以敘述為：定理 2 在數(shù)域 P 上，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一對(duì)角矩陣.定理 2 也就是說，對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱矩陣 A都可以找到一個(gè)可逆矩陣 C 使CTAC成為對(duì)角矩陣.第35頁，共122頁。例 1 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解由于二次型的平方項(xiàng)的系數(shù)全為零，故屬于定理 1 的證明過程中的第二種情形，作非退化線性替換第36

5、頁，共122頁。則再令即第37頁，共122頁。則最后令即第38頁，共122頁。則這即為標(biāo)準(zhǔn)形，而這幾次線性替換的結(jié)果相當(dāng)于作一個(gè)總的線性替換，第39頁，共122頁。例 2 用配方法把三元二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性替換及變換矩陣.第40頁，共122頁。三、配方法的矩陣形式前面所講的配方法的過程，可以用矩陣寫出來.我們按前面的每一種情況寫出相應(yīng)的矩陣.情形一 a11 0這時(shí)的變數(shù)替換為第41頁，共122頁。該變數(shù)替換的矩陣為則上述變數(shù)替換相應(yīng)于合同變換A C1TAC1 .為了計(jì)算 C1TAC1 ，可令第42頁，共122頁。于是 A 和 C1 可寫成分塊矩陣其中 T 為 的轉(zhuǎn)置，En - 1

6、為 n - 1 級(jí)單位矩陣，于是第43頁，共122頁。第44頁，共122頁。矩陣 A1 - a11-1 T 是一個(gè) ( n - 1 ) ( n - 1 ) 對(duì)稱矩陣，由歸納法假設(shè)，有 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 可逆矩陣 G 使GT( A1 - a11-1 T )G = D為對(duì)角形.令于是第45頁，共122頁。這是一個(gè)對(duì)角矩陣.我們所要的可逆矩陣為C = C1C2 .第46頁，共122頁。情形二 a11 = 0 但有一個(gè) aii 0這時(shí)，只要把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第 i 列互換，就歸結(jié)成情形一，根據(jù)初等矩陣與初等變換的關(guān)系，取第47頁，共122頁。i行i 列

7、第48頁，共122頁。顯然P( 1 , i )T = P( 1, i ) .矩陣C1TAC1 = P( 1 , i ) A P( 1 , i )就是把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第i 列互換的結(jié)果.因此， C1TAC1 左上角第一個(gè)元素就是 aii ，這樣就歸結(jié)到第一種情形.第49頁，共122頁。情形三 aii = 0, i = 1, , n, 但有一 a1j 0, j 0與上一種情形類似，作合同變換P( 2 , j )TAP( 2 , j )可以把 a1j 搬到第一行第二列的位置，這樣就變成了配方法中的第二種情況.與那里的變數(shù)替換相對(duì)應(yīng)，取第50頁，共122頁。于是 C1TA

8、C1 的左上角就是也就歸結(jié)到第一種情形.第51頁，共122頁。情形四 a1j = 0, j = 1, , n由對(duì)稱性，aj1 , j = 1, 2, , n , 也全為零，于是A1 是 n - 1 級(jí)對(duì)稱矩陣.由歸納法假設(shè)，有n - 1 級(jí)可逆矩陣 G 使GTA1G = D成對(duì)角形.取CTAC 就成為對(duì)角形.第52頁，共122頁。例 3 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為第53頁，共122頁。因?yàn)?a11 = a22 = a33 = 0, 但 a12 0, 故屬于情形三取第54頁，共122頁。再取第55頁，共122頁。再取第56頁，共122頁。A3 已是對(duì)角矩陣，因此令就有第57

9、頁，共122頁。作非退化線性替換X = CY ,即得第58頁，共122頁。四、初等變換法在本節(jié)的最后，再來討論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的初等變換法.由本節(jié)知，對(duì)任意一個(gè)對(duì)稱矩陣 A都可以找到一個(gè)可逆矩陣 C 使CTAC成為對(duì)角矩陣.由于 C 可逆，由第四章知，存在初等矩陣 P1, P2 , , Pk , 有C = P1P2 Pk .第59頁，共122頁。 PkT P2TP1T A P1P2 Pk 于是為對(duì)角矩陣.這說明，任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣 A，可以經(jīng)過一系列相同類型的初等行、列變換化為對(duì)角形矩陣.這里所謂的相同類型的初等行、列變換指的是：每對(duì) A 進(jìn)行一次行變換，緊接著對(duì) A 進(jìn)行一次相同類型的列變換

10、.又因?yàn)镃 = P1P2 Pk =EP1P2 Pk ，所以，對(duì) A 作的列變換同樣施加于 E，即得變換矩陣 C .于是就有第60頁，共122頁。用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法是：將二次型的矩陣 A 與單位矩陣 E 構(gòu)造矩陣 B對(duì) B 作相同類型的初等行、列變換，直到 B 中的即為標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù).子塊 A 成為對(duì)角矩陣, 則 B 中原來對(duì)應(yīng)于 E 的部分即為線性變換矩陣.對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素第61頁，共122頁。例 4 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為第62頁，共122頁。構(gòu)造矩陣 B初等變換第63頁，共122頁。 所以二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 所用線性替換為第64頁，共12

11、2頁。例 5 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.第65頁，共122頁。主要內(nèi)容引例第 三 節(jié) 唯 一 性復(fù)數(shù)域的情形實(shí)數(shù)域的情形第66頁，共122頁。一、引例引例 二次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 的標(biāo)準(zhǔn)形.這個(gè)二次型是上一節(jié)中的例1，由此可知，二次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 經(jīng)過線性替換第67頁，共122頁。變成的標(biāo)準(zhǔn)形為可以驗(yàn)證，該二次型經(jīng)過線性替換第68頁，共122頁。就得到另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形這就說明，在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，而與所作的非退化線性替換有關(guān).但有一點(diǎn)是肯定的，即在一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，與所作的線

12、性替換無關(guān).這是因?yàn)?，?jīng)過非退化線性替換第69頁，共122頁。四章第四節(jié)合同的矩陣有相同的秩，這就是說，經(jīng)過非退化線性替換之后，二次型矩陣的秩是不變的.標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，而對(duì)角矩陣的秩就等于它對(duì)角線上不為零的元素的個(gè)數(shù).這就證明了標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的.于是，我們引入二次型秩的概念：二次型的矩陣變成了一個(gè)與之合同的矩陣.由第第70頁，共122頁。定義5 稱二次型矩陣的秩為二次型的秩.在本節(jié)中，我們要討論的問題是：在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域中，進(jìn)一步研究唯一性的問題.第71頁，共122頁。二、復(fù)數(shù)域的情形設(shè) f ( x1 , x2 , , xn ) 是一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型.由本

13、章經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換后f ( x1 , x2 , , xn ) 變成標(biāo)準(zhǔn)形.不妨假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)形是d1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,其中 r 是 f ( x1 , x2 , , xn ) 的矩陣的秩.因?yàn)閺?fù)數(shù)總可以開平方，所以我們?cè)僮饕环峭嘶€性替換第72頁，共122頁。第73頁，共122頁。d1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,就變成z12 + z22 + + zr2 .上式稱為復(fù)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的規(guī)范形.顯然規(guī)范形完全被原二次型矩陣的秩

14、所決定，因此有定理 3 任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.第74頁，共122頁。定理 3 換個(gè)說法就是定理 3 任一復(fù)數(shù)的對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)形式為的對(duì)角矩陣.從而有，兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.第75頁，共122頁。三、實(shí)數(shù)域的情形設(shè) f ( x1 , x2 , , xn ) 是一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型.由本章經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換，再適當(dāng)排列文字的次序，可使 f ( x1 , x2 , , xn ) 變成標(biāo)準(zhǔn)形d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 ,其中 di 0 , i = 1, ,

15、 r ; r 是 f ( x1 , x2 , , xn )的秩. 因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域中，正實(shí)數(shù)總可以開平方，所以再作一非退化線性替換第76頁，共122頁。第77頁，共122頁。二次型 d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 就變成z12 + + zp2 - z2p+1 - - zr2 .稱之為實(shí)二次型 f ( x1 , x2 , , xn )的規(guī)范形.顯然規(guī)范形完全被 r, p 這兩個(gè)數(shù)所決定.對(duì)于實(shí)系數(shù)二次型的規(guī)范形，我們有以下定理：定理 4 (慣性定理) 任意一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.第78頁，共122頁

16、。證明定理的前一半在上面已經(jīng)證明，下面就來證唯一性.設(shè)實(shí)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退化線性替換 X = BY 化成規(guī)范形f ( x1 , x2 , , xn ) = y12 + + yp2 - y2p+1 - - yr2 ,而經(jīng)過非退化線性替換 X = CZ 也化成規(guī)范形f ( x1 , x2 , , xn ) = z12 + + zq2 - z2q+1 - - zr2 .現(xiàn)在來證明 p = q .用反證法. 設(shè) p q .第79頁，共122頁。由以上假設(shè)，我們有y12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2 ,其中Z = C -1BY

17、 .令第80頁，共122頁。則有于是可得關(guān)于y1,yp ,yp+1, yn的齊次線性方程組為了從等式y(tǒng)12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2中找到矛盾，令 yp+1 = = yn = 0 , z1 = = zq = 0,第81頁，共122頁。該方程組含有 n 個(gè)未知量，而含有q + ( n - p ) = n - ( p - q ) 0 ,而它的右邊為- z2q+1 - - zr2 0 ,第83頁，共122頁。這是一個(gè)矛盾，它說明假設(shè) p q 是不對(duì)的.因此就有 p q .同理可證 q p ， 從而 p = q .這就證明了規(guī)范形的唯一性.定義 6 在實(shí)二次型

18、 f ( x1 , x2 , , xn ) 的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) p 稱為 f ( x1 , x2 , , xn ) 的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) r - p 稱為 f ( x1 , x2 , , xn ) 的負(fù)慣性指數(shù)；它們的差 p - ( r - p ) = 2p - r 稱為 f ( x1 , x2 , , xn ) 的符號(hào)差.第84頁，共122頁。應(yīng)該指出，雖然實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，但是由上面化成規(guī)范形的過程可以看出，標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與規(guī)范形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是一致的.因此，慣性定理也可以敘述為：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，它等于正慣性

19、指數(shù)，而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)就等于負(fù)慣性指數(shù).把上述關(guān)于二次型的規(guī)范形的結(jié)論，移置到矩陣上來，就是第85頁，共122頁。定理 5 (1) 任一復(fù)對(duì)稱矩陣 A 都合同于一個(gè)下述形式的對(duì)角矩陣：其中對(duì)角線上 1 的個(gè)數(shù) r 等于 A 的秩.第86頁，共122頁。(2) 任一實(shí)對(duì)稱矩陣 A 都合同于一個(gè)下述形式的對(duì)角矩陣：第87頁，共122頁。其中對(duì)角線上 1 的個(gè)數(shù) p 及 -1 的個(gè)數(shù) r - p ( r 是 A的秩)都是唯一確定的，分別稱為 A 的正、負(fù)慣性指數(shù).它們的差 2p - r 稱為 A 的符號(hào)差.第88頁，共122頁。主要內(nèi)容正定二次型的定義第四節(jié) 正定二次型實(shí)二次型正定性的判別方

20、法實(shí)二次型的其他類型及其判別法正定矩陣的應(yīng)用舉例第89頁，共122頁。一、正定二次型的定義在實(shí)二次型中，正定二次型占有特殊的地位.因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣在工程技術(shù)和最優(yōu)化等問題中有著廣泛的應(yīng)用，討論多元函數(shù)極值的充分條件也要用到它.在這一節(jié)中，我們給出它的定義以及常用的判別條件.第90頁，共122頁。1. 定義定義 7 實(shí)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 稱為正定的，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) c1 , c2 , , cn 都有 f ( c1 , c2 , , cn ) 0 .第91頁，共122頁。2. 兩個(gè)基本結(jié)論1) 實(shí)二次型正定的充分必要條件是 di 0 , i =

21、 1, 2, , n .2) 非退化實(shí)線性替換保持正定性不變.第92頁，共122頁。二、實(shí)二次型正定性的判別方法定理 6 n 元實(shí)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于 n .證明設(shè)二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退化實(shí)線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形d1x12 + d2x22 + + dnxn2 1. 慣性指數(shù)法第93頁，共122頁。由前面討論的基本結(jié)論 1 知，該標(biāo)準(zhǔn)形是正定的當(dāng)且僅當(dāng) di 0 , i =1, 2, , n , 即正慣性指數(shù)為 n .再由基本結(jié)論 2 即得.證畢定理 6 說明，正定二次型 f ( x1 , x2

22、 , , xn ) 的規(guī)范形為y12 + y22 + + yn2 .第94頁，共122頁。定義 8 實(shí)對(duì)稱矩陣 A 稱為正定的，如果二次型XTAX正定.因?yàn)槎涡?x12 + x22 + + xn2 的矩陣是單位矩陣 E，所以一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同，由此得：推論 1 實(shí)對(duì)稱矩陣 A 正定的充分必要條件是存在可逆矩陣 C，使得 A = CTC.第95頁，共122頁。證明設(shè) A 為實(shí)對(duì)稱矩陣，則由實(shí)對(duì)稱矩陣 A 正定等價(jià)實(shí)二次型 XTAX 正定等價(jià)實(shí)二次型 XTAX 的規(guī)范型是 x12 + x22 + + xn2 實(shí)二次型 XTAX 的規(guī)范型是 x12 + x22 + +

23、xn2 等價(jià)存在可逆矩陣 C，使 A = CTEC = CTC .矩陣 A 與 E 合同等價(jià)證畢有第96頁，共122頁。推論 2 正定矩陣的行列式大于零.證明設(shè) A 是一正定矩陣，則由推論 1 知，存在可逆矩陣 C，使A = CTC .兩邊取行列式，就有| A | = | CT | | C | = | C |2 0 .證畢第97頁，共122頁。例 1 證明：若 A 是正定矩陣，則 A-1 也是正定的.證明由正定矩陣的定義知，正定矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，由推論 2 知，正定矩陣 A 是可逆的，且( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ，所以 A-1 也是實(shí)對(duì)稱矩陣.證明其正定性的方法很多.

24、第98頁，共122頁。例 2 用慣性指數(shù)法判斷三元二次型是否是正定二次型.第99頁，共122頁。2. 順序主子式法有時(shí)我們需要直接從二次型的矩陣來判別這個(gè)二次型是不是正定的，而不希望通過它的標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形.下面來解決這個(gè)問題.為此，引入定義 9 子式第100頁，共122頁。稱為矩陣 A = ( aij )nn 的順序主子式.定理 7 實(shí)二次型是正定的充分必要條件為矩陣 A 的順序主子式全大于零.證明先證必要性設(shè)二次型第101頁，共122頁。是正定的.對(duì)于每個(gè) k ，1 k n , 令我們來證 fk 是一個(gè) k 元的正定二次型.對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) c1 , , ck 有因此是正定的.由第102頁，共122頁。fk 的矩陣的行列式這就證明了矩陣 A 的順序主子式全大于零.再證充分性對(duì) n 作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng) n = 1 時(shí)，f ( x1 ) = a11x12 ,由條件 a11 0 顯然有 f ( x1 ) 是正定的.第103頁，共122頁。假設(shè)充分性的論斷對(duì)于 n - 1 元二次型已成立,現(xiàn)在來證 n 元的情形.令于是矩陣 A 可以分塊成第104頁，共122頁。既然