2021-2022學年河南省中原名校高二下學期第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 15 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 15 頁2021-2022學年河南省中原名校高二下學期第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1若是真命題，是假命題，則（）A是真命題B是假命題C是真命題D是真命題【答案】D【詳解】試題分析：因為是真命題，是假命題，所以是假命題，選項A錯誤，是真命題，選項B錯誤，是假命題，選項C錯誤，是真命題，選項D正確，故選D.【解析】真值表的應用.2已知拋物線準線方程為，則其標準方程為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，判斷拋物線的開

2、口方向并求出，即可得到拋物線的標準方程.【詳解】根據(jù)題意可知，拋物線開口向右且，故拋物線的標準方程為：.故選：C.3已知正方體中，E，F(xiàn)分別是它們所在線段的中點，則滿足平面的圖形個數(shù)為（）A0B1C2D3【答案】B【分析】平移直線，判斷平移后的直線：在平面上，則平面，與平面交于一點則不平行，即可得解【詳解】中，平移至，可知與面只有一個交點，則與平面不平行；中，由于，而平面，平面，故平面；中，平移至，可知與面只有一個交點，則與平面不平行；故選：B4方程表示橢圓的充要條件是（）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)為正數(shù)且不相等列不等式求解即可.【詳解】方程表示橢圓則，即；若，則表示橢圓，所以方程表示橢圓

3、的充要條件是，故選：B5已知橢圓：經(jīng)過點，且的離心率為，則的方程是（）ABCD【答案】A【分析】由題意將點代入橢圓方程，結合離心率公式即可得解.【詳解】依題意可得，解得，故的方程是.故選：A.【點睛】本題考查了通過橢圓經(jīng)過的點及離心率確定橢圓方程，考查了運算求解能力，屬于基礎題.6如圖，點M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點，則異面直線AM與BC1所成角的余弦值是（）ABCD【答案】A【分析】連接，根據(jù)異面直線所成角的定義，轉(zhuǎn)化為求（或其補角），然后在三角形中用余弦定理即可解得.【詳解】連接，如圖：易得，所以（或其補角）是異面直線AM與BC1所成角，設正方體的棱長為，在三角形中，

4、所以異面直線AM與BC1所成角的余弦值是.故選：A【點睛】本題考查了求異面直線所成角，通過找平行線轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成角（或其補角）是解題關鍵，屬于基礎題.7設，是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【詳解】試題分析：，,故選D.【解析】點線面的位置關系.8已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點且=c2，則此橢圓離心率的取值范圍是（）ABCD【答案】C【詳解】設，所以，選C.9過雙曲線的右焦點作軸的垂線與雙曲線交于兩點，為坐標原點，若的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）ABCD【答案】B【詳解】由題得

5、解（1）（2）得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選B.10如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為（）ABCD【答案】C【分析】以D為坐標原點， ，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求解.【詳解】如圖，以D為坐標原點， ，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標系，則從而.設平面的法向量為，則，即，得，令，則，所以點E到平面的距離為故選：C11如圖所示，平面四邊形中，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列說法中不正確的是（）A平面平面BC平面平面D平面【答案】D【分析】選項A . 由面面垂直的性

6、質(zhì)可得到平面，從而判斷；選項B. 由條件可得，根據(jù)面面垂直可得平面，從而可判斷；選項C. 由線面垂直的判定可得平面，從而可判斷；選項D. 若平面,則可得則，從而得到矛盾，即可判斷.【詳解】選項A . 由平面平面，平面平面,又，且平面，所以平面 由平面，所以平面平面，故A正確.選項B . 由上有平面，又平面，則，故B正確.選項C . 由上可知，且,所以平面, 又平面,所以平面平面，故C正確.選項D . 由上有平面，又平面，則 若平面，由平面,則,這與相矛盾，故D不正確.故選：D12設拋物線的焦點為，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為（）ABCD【答案

7、】C【分析】設，利用拋物線定義可得；在中根據(jù)余弦定理，利用表示出，結合基本不等式可求得的最大值.【詳解】設拋物線準線為，作，垂足分別為，設，由拋物線定義可知：，在中，由余弦定理得：，（當且僅當時取等號），即的最大值為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查拋物線中與線段長度有關的最值問題的求解，解題關鍵是能夠結合拋物線的定義，利用焦半徑表示出所需的線段長，從而利用基本不等式求得結果.二、填空題13已知向量 ，且 ，則實數(shù)_【答案】【分析】，利用向量的數(shù)量積的坐標運算即可.【詳解】，則，解得故答案為：14經(jīng)過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_【答案】【詳解】由題意設所求雙曲線的方程為，點在

8、雙曲線上，所求的雙曲線方程為，即答案：15函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是_【答案】【分析】對求導，由題設有恒成立，再利用導數(shù)求的最小值，即可求a的范圍.【詳解】由題設，又在 R上的單調(diào)遞增函數(shù)，恒成立，令，則，當時，則遞減；當時，則遞增.，故.故答案為：.16已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù),對任意實數(shù)都有,則不等式的解集為_.【答案】【詳解】令則，在R上是減函數(shù)又等價于故不等式的解集是答案：點睛：本題考查用構造函數(shù)的方法解不等式，即通過構造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時要注意常見的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構造函數(shù)；（2

9、）對于，可構造函數(shù)三、解答題17（1）請用分析法證明：；（2）請用反證法證明：設，則與中至少有一個不小于2【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）應用分析法，將要證的結論轉(zhuǎn)化為證明一個顯而易見的結論即可；（2）首先否定結論：假設與都小于2成立，結合基本不等式求證一個相互矛盾的結論即可.【詳解】證明：（1）要證：只需證：只需證：只需證：只需證：只需證：，而顯然成立，原不等式得證（2）假設結論不成立，即與都小于2，則而由基本不等式，知：，當且僅當時等號成立，與式矛盾，假設不成立，原命題成立18已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)

10、間 單調(diào)減區(qū)間 （2） 【詳解】試題分析：（1）對函數(shù)求導，令，解不等式，即得到遞增區(qū)間，令，解不等式，即得遞減區(qū)間；（2）若對恒成立，即對恒成立，所以問題轉(zhuǎn)化為求成立即可，即求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，根據(jù)第（1）問單調(diào)性，易求出函數(shù)在上的最小值，于是可以求出的取值范圍試題解析：（1）令，解得或， 令，解得：.故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，對恒成立，即，19甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布

11、列和數(shù)學期望.【答案】（）（）的分布列為0123的數(shù)學期望【詳解】試題分析：對于問題（I）由題目條件并結合間接法，即可求出乙投球的命中率；對于問題（II），首先列出兩人共命中的次數(shù)的所有可能的取值情況，再根據(jù)題目條件分別求出取各個值時所對應的概率，就可得到的分布列試題解析：（I）設“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為.（II）由題設知（I）知，可能取值為故，的分布列為 【解析】1、概率；2、離散型隨機變量及其分布列.20為推行“新課堂”教學法，某老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式在甲、乙兩個平行班進行教學實驗，為了解教學

12、效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，作出如圖所示的莖葉圖，若成績大于70分為“成績優(yōu)良”.(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”?甲班乙班總計成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計(2)從甲、乙兩班40個樣本中，成績在60分以下(不含60分)的學生中任意選取2人，記為所抽取的2人中來自乙班的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.附:K2=(n=a+b+c+d)，P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635【答案】(1)表格見解析，能(2)分布列見解析，【分析】

13、（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計出甲、乙兩班“成績優(yōu)良”及“成績不優(yōu)良”的人數(shù)，填入列聯(lián)表，計算的觀測值，與3.841進行比較即可得出結論.（2）根據(jù)莖葉圖得出的所有可能取值，分別計算概率，列出分布列，根據(jù)分布列求數(shù)學期望.【詳解】(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表如表所示：甲班乙班總計成績優(yōu)良101626成績不優(yōu)良10414總計202040根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”.(2)樣本中成績在60分以下的學生中甲班有4人，乙班有2人，所以的所有可能取值為，則=， =，則隨機變量的分布列為：012P則數(shù)學期望.21近年來，共

14、享單車進駐城市，綠色出行引領時尚.某公司計劃對未開通共享單車的縣城進行車輛投放，為了確定車輛投放量，對過去在其他縣城的投放量情況以及年使用人次進行了統(tǒng)計，得到了投放量（單位：千輛）與年使用人次（單位：千次）的數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制投放量與年使用人次的散點圖如圖所示.（1）觀察散點圖，可知兩個變量不具有線性相關關系，擬用對數(shù)函數(shù)模型或指數(shù)函數(shù)模型對兩個變量的關系進行擬合，請問哪個模型更適宜作為投放量與年使用人次的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關于的回歸方程；（2）已知每輛單車的購入成本為元，年調(diào)度費以及維修等的使用成本為每人次元，按用戶每使用一次，收費元計算，若投入輛單

15、車，則幾年后可實現(xiàn)盈利？參考數(shù)據(jù)：其中，.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.【答案】（1）適宜，；（2）年.【分析】（1）根據(jù)散點圖判斷，適宜；由兩邊同時取對數(shù)得，設，則，根據(jù)參考數(shù)據(jù)以及參考公式首先求出的回歸直線方程進而求出結果；（2）將8000代入回歸直線方程可得年使用人次，求出每年收益與總投資，則可求出結果.【詳解】（1）由散點圖判斷，適宜作為投放量與年使用人次的回歸方程類型.由，兩邊同時取常用對數(shù)得.設，則.因為，所以.把代入，得，所以，所以，則，故關于的回歸方程為.（2）投入千輛單車，則年使用人次為千人次，每年的收益為（千元），總投資千元，假設需要年開