2021-2022學(xué)年河南省中原名校高二下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 15 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 15 頁(yè)2021-2022學(xué)年河南省中原名校高二下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1若是真命題，是假命題，則（）A是真命題B是假命題C是真命題D是真命題【答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)槭钦婷}，是假命題，所以是假命題，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，是真命題，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，是假命題，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，是真命題，選項(xiàng)D正確，故選D.【解析】真值表的應(yīng)用.2已知拋物線準(zhǔn)線方程為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，判斷拋物線的開(kāi)

2、口方向并求出，即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】根據(jù)題意可知，拋物線開(kāi)口向右且，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：C.3已知正方體中，E，F(xiàn)分別是它們所在線段的中點(diǎn)，則滿足平面的圖形個(gè)數(shù)為（）A0B1C2D3【答案】B【分析】平移直線，判斷平移后的直線：在平面上，則平面，與平面交于一點(diǎn)則不平行，即可得解【詳解】中，平移至，可知與面只有一個(gè)交點(diǎn)，則與平面不平行；中，由于，而平面，平面，故平面；中，平移至，可知與面只有一個(gè)交點(diǎn)，則與平面不平行；故選：B4方程表示橢圓的充要條件是（）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)為正數(shù)且不相等列不等式求解即可.【詳解】方程表示橢圓則，即；若，則表示橢圓，所以方程表示橢圓

3、的充要條件是，故選：B5已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的離心率為，則的方程是（）ABCD【答案】A【分析】由題意將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】依題意可得，解得，故的方程是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)及離心率確定橢圓方程，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6如圖，點(diǎn)M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn)，則異面直線AM與BC1所成角的余弦值是（）ABCD【答案】A【分析】連接，根據(jù)異面直線所成角的定義，轉(zhuǎn)化為求（或其補(bǔ)角），然后在三角形中用余弦定理即可解得.【詳解】連接，如圖：易得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線AM與BC1所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在三角形中，

4、所以異面直線AM與BC1所成角的余弦值是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求異面直線所成角，通過(guò)找平行線轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成角（或其補(bǔ)角）是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7設(shè)，是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【詳解】試題分析：，,故選D.【解析】點(diǎn)線面的位置關(guān)系.8已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且=c2，則此橢圓離心率的取值范圍是（）ABCD【答案】C【詳解】設(shè)，所以，選C.9過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）ABCD【答案】B【詳解】由題得

5、解（1）（2）得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選B.10如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（）ABCD【答案】C【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則從而.設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，則，所以點(diǎn)E到平面的距離為故選：C11如圖所示，平面四邊形中，將其沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A平面平面BC平面平面D平面【答案】D【分析】選項(xiàng)A . 由面面垂直的性

6、質(zhì)可得到平面，從而判斷；選項(xiàng)B. 由條件可得，根據(jù)面面垂直可得平面，從而可判斷；選項(xiàng)C. 由線面垂直的判定可得平面，從而可判斷；選項(xiàng)D. 若平面,則可得則，從而得到矛盾，即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A . 由平面平面，平面平面,又，且平面，所以平面 由平面，所以平面平面，故A正確.選項(xiàng)B . 由上有平面，又平面，則，故B正確.選項(xiàng)C . 由上可知，且,所以平面, 又平面,所以平面平面，故C正確.選項(xiàng)D . 由上有平面，又平面，則 若平面，由平面,則,這與相矛盾，故D不正確.故選：D12設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（）ABCD【答案

7、】C【分析】設(shè)，利用拋物線定義可得；在中根據(jù)余弦定理，利用表示出，結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【詳解】設(shè)拋物線準(zhǔn)線為，作，垂足分別為，設(shè)，由拋物線定義可知：，在中，由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線中與線段長(zhǎng)度有關(guān)的最值問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠結(jié)合拋物線的定義，利用焦半徑表示出所需的線段長(zhǎng)，從而利用基本不等式求得結(jié)果.二、填空題13已知向量 ，且 ，則實(shí)數(shù)_【答案】【分析】，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】，則，解得故答案為：14經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_(kāi)【答案】【詳解】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，點(diǎn)在

8、雙曲線上，所求的雙曲線方程為，即答案：15函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是_【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，由題設(shè)有恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，即可求a的范圍.【詳解】由題設(shè)，又在 R上的單調(diào)遞增函數(shù)，恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，則遞減；當(dāng)時(shí)，則遞增.，故.故答案為：.16已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則不等式的解集為_(kāi).【答案】【詳解】令則，在R上是減函數(shù)又等價(jià)于故不等式的解集是答案：點(diǎn)睛：本題考查用構(gòu)造函數(shù)的方法解不等式，即通過(guò)構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時(shí)要注意常見(jiàn)的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)；（2

9、）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)三、解答題17（1）請(qǐng)用分析法證明：；（2）請(qǐng)用反證法證明：設(shè)，則與中至少有一個(gè)不小于2【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）應(yīng)用分析法，將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)顯而易見(jiàn)的結(jié)論即可；（2）首先否定結(jié)論：假設(shè)與都小于2成立，結(jié)合基本不等式求證一個(gè)相互矛盾的結(jié)論即可.【詳解】證明：（1）要證：只需證：只需證：只需證：只需證：只需證：，而顯然成立，原不等式得證（2）假設(shè)結(jié)論不成立，即與都小于2，則而由基本不等式，知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，與式矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立18已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)

10、間 單調(diào)減區(qū)間 （2） 【詳解】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，解不等式，即得到遞增區(qū)間，令，解不等式，即得遞減區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求成立即可，即求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，根據(jù)第（1）問(wèn)單調(diào)性，易求出函數(shù)在上的最小值，于是可以求出的取值范圍試題解析：（1）令，解得或， 令，解得：.故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，對(duì)恒成立，即，19甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布

11、列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（）（）的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望【詳解】試題分析：對(duì)于問(wèn)題（I）由題目條件并結(jié)合間接法，即可求出乙投球的命中率；對(duì)于問(wèn)題（II），首先列出兩人共命中的次數(shù)的所有可能的取值情況，再根據(jù)題目條件分別求出取各個(gè)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，就可得到的分布列試題解析：（I）設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為.（II）由題設(shè)知（I）知，可能取值為故，的分布列為 【解析】1、概率；2、離散型隨機(jī)變量及其分布列.20為推行“新課堂”教學(xué)法，某老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式在甲、乙兩個(gè)平行班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了解教學(xué)

12、效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出如圖所示的莖葉圖，若成績(jī)大于70分為“成績(jī)優(yōu)良”.(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面22列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良成績(jī)不優(yōu)良總計(jì)(2)從甲、乙兩班40個(gè)樣本中，成績(jī)?cè)?0分以下(不含60分)的學(xué)生中任意選取2人，記為所抽取的2人中來(lái)自乙班的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:K2=(n=a+b+c+d)，P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635【答案】(1)表格見(jiàn)解析，能(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】

13、（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)出甲、乙兩班“成績(jī)優(yōu)良”及“成績(jī)不優(yōu)良”的人數(shù)，填入列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，與3.841進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.（2）根據(jù)莖葉圖得出的所有可能取值，分別計(jì)算概率，列出分布列，根據(jù)分布列求數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表如表所示：甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良101626成績(jī)不優(yōu)良10414總計(jì)202040根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測(cè)值為，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.(2)樣本中成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生中甲班有4人，乙班有2人，所以的所有可能取值為，則=， =，則隨機(jī)變量的分布列為：012P則數(shù)學(xué)期望.21近年來(lái)，共

14、享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚.某公司計(jì)劃對(duì)未開(kāi)通共享單車的縣城進(jìn)行車輛投放，為了確定車輛投放量，對(duì)過(guò)去在其他縣城的投放量情況以及年使用人次進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到了投放量（單位：千輛）與年使用人次（單位：千次）的數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制投放量與年使用人次的散點(diǎn)圖如圖所示.（1）觀察散點(diǎn)圖，可知兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，擬用對(duì)數(shù)函數(shù)模型或指數(shù)函數(shù)模型對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)模型更適宜作為投放量與年使用人次的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并求出關(guān)于的回歸方程；（2）已知每輛單車的購(gòu)入成本為元，年調(diào)度費(fèi)以及維修等的使用成本為每人次元，按用戶每使用一次，收費(fèi)元計(jì)算，若投入輛單

15、車，則幾年后可實(shí)現(xiàn)盈利？參考數(shù)據(jù)：其中，.參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.【答案】（1）適宜，；（2）年.【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，適宜；由兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，設(shè)，則，根據(jù)參考數(shù)據(jù)以及參考公式首先求出的回歸直線方程進(jìn)而求出結(jié)果；（2）將8000代入回歸直線方程可得年使用人次，求出每年收益與總投資，則可求出結(jié)果.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖判斷，適宜作為投放量與年使用人次的回歸方程類型.由，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得.設(shè)，則.因?yàn)?，所?把代入，得，所以，所以，則，故關(guān)于的回歸方程為.（2）投入千輛單車，則年使用人次為千人次，每年的收益為（千元），總投資千元，假設(shè)需要年開(kāi)