伯努利方程推導解析

1、第三章流體動力學基礎(chǔ)流體流動的描述、分類流體流動的連續(xù)性方程3理想流體運動的微分方程理想流體沿流線的伯努例方程5理想流體沿流線的伯努例方程16粘性流體的運動微分方程 TOC o 1-5 h z 宗蕉,1p dx di HYPERLINK l bookmark4 o Current Document Y亞=也p dydtp dzdt說明：對不可壓縮的和可壓縮的理想流體均適用.一般地，質(zhì)量力是已知的，式中共有未知數(shù)五個：p， P， 匕， 勺 匕以上三個方程式，若加上連續(xù)性方程及狀態(tài)方程就構(gòu)成 問題的完備方程組，再根據(jù)具體問題的初始和邊界條件, 就從理論上提供了求解這五個未知數(shù)的可能性.3.4理想流

2、體沿流線的伯努利方程以水頭線意義：反映了在重力作用下的理想不可壓縮流體穩(wěn)定流 動中，沿同一流域上，單位重量流體具有的位能、壓能 和動能的相互轉(zhuǎn)換和守恒關(guān)系.在科學史上，父子科學家、兄弟科學家并不 鮮見，然而，伯努利家族3代人中產(chǎn)生了 10 多位數(shù)學家、科學家，出類拔萃的至少有3位。一、公式推導對于歐拉方程，考慮以下特殊條件：1 .理想流體；2.穩(wěn)定流動；3.不可壓縮流體；4.質(zhì)量力只有重力；5.質(zhì)點沿一條特定流線運動。v I dp d dvX =p dx dt5vr dvxdvx+ 匕-+ vv - +v.-x dx dy，dz穩(wěn)定流動dv 二 0 dtw i dp加.ddp dxdxdydz

3、兩邊乘以dxXdx- - dxpdx. dvx .i -dx + v. -axy dy 、dz沿流線移動，流線微分方程式 dx dv dz / -=一vdv = vdx.vv dz =匕小.匚小=vdz耳，VVXs 1 dp J .d .執(zhí)：,d .、 Xdx-小=匕(dx d + dz) p dx dx dy , Szv*=vxd =d(隨)類似的，Zdz.vv- 2 ,上 2z(y= - 6 公 前亞& TOC o 1-5 h z Xdx- - -dx =(/() p ex21 dpv；Jv = J() pdy2I av2三式相加，一 萬和”嶺)(v2=v；+v；+vp(Xdx + Ydy

4、- Zdz) 一)(Zv +(Jv 4-t/z) = dC ) p 8x dy dz 2穩(wěn)定流下：dp = Ax +里d、T里也 dx dy dz質(zhì)量力只有重力：x = y = o, Z=-g不可壓縮流：p = constp v2七位一心=或)P 2 家任氏/-gdz-d(E)= d(5)P 2積分：(-g成-廣d(4=d(=)J巧JPi p 八 2有 L = Za + 以+%J-y 2g y 2gv( 0，EA點和2點處應(yīng)用連續(xù)性方程三4八rh J = 4,/j = Vj,因為出口管嘏而上速度均勻分布，故，=%.木京, .16Z|州Tao區(qū)一-一）+以_-儲 J）+ - 7_Y7 2g2PL

5、億-WR-打2g11 72= H）981O+LOlxlO5x981O 2x9.81= 23lxlO3/V/w2 （小于大氣壓）1718二，伯努利方程的應(yīng)用一畢托管用途：測量流場內(nèi)某點流速的儀器.依據(jù)：沿流線的伯努利方程.原型：直角管兩端開口，一端面向來流，另一端向上，管內(nèi)液面高出水面所A端形成一駐點（速度為0）,駐點處的壓力稱為總壓力.B點在A點的上游，與A點位于同一水平流線，不受側(cè)管影響.；：，,.?。?、應(yīng)用伯努利方程于A、B兩點:0+包+2 = 0+區(qū)7 2g /式中p為一總壓，Pa = K%+H）因為：Pa=7（Ho + H）Ps一將壓，PB =2至7動壓，N/2g（由運動產(chǎn)生的壓力）1

6、9Pb =陽）例題:一畢托管安裝在某煙道內(nèi)， 與畢托管連接的酒精壓差計讀數(shù) 為h=5mm,酒精的相對密度為 d=0.8,若煙氣溫度400 c時其重=5.13N/m3,求測點處煙氣=I2.3m/s213.5粘性流體的運動微分方程（實際流體運動的微分方程;NS方程）理想流體的伯努利 方程粘性流體的伯努 利方程基于牛頓第二 定律推導了理 想流體運動的 微分方程一 歐拉方程S曳勿& I- P 17 1- P _ - - X y ZdtP:dtX、Y、乙單位質(zhì)量流體所受的質(zhì) 量力在坐標軸方向上的三個分量。小MK應(yīng)用廣泛.但不能解決諸如二維 流動、三維流動的問題.故還需要用粘性流體運動的微分方程22理想流

7、體運動的微分方程一歐拉方程實際流體的流動也力力力小丁 = = = 型&曳分切az 1 - p 1 - p I P _ - - X y Z增加一個粘性項 TOC o 1-5 h z T、，、7：是作用在單位質(zhì)量流體上 J4的粘性力在x、丫、z軸上的投影。N/kg下面來求三個坐標軸上粘性力的投影.東京,23牛頓內(nèi)摩擦定律（又稱牛頓粘性定律）：y流體流動時流體的內(nèi)摩擦力（又稱粘性力） ，AT = rA NB CA：流體層接觸面的面積，m2。r:內(nèi)摩擦應(yīng)力或粘性應(yīng)力,N/m2（由速度梯度產(chǎn)生，作用F流體接觸面上,方向在X軸Eo）沿X軸方向的粘性力由在在三個方向上的 速度梯度產(chǎn)生。x軸方向上的粘性力（由

8、vx產(chǎn)生）：AC面上的粘性應(yīng)力：口=去EG面上的粘性應(yīng)力：“s=（y + Uv）C/X CAVv相對的兩表面上產(chǎn)生的粘性應(yīng)力方向相反,G J與k八方向相反所以，I在AC和EG兩個面上產(chǎn)生的粘性應(yīng)力之和為d2vx ,粘性力為：1 dxdvdz產(chǎn) dx2 J25Vv在AC和EG兩個面上產(chǎn)生的粘性力之和為dx2同理，在BE和CH二面上產(chǎn)生的粘性應(yīng)力之和為力粘性力為：8%t- dxdydz口、.在DE和CF兩個面上產(chǎn)生的粘性力在*做上之和為Li dxdvdz次*沿X軸方向的粘性力（由匕產(chǎn)生） 三式相加，得微元體六個面上的粘性力微軸上的投影:匕 a訕 ju -十 dxaydz + u 千 dxavdz + dx2 dy2 .pdxdyd卜式，得單位質(zhì)量流體在斕h方向上的粘性力用相同的方法可以