電動力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)第四章 電磁波的傳播2012答案

1、第四章電磁波的傳播一、填空題1、色散現(xiàn)象是指介質(zhì)的（）是頻率的函數(shù).答案：&目2、平面電磁波能流密度和能量密度w的關(guān)系為（）。答案：S =心3、平面電磁波在導(dǎo)體中傳播時，其振幅為（）。答案：Ex TOC o 1-5 h z 4、電磁波只所以能夠在空間傳播，依靠的是（）。答案：變化的電場和磁場相互激發(fā)5、滿足條件（）導(dǎo)體可看作良導(dǎo)體，此時其內(nèi)部體電荷密度等于（）答案： 1,0,6、 波導(dǎo)管尺寸為0.7cmX 0.4cm,頻率為30X109HZ的微波在該波導(dǎo)中能以（）波模傳播。答案：TE 0波7、 線性介質(zhì)中平面電磁波的電磁場的能量密度（用電場E表示）為（），它對時間的平均值為（）。答案：2, L

2、E22 0 TOC o 1-5 h z 8、平面電磁波的磁場與電場振幅關(guān)系為（）。它們的相位（）。答案：E = vB ,相等9、在研究導(dǎo)體中的電磁波傳播時，引入復(fù)介電常數(shù)=（），其中虛部是（）的貢獻。導(dǎo)體中平面電磁波的解析表達式為（）。答案： = + i 1，傳導(dǎo)電流，E（X,t） = E0 e a-Xei（P-x-it）,10、矩形波導(dǎo)中，能夠傳播的電磁波的截止頻率m,n =（），當(dāng)電磁波的頻率1滿足（）時，該波不能在其中傳播。若ba，則最低截止頻率為（），該波的模式為（）。答案：氣皿廣圭仲分+舊， 七皿，b，teoi11、全反射現(xiàn)象發(fā)生時，折射波沿（）方向傳播.答案：平行于界面12、自然光

3、從介質(zhì)1（牛牛）入射至介質(zhì)2（七 匕），當(dāng)入射角等于（）時，反射波是完全偏振波.答案：i0 = arctg i TOC o 1-5 h z 13、迅變電磁場中導(dǎo)體中的體電荷密度的變化規(guī)律是（）.d答案：P = P0 e七t二、選擇題1、電磁波波動方程V2E = 0,V2B一上蘭=0,只有在下列那種情況下成立（）c 2 dt 2c 2 dt 2均勻介質(zhì)B真空中C.導(dǎo)體內(nèi) D.等離子體中答案：A2、電磁波在金屬中的穿透深度（）A.電磁波頻率越高,穿透深度越深B.導(dǎo)體導(dǎo)電性能越好，穿透深度越深 C.電磁波頻率越高，穿透深度越淺D.穿透深度與頻率無關(guān)答案：C3、能夠在理想波導(dǎo)中傳播的電磁波具有下列特征

4、（）A.有一個由波導(dǎo)尺寸決定的最低頻率，且頻率具有不連續(xù)性頻率是連續(xù)的 C.最終會衰減為零D.低于截至頻率的波才能通過.答案：A TOC o 1-5 h z 4、絕緣介質(zhì)中，平面電磁波電場與磁場的位相差為（）K兀A. - B.兀 C.0 D.-42.答案：C5、下列那種波不能在矩形波導(dǎo)中存在（）A. TE頂B. TM iiC. TEMD. TE答案：C一 一6、平面電磁波E、B、k三個矢量的方向關(guān)系是（ ）A. ExB沿矢量k方向B. Bx E沿矢量k方向Ex B的方向垂直于kD. Ex k的方向沿矢量B的方向答案：A7、矩形波導(dǎo)管尺寸為a xb，若a b，則最低截止頻率為（）A.八11B.C

5、.+ _b . Mv S a b答案：A一 兀 2洞一8、亥姆霍茲方程V2E + k2E = ，（V-E = 0）對下列那種情況成立（A.真空中的一般電磁波C.自由空間中頻率一定的簡諧電磁波答案：C）B.自由空間中頻率一定的電磁波D.介質(zhì)中的一般電磁波9、矩形波導(dǎo)管尺寸為a x b，若a b，則最低截止頻率為（）A._B. _兀 11C. -= 11答案：A三、問答題1、真空中的波動方程，均勻介質(zhì)中的定態(tài)波動方程和亥姆霍茲方程所描述的物理過程是什么？從形式到內(nèi)容上試述它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。答：（1）真空中的波動方程：V2E- 亞 =0 , V2B- 竺=0。 c 2 dt 2c 2 dt 2表

6、明：在p = 0, / = 0的自由空間，電場與磁場相互激發(fā)形成電磁波電磁波可以脫離場源而存在；真空中一切電磁波都以光速c傳播；適用于任何頻率的電磁波，無色散。V7 口 1 仞 E_nV2 E 0（2）均勻介質(zhì)中定態(tài)波動方程：dt 2，其中v（3）=V2B 1 箜-0*（婦里.- ,-V 2 dt 2當(dāng)電磁場在介質(zhì)內(nèi)傳播時，其E與P 一般隨3變化，存在色散,在單色波情況下才有此波動方程。V 2 E + k 2 E = 0,V =3（3）亥姆霍茲方程：V-E = 0一 iB = - Vx E表示以一定頻率按正弦規(guī)律變化的單色電磁波的基本方程，其每個解都代表一種可能存在的波模。2、什么是定態(tài)電磁波

7、、平面電磁波、平面單色波？分別寫出它們的電場表示式。從形式到內(nèi)容上 試述它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。答：(1)定態(tài)電磁波：以一定頻率作正弦振蕩的波稱為定態(tài)電磁波，即單色簡諧波。E(x,t) = E(x)e-(2)平面電磁波：等相位面與波傳播方向垂直且沿波矢量二傳播的電磁波。E(x) =Ee r(3)平面單色波：以一定頻率作正弦振蕩的平面波稱為平面單色波。E(x,t) = E e，(k.50 一3、在莉的定態(tài)電磁波情形麥?zhǔn)戏匠探M的形式如何？為什么說它不是獨立的，怎樣證明？不是 獨立的，是否等于說有的方程是多余的呢？試解釋之。答：定態(tài)電磁波情形麥?zhǔn)戏匠探M的形式為:Vx E = iB(1)對(1)和(2)

8、取散度可得(3)(4)兩式，所以它不獨立。不獨立Vx B = -itosE(2)V-E =0(3)VB = 0(4)不表示方程多余，定態(tài)電磁波只是一種特殊情形，在更普遍的情況下，麥?zhǔn)戏匠探M四個方程分別描述了場的不同方面。4、設(shè)有一電磁波其電場強度可以表示為E = E0(x,t)exp(- ito 01)。試問它是否是平面時諧波(平面 單色波)？為什么？答：不是。因為E做傅立葉展開后，可以看成是無數(shù)個平面單色波的疊加。如令一、K、 E1 EEE (x, t) = E eik0 x cos(2to t) = 0-ei(k0 x+2to0t) h ei(k0 x-2to0t)貝Q E = ei(k0

9、 x+3to0t) ho ei(k0 x-to0t)是兩個單色波0、0 u 、 02 u u 222.的疊加。5、試述平面單色波在均勻介質(zhì)中具有哪些傳播特性？并且一一加以證明。答：特性：是橫波，且E, B, k有右手螺旋關(guān)系證： E(x, t) = E ei(k-r-tot)1 01V-E = ik - E = 0即k 1 E即電波為橫波一ii Vn B 1 k ,B 1 E ,E 1 k，得證。一 to 一 -to - tok.-丘與日同相位廣振幅比為v (真空中為。)p6、在自由空間中，E(z,t) = e 103sin(9K x1081-kz)V/m y - i說明：(1)波數(shù)以及波的傳

10、播方向,(2)H(z,t)的表現(xiàn)形式答：已知電場 E(z, t) = e 103 sin(9K x1081 - kz)V / my由電場表示式知:k = = 9 X108 =3兀(rad/m).電磁波沿z方向傳播c3 x 108(2)自由空間中,p = 0, J = 0H = e x e 103sin(9 兀 x1081 - kz) = -2.65sin(9 兀 x 1081 - 3 兀 z)e 中07、研究反射、折射問題的基石出是電磁場在兩個不同介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系，但為什么只需用兩式，可否用另兩式呢？n x (E 2 - E1)= 0答：邊值關(guān)系：x(H2 -H1)=*在絕緣介質(zhì)界面上a

11、 = 0, b=0再-(D2 D1) *、n - (B2 - B) = 0對時諧電磁波，麥?zhǔn)戏匠探M不獨立，由前兩式可得后兩式，相應(yīng)的邊值關(guān)系也不獨立，當(dāng)n x (E 2 - E1 = 0成立時，法向分量的邊界條件自然滿足。n (H 2 - H1) = 08、試述入射波、反射波、折射波的頻率、相位、傳播方向和振幅各有些什么關(guān)系?振幅與相位關(guān)系：e 1入射面:旦=-sin(0-0? =、Wcos0-os0”E sin(0+0)答：頻率關(guān)系：w=w = 3,cos 0 + 氣： cos 0傳播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，9、全反射時有什么特點？若要使線偏振的入射波通過全反射波反射

12、成為圓偏振波，則對介質(zhì)有什么要求?答：特點：a.發(fā)生全反射時，sin A氣折射波的波矢量垂直于界面的分量k； =Of2變?yōu)閺?fù)數(shù)，折射波隨進入深度所得增加而迅速衰減.b.折射波的平均能流只有平行于界面的分量，能量主要集中在交界面附近厚度為k -1的薄層內(nèi)，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即對平均時間來說，入射波的能量全部被反射。要使線偏振的入射波通過全反射波反射成為圓偏振波，則全反射波的兩個分量E、,E振幅必須相等，相差等于(2 m + 1) , m = 0,1 , 2, 3一 一2Esin(。一。)sin 0 cos 0 - cos 0 sin 0”(1)反射波的菲涅爾公式：一=

13、-=-Esin(0+0 )sin 0 cos 0 + cos 0 sin 0iE : = tg( 0 一 0 ) _ sin 0 cos 0 - sin 0 co s 0 ”E tg( 0 + 0 ) sin 0 cos 0 + sin 0 ” co s 0 ”由折射定律 而? =、*22 = n，全反射發(fā)生時，sin0 n sin 0曲 2121i isin0 = sin0 ,n21cos0= 1 sin20= ：1 - ! sin20 =，：sin20 -1“21 “21將三式代入(1),(2 )式，得:cos 0 - /Jsin2 0 - n 2氣 cos0 + /sin20 -n 2n

14、 2 cos 0 - / Jsin 2 0 -n 2 cos 0 + / Jsin 2 0 -2 1七E，E0n . 2n 221可以看出,E口E-D設(shè)E = E e/%E = Eg，由(4),(5)式得:11口口g2 cos 0 Jsin 2 0 - n 21sin 2 0 - n . 2 - cos 2 0m2 n 2 cos 0 sin 2 0 - n 2g = arctg 22 nsin 2 0 - n 2 - n 4 cos 2 0(2)(3)(4)(5)(6)當(dāng)入射波的線偏振時，E E相位相同.經(jīng)反射后E E：相位不相同，當(dāng) =1時,且 0E與E.相差 TOC o 1-5 h z

15、g - g = (2 m + 1) , m = 0,1 , 2, 3時，(7)12反射成為圓偏振波.于是由(6),(7)得:-sin 0 = 2 Jn .2 + 1 、;n .4 - 6 n . 2 + 1(8)結(jié)論：當(dāng)線偏振的入射波電矢量的兩個分量Ei,E的振幅相等，并且入射角。和相對折射率n 21滿足(8 )式時，反射波便成為圓偏振波.10、當(dāng)光以布儒斯特角入射時，反射光變?yōu)榇怪庇谌肷涿娴耐耆窆?。但人們要想得到完全偏振光，不直接采用反射的完全偏振光，往往通過一組平行玻璃板把垂直于入射面的偏振光濾掉，得到平行于入射面的完全偏振光，為什么？已知玻璃的布儒斯特角為56。答:反射光雖然是完全偏

16、振光，但它的強度太小而按題中的做法，可得折射光(平行于入射面的完全偏振光)11、有哪些理由足以說明光波是頻率在一定范圍內(nèi)的電磁波?答：真空中電磁波的傳播速度和光波在真空中的傳播速度都是c,且不需要任何介質(zhì)。光波的反射、折射、干涉、衍射規(guī)律與電磁波遵循相同的規(guī)律。12、試推出導(dǎo)體中定態(tài)電磁波波動方程的兩種不同形式以及亥姆霍茲方程，并與介質(zhì)中的相應(yīng)方程進行比較，闡明它們之間有何異同之處？答：良導(dǎo)體中：p= 0, J =bE，代入麥?zhǔn)戏匠探M得： TOC o 1-5 h z 0日_ 6B一Vx E -dtBE對前兩式取旋度得波動方程:Vx B 3甘 + 呻E，V E 0-B 2 E2 E *Bt 2B

17、 2 B2 B usBt 2呻竺-0Bt呻竺-0Bt與介質(zhì)中的方程相比多了與時間的一次導(dǎo)數(shù)項，表明傳導(dǎo)電流使電V B 0磁波傳播不斷損耗為一個不可逆過程。定態(tài)電磁波：E E(x)em,B B(x)e&t，代入麥?zhǔn)戏匠探M得: TOC o 1-5 h z Vx E 如B-Vx B igE + 呻E igE由第一式解出B代入第二式可得:其中：s = s+ i VE = 0V2E + k2 E = 0(T =瑚可)，即亥姆霍茲方程。與介質(zhì)中的最大區(qū)別在于k，-頊汗復(fù)數(shù),如果是絕緣介質(zhì) = 0, s = s , k，-,：函都是實數(shù)，上述亥姆霍茲方程便過渡為絕緣介質(zhì)中定態(tài)電磁波的方程.13、波矢量k的物

18、理意義是什么？如何理解導(dǎo)體中的波矢量？衰減常量a的方向如何確定，相位常量P的方向又如何？答：波矢量k是描述電磁波傳播方向的一個矢量，其量值| = F =當(dāng)稱為波數(shù)，導(dǎo)體中波矢 人量為一復(fù)矢量。k =0+ ia波矢量k的實部0描述波的傳播的相位關(guān)系，虛部a描述波幅的衰減。，一k 1 =0 + ia代入k，=叭：0比較實部和虛部得:由邊界條件可確定a，0的方向。再代入上式確定a，0的大小.在良導(dǎo)體內(nèi)，a垂直于表面，0一也很接近法線方向。一14、電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時存在哪些差別？答：導(dǎo)體與絕緣介質(zhì)本質(zhì)差異在于導(dǎo)體有自由電子，電磁波進入導(dǎo)體后必將引起傳導(dǎo)電流，電場對傳導(dǎo)電流做功使得電磁波能量

19、轉(zhuǎn)化為焦耳熱，故在導(dǎo)體中傳播電磁波是一個衰減波。絕緣介質(zhì)中傳播電磁波振幅不衰減絕緣介質(zhì)平面電磁波電場與磁場相位相同，導(dǎo)體平面電磁波電場與磁場相位不相同絕緣介質(zhì)平面電磁波電場與磁場能量相等，導(dǎo)體中磁場能量遠(yuǎn)大于電場能量.15、設(shè)電子濃度為，電量為e，質(zhì)量為m，在空氣中電子在電磁波的作用下以速度v運動，設(shè)電磁波的角頻率為，電子的運動方程近似地為：式中Y為電子與氣體分子碰撞頻率，且設(shè)V為常數(shù)。已知：E = E e - m， v = v e -陌00試討論電子對空氣的p0和80的影響如何。答：將E = E e-m , v = v e-陌代入電子的運動方程:eE =+ m v，得：00dteE = (m

20、 - i)v，空氣中的電流密度J = -n ev =-一七況，于j =。(o)E()比較，空氣電導(dǎo)率 e(明一 io)一 一其中實部8=80+而&可見，空氣中電子的存在使得空氣變成導(dǎo)體，電導(dǎo)率出現(xiàn)虛部,說明有歐姆能量損耗，另外空氣的電容率由8變?yōu)?=8 +，當(dāng)電子濃度為n = 0,8=8 q(o) = 0,當(dāng)對空氣的磁導(dǎo)率沒有影響.00 m引 2 +O2e016、將一般的邊值關(guān)系用到波導(dǎo)內(nèi)表面處，因設(shè)波導(dǎo)為理想導(dǎo)體，n為由理想導(dǎo)體指向管內(nèi)的法向單位矢量，故除nxE = 0外，還有哪幾個關(guān)系式，它們的作用如何？對于亥姆霍茲方程的解必加的條件V、E = 0可如何應(yīng)用？廠 n x E = 0答：在導(dǎo)

21、體表面有邊界條件：XH =以 當(dāng)前面兩式滿足時，后面兩式自然滿足。nxH =a，說 n D = bn B = 0i一明H方向平行于表面n x E = 0，說明E只有n方向分量，考慮V、E = 0，即得：竺n = 0一dn17、何謂TM波、TE波和TEM波？比較一下TEM波與平面單色波之間的關(guān)系如何?答：在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波，電場E和電磁場H不能同時為橫波，設(shè)波沿Z方向傳播，波模E = 0的波稱為橫電（TE）波，波模Hz=0的波稱為橫磁（TM）波；TEM波則為生=0, E=0的橫波， 平面單色波需滿足H尸E=0，E, B同相且相互垂直，E x B沿波矢方向，故平面單色波是TEM波，而TEM波未必是平

22、面單色波。18、19、我們要用波導(dǎo)內(nèi)的電場，沿z方向加速一個帶電粒子，應(yīng)在波導(dǎo)中建立什么波型電磁場?答：應(yīng)建立TM波，從而在z方向上有電場可以加速電子。有相距為L的兩無窮大理想導(dǎo)體板，設(shè)，軸垂直板面，在導(dǎo)體板間傳播的波場與y無關(guān)。問在何種條件下，能得到TE型、TM型、TEM型波？寫出其表示式。答：導(dǎo)體板間的電磁波滿足亥姆霍茲方程，設(shè)電場的通解為:E（x, z） =（C sin kx + D cos kx）大，由邊界條件 n xE = 0 和字=0 得：/冗E = A cosLx）1（kzz-t）竺_（竺）2，又由：V、E = 0C2LE = A sin（ x）ei（U-t）， 其中七=Jk2

23、- k；E = A3 sin（ x）eiq-刨）巴A = ik A , A獨立。再由H = -L Vx E，可得H ,H ,H，分析知當(dāng)A=0時得到TEM波:L 1 z 32Sn兀A sinGx）ei（kz-st）=-E =七氣 sin（ x）ei（k z-t）X則由答:sp y 叩 L 知諧振腔內(nèi)場強E = 0.B = 0。21、矩形波導(dǎo)中的電場強度E和磁感應(yīng)強度B沿傳播方向的分量不同時為零，這一結(jié)論似乎違背了電磁波是橫波的論斷，請解釋這一現(xiàn)象。答：實際上波導(dǎo)管的軸線方向并不是波的真正傳播方向。在波導(dǎo)管中的電磁波是在被管壁多次反 射曲折前進的。由于多次反射波疊加，在垂直于波導(dǎo)軸線方向成為駐波

24、，而使合成波沿軸線方向前 進。22、低頻電磁波用雙線傳輸，較高頻用同軸線，更高頻時用波導(dǎo)傳輸。試問高頻電磁波用雙線傳輸或低頻電磁波用波導(dǎo)傳輸，可以嗎？為什么？答：都不可以。高頻電磁波用雙線傳輸有向外輻射損耗和熱損耗。而低頻電磁波在波導(dǎo)中則不再沿波導(dǎo)傳播，而是沿z軸方向振幅不斷衰減的電磁振蕩。23、 大氣中的電離層能夠反射廣播頻段的電磁波，不能反射電視頻段的電磁波，這是為什么？ 答：因為大氣中的電離層是等離子體，廣播頻段ss ,可以在電離層中傳播。四、計算與證明1、考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為S + dS和s-ds的線偏振平面波，它們都沿Z 軸方向傳播。(1)求合成波，證明波的振幅

25、不是常數(shù)，而是一個波。(2)求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。解：根據(jù)題意，設(shè)兩列波的電場表達式分別為：E (x,t) = E (x)cos(k z -s t) ； E (x,t) = E (x)cos(k z -s t)10112022則合成波為E = E (x,t) + E (x,t) = E (x)cos(k z -s t) + cos(k z -s t) 1201122其中 k = k + dk , k = k dk ； =+ d， =一d所以 E = 2E (x)cos(kz 一t)cos(dk , z ds t)用復(fù)數(shù)表示 E = 2E (x)cos(dk , z 一 ds -

26、1)exp i(kz st)相速由 = kz st 確定，v = dz / dt =s / k群速由 = dk - z ds -1 確定，v = dz / dt = ds / dkg2、一平面電磁波以0 = 45從真空入射到g = 2的介質(zhì)，電場強度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。解：設(shè)n為界面法向單位矢量，:Si、S；、S.分別為入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量 的周期平均值，則反射系數(shù)夫和折射系數(shù)T定義為：E 2F， T =E 20n cos0 E2n cos 0E2S n又根據(jù)電場強度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得 尋cos0-頊七*0 t J8 cos0 + Jg cos0 I、

27、 1 V 2）。，R =， T = W2 + r、：32 + 23、有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為60，證明這時將會發(fā)生全反射，并求折射波沿 表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉肟諝獾纳疃?。設(shè)該波在空氣中的波長為人0 = 6.28 x 10 -5 cm，水的折射率為 n=1.33。解：由折射定律得，臨界角0 = arcsin（1/1.33） = 48.75。，所以當(dāng)平面光波以60角入射時，將會發(fā)生 全反射。C由于 所以折射波相速度 透入空氣的深度為k-1 =X /2sin20 一n2 = 6.28x 10-5 /2兀氣.sin2 60 （3/4）2 牝 1.7x 10-5cm4、頻率為s的電磁波在

28、各向異性介質(zhì)中傳播時，若E,D,B,H仍按e（k.變化，但D不再與E平行（即D = 8E不成立）。（1）證明 k B = k D = B D = B E = 0，但一般k E。0。（2）證明D = k2E （k E）k/s2四。（3）證明能流S與波矢k 一般不在同一方向上。證明：1）麥?zhǔn)戏匠探M為：VxE = dB/dt（1）Vx H = dD / dtV D = 0V B = 0T40的空間中是金屬導(dǎo)體，電磁波由z）0而 k = p + ia 上式中a, p滿足:P 2 -a2 =2 Ma - p = ws / 2根據(jù)邊界條件得：kx=P x + ia 廣 k1x11k = P + ia =

29、k = 0.a = 0 , p = (w sin 9 )/c ,將結(jié)果代入(X1)(2)得： a p = wps / 2構(gòu)車得：P2 = (w2 jussin2 9 ) + (sin2 9 w2 jlxs)2 + w2 jlx2Q2 2其相速度為：V = w/P = w/、P2 + P2。衰減深度為：1/a = 1/a。如果是良導(dǎo)體，k2的實部與其虛部相比忽略，則：9、無限長的矩形波導(dǎo)管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導(dǎo)體平板完全封閉，求在z = -8到z=0這段管內(nèi)可能存在的波模。解：在此結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)管中，電磁波的傳播滿足亥姆霍茲方程：=k sin9 =(sin9 )/c(1)(2)(3)(4

30、)=0 。91k1k2a = 0, |3(sin9 )2 /c2 + P2 -a2(6)(5)V2E + k2E = 0，k = w s，V-E = 0 電場的三個分量通解形式相同:均為：邊界條件為：在x = 0及x = a兩平面：E = E = 0，8E /辦=0在 y = 0 及 y = b 兩平面：E = E = 0，6E / dy = 0在 z = 0 平面：E = E = 0，8E / dz = 0由此可得：E = A cos k x sin k y sin k zx 1xyz波數(shù)滿足：k = m 兀 / a，k = n 兀 / b，( m, n = 0,1,2)振幅滿足：Am兀/a

31、 + A n兀/b + A k = 0綜合上述各或即得此種波導(dǎo)管中所有可能電磁波的解。10、電磁波E(x, y, z,t) = E(x, y)ei(奴在波導(dǎo)管中沿z方向傳播，試使用Vx E = iwp 0H及Vx H = iwE證明電磁場所有分量都可用E (x, y)及H (x, y)這兩個分量表示。 TOC o 1-5 h z 證明：沿z軸傳播的電磁波其電場和磁場可寫作：xzE(x, y, z, t) = E (x, y)ei(q.-at)，H (x, y, z, t) = H (x, y)ei(kzz-at)由麥?zhǔn)戏匠探M得：V x E = dB / dt = iwu H， V x H =

32、s dE / dt = iws E寫成分量式：8E/dy - dE/dz = 8E /dy - ik E = iwuH( 1)dE/dz - dE/dx = ik E - dE /dx = iwuH(2)dH /dy-dH /dz = dH /dy-ik H =-iws E(3)zyzz y0 xdH /dz-dH /dx = ik H -dH /dx = -iws E(4)dH /dx-dH /dy = -iws E(5)由(2)(3)消去Hy 得：E = (-wu dH /dy - k dE /dx)/i(w2 /c2 - k2) x0 zz zz由(1)(4)消去Hx 得：E = (wu

33、 dH /dx-k dE /dy)/i(w2 /c2 -k2) y0 zz zz由(1)(4)消去Ey 得：H = (-k dH /dx + ws dE /dy)/i(w2 /c2 -k2)xz z0 zz由（2）（3）消去Ex 得：H = （-k dH /dy -we dE /dx）/z（w2 /c2 一 k2） yz z0 zz11、寫出矩形波導(dǎo)管內(nèi)磁場H滿足的方程及邊界條件。解：對于定態(tài)波，磁場為：H （x, t） = H （x ）e -s由麥?zhǔn)戏匠探MVxH = dD/dt = -i咬E，V-H = 0得：Vx (Vx H) = V (V- H)-V 2 H =-V 2 H =-ig V

34、 x E 又 V x E = -dB / dt = ig H所以V2H + k2H = 0，k2 =w2m，V-H = 0即為矩形波導(dǎo)管內(nèi)磁場H滿足的方程由 n - B = 0 得：n - H = 0，H = 0n利用VxE = iwpH和電場的邊界條件可得：dH /dn = 0t邊界條件為：H = 0，dH / dn = 0n 12、論證矩形波導(dǎo)管內(nèi)不存在TM 0或TM0波。 TOC o 1-5 h z 證明：已求得波導(dǎo)管中的電場E滿足：”由VxE = iwpH可求得波導(dǎo)管中的磁場為：H =-（i /wr ）（A k - iA k ）sin k xcosk yeikzz（1）x3y2zxyH

35、 = -（i /wr ）（iA k - A k ）cos k x sin k yeikzz（2）y1z3xxyH = -（i/wr ）（A k - A k ）cosk xcosk yeikzz（3）z2x1yxy本題討論TM波，故位=0 ,由（3）式得：（Ak -Ak ） = 0（4）2 x 1 y1） 若n = 0， m。0貝。k = n兀 /b = 0 ， k = m兀 /a。0（5）代入（4）得：A = 0（6）將（5）（6）代入（1）（2）得：H = H = 02） 若m = 0， n。0 貝。k = 0 ， k = n兀 /b。0（7）代入（4）得：A = 0（8）將（7）（8）代入（1）（2）得：H = H = 0因此，波導(dǎo)中不可能存在TMm0和TM0n兩種模式的波。13、頻率為30 x 109Hz的微波，在0.7cmx0.4cm的矩形波導(dǎo)管中能以什么波模傳播？在0.7cm x