運籌學課件目標規(guī)劃

1、目 標 規(guī) 劃(Goal programming)目標規(guī)劃的數(shù)學模型目標規(guī)劃的圖解法目標規(guī)劃的單純形法目標規(guī)劃概述 目標規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)經(jīng)濟管理中多目標決策的需要而逐步發(fā)展起來的一個分支。 2、線性規(guī)劃求最優(yōu)解；目標規(guī)劃是找到一個滿意解。 1、線性規(guī)劃只討論一個線性目標函數(shù)在一組線性約束條件下的極值問題；而目標規(guī)劃是多個目標決策，可求得更切合實際的解。一、目標規(guī)劃概述（一）、目標規(guī)劃與線性規(guī)劃的比較 4、線性規(guī)劃的最優(yōu)解是絕對意義下的最優(yōu)，但需花去大量的人力、物力、財力才能得到；實際過程中，只要求得滿意解，就能滿足需要（或更能滿足需要）。 3、線性規(guī)劃中的約束條件是同等重要的，

2、是硬約束；而目標規(guī)劃中有輕重緩急和主次之分，即有優(yōu)先權(quán)。目前，已經(jīng)在經(jīng)濟計劃、生產(chǎn)管理、經(jīng)營管理、市場分析、財務(wù)管理等方面得到了廣泛的應(yīng)用。 例一、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？同時，根據(jù)市場預(yù)測，甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，可以擴大生產(chǎn)。試建立此問題的數(shù)學模型。12070單件利潤3000103設(shè)備臺時200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲 單位 產(chǎn)品資源 消耗（二）、目標規(guī)劃的基本概念設(shè)：甲產(chǎn)品 x1 ，乙產(chǎn)品 x2 一般有：maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 3600 4

3、 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0同時：maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 顯然，這是一個多目標規(guī)劃問題，用線性規(guī)劃方法很難找到最優(yōu)解。 目標規(guī)劃通過引入目標值和偏差變量，可以將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為目標約束。 目標值：是指預(yù)先給定的某個目標的一個期望值。 實現(xiàn)值或決策值：是指當決策變量xj 選定以后，目標函數(shù)的對應(yīng)值。 偏差變量（事先無法確定的未知數(shù)）：是指實現(xiàn)值和目標值之間的差異,記為 d

4、 。 正偏差變量：表示實現(xiàn)值超過目標值的部分，記為 d。 負偏差變量：表示實現(xiàn)值未達到目標值的部分，記為 d。1、目標值和偏差變量 當完成或超額完成規(guī)定的指標則表示：d0, d0 當未完成規(guī)定的指標則表示： d0, d0 當恰好完成指標時則表示： d0, d0 d d 0 成立。 引入了目標值和正、負偏差變量后，就對某一問題有了新的限制，既目標約束。 目標約束即可對原目標函數(shù)起作用，也可對原約束起作用。目標約束是目標規(guī)劃中特有的，是軟約束。在一次決策中，實現(xiàn)值不可能既超過目標值又未達到目標值，故有 d d 0,并規(guī)定d0, d02、目標約束和絕對約束 絕對約束（系統(tǒng)約束）是指必須嚴格滿足的等式

5、或不等式約束。如線性規(guī)劃中的所有約束條件都是絕對約束，否則無可行解。所以，絕對約束是硬約束。 例如：在例一中，規(guī)定Z1 的目標值為 50000,正、負偏差為d、d ,則目標函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為目標約束，既70 x1 + 120 x2 50000， 同樣，若規(guī)定 Z2200， Z3250 則有 若規(guī)定3600的鋼材必須用完，原式9 x1 +4 x2 3600則變?yōu)?達成函數(shù)是一個使總偏差量為最小的目標函數(shù)，記為 minZ = f（d、d）。 一般說來，有以下三種情況，但只能出現(xiàn)其中之一： .要求恰好達到規(guī)定的目標值，即正、負偏差變量要盡可能小，則minZ = f（d d）。 .要求不超過目標值，即允許

6、達不到目標值，也就是正偏差變量盡可能小，則minZ = f（d）。 .要求超過目標值，即超過量不限，但不低于目標值，也就是負偏差變量盡可能小，則minZ = f（d）。 對于由絕對約束轉(zhuǎn)化而來的目標函數(shù)，也照上述處理即可。3、達成函數(shù)（即目標規(guī)劃中的目標函數(shù)） 優(yōu)先因子Pk 是將決策目標按其重要程度排序并表示出來。P1P2PkPk+1PK ，k=1.2K。 權(quán)系數(shù)k 區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個目標的差別，決策者可視具體情況而定。 對于這種解來說，前面的目標可以保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，而后面的目標就不一定能保證實現(xiàn)或部分實現(xiàn)，有些可能就不能實現(xiàn)。4、優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與優(yōu)先權(quán)系數(shù) 5、滿意解（具有

7、層次意義的解） 若在例一中提出下列要求： 1、完成或超額完成利潤指標 50000元； 2、產(chǎn)品甲不超過 200件，產(chǎn)品乙不低于 250件； 3、現(xiàn)有鋼材 3600噸必須用完。試建立目標規(guī)劃模型。 分析：題目有三個目標層次，包含四個目標值。 第一目標： 第二目標：有兩個要求即甲 ，乙 ，但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即 70 :120，化簡為7:12。例二、第三目標：目標規(guī)劃模型為： 某廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？ 在此基礎(chǔ)上考慮： 1、產(chǎn)品的產(chǎn)量不低于產(chǎn)品的產(chǎn)量； 2、充分利用設(shè)備有效臺時，不加班； 3、利潤不小于 5

8、6 元。解: 分析 第一目標： 即產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量。 第二目標：例三：第三目標：規(guī)劃模型：（一）、模型的一般形式二、目標規(guī)劃的數(shù)學模型（二）、建模的步驟 1、根據(jù)要研究的問題所提出的各目標與條件，確定目標值，列出目標約束與絕對約束； 4、對同一優(yōu)先等級中的各偏差變量，若需要可按其重要程度的不同，賦予相應(yīng)的權(quán)系數(shù) 。 3、給各目標賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子 Pk（k=1.2K）。 2、可根據(jù)決策者的需要，將某些或全部絕對約束轉(zhuǎn)化為目標約束。這時只需要給絕對約束加上負偏差變量和減去正偏差變量即可。 5、根據(jù)決策者的要求，按下列情況之一構(gòu)造一個由 優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)相對應(yīng)的偏差變量組成的，要求實現(xiàn)極小化

9、的目標函數(shù)，即達成函數(shù)。.恰好達到目標值，取 。.允許超過目標值，取 。.不允許超過目標值，取 。（三）、小結(jié) 圖解法同樣適用兩個變量的目標規(guī)劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標規(guī)劃的求解原理和過程。 圖解法解題步驟如下： 1、確定各約束條件的可行域，即將所有約束條件（包括目標約束和絕對約束，暫不考慮正負偏差變量）在坐標平面上表示出來； 2、在目標約束所代表的邊界線上，用箭頭標出正、負偏差變量值增大的方向；三、目標規(guī)劃的圖解法 3、求滿足最高優(yōu)先等級目標的解； 4、轉(zhuǎn)到下一個優(yōu)先等級的目標，再不破壞所有較高優(yōu)先等級目標的前提下，求出該優(yōu)先等級目標的解； 5、重復(fù)4，直

10、到所有優(yōu)先等級的目標都已審查完畢為止； 6、確定最優(yōu)解和滿意解。例一、用圖解法求解目標規(guī)劃問題01 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 Ax2 x1BC B (0.6250 , 4.6875) C (0 , 5.2083) ， B、C 線段上的所有點均是該問題的解（無窮多最優(yōu)解）。 例二、已知一個生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型為 其中目標函數(shù)為總利潤，x1,x2 為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量?，F(xiàn)有下列目標： 1、要求總利潤必須超過 2500 元； 2、考慮產(chǎn)品受市場影響，為避免積壓，A、B的生產(chǎn)量不超過 60 件和 100 件； 3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過現(xiàn)有量140。試建立目標規(guī)劃模型

11、，并用圖解法求解。 解：以產(chǎn)品 A、B 的單件利潤比 2.5 ：1 為權(quán)系數(shù)，模型如下：0 x2 0 x11401201008060402020 40 60 80 100ABCD 結(jié)論：C(60 ,58.3)為所求的滿意解。作圖： 檢驗：將上述結(jié)果帶入模型，因 0； 0； 0， 存在； 0， 存在。所以，有下式： minZ=P3 將 x160， x2 58.3 帶入約束條件，得30601258.32499.62500；260+58.3=178.3 140；16060158.358.3 0。說明第k個優(yōu)先等級的目標尚未達到,必須檢查Pk這一的檢驗數(shù)kj(j=1.2n+2m).若Pk這一行某些負檢

12、驗數(shù)的同列上面（較高優(yōu)先等級）沒有正檢驗數(shù)，說明未得到滿意解，應(yīng)繼續(xù)改進，轉(zhuǎn)到第3步；若Pk這一行全部負檢驗數(shù)的同列上面（較高優(yōu)先等級）都有正檢驗數(shù)，說明目標雖沒達到，但已不能改進，故得滿意解，轉(zhuǎn)到第6步。 3、確定進基變量。 在Pk行，從那些上面沒有正檢驗數(shù)的負檢驗數(shù)中，選絕對值最大者，對應(yīng)的變量xs就是進基變量。若Pk行中有幾個相同的絕對值最大者，則依次比較它們各列下部的檢驗數(shù)，取其絕對值最大的負檢驗數(shù)的所在列的xs為進基變量。假如仍無法確定，則選最左邊的變量（變量下標小者）為進基變量。 4、確定出基變量 其方法同線性規(guī)劃，即依據(jù)最小比值法則故確定xr為出基變量，ers為主元素。若有幾個相

13、同的行可供選擇時，選最上面那一行所對應(yīng)得變量為xr 。 5、旋轉(zhuǎn)變換（變量迭代）。 以為主元素進行變換，得到新的單純形表，獲得一組新解，返回到第2步。 6、對求得的解進行分析 若計算結(jié)果滿意，停止運算；若不滿意，需修改模型，即調(diào)整目標優(yōu)先等級和權(quán)系數(shù)，或者改變目標值，重新進行第1步。例一、用單純形法求解下列目標規(guī)劃問題= min2500/30,140/2,60/1=60 ,故 為換出變量。= min700/30,20/2, =10 ,故 為換出變量。= min400/15, =10 ,故 為換出變量。= min,350/6,1250/6,100/1=75 ,故 為換出變量。表中3115/30，

14、說明P3 優(yōu)先等級目標沒有實現(xiàn)，但已無法改進，得到滿意解 x1 60， x2 175/3， 115/3， 125/3。 結(jié)果分析：計算結(jié)果表明，工廠應(yīng)生產(chǎn)A產(chǎn)品60件，B產(chǎn)品175/3件，2500元的利潤目標剛好達到。 125/3，表明產(chǎn)品比最高限額少125/3件，滿足要求。 115/3 表明甲資源超過庫存115/3公斤，該目標沒有達到。 從表中還可以看到，P3 的檢驗數(shù)還有負數(shù)，但其高等級的檢驗數(shù)卻是正數(shù)，要保證 P1目標實現(xiàn)，P3等級目標則無法實現(xiàn)。所以，按現(xiàn)有消耗水平和資源庫存量，無法實現(xiàn)2500元的利潤目標。 可考慮如下措施：降低A、B產(chǎn)品對甲資源的消耗量，以滿足現(xiàn)有甲資源庫存量的目標

15、；或改變P3等級目標的指標值，增加甲資源115/3公斤。 若很難實現(xiàn)上述措施，則需改變現(xiàn)有目標的優(yōu)先等級，以取得可行的滿意解果。練習：用單純形法求解下列目標規(guī)劃問題= min,10/2,56/10,11/1= 5,故 為換出變量。= min10/3,10,6/3,12/3= 2,故 為換出變量。 最優(yōu)解為x12， x2 4。 但非基變量 的檢驗數(shù)為零，故此題有無窮多最優(yōu)解。= min4 , 24 , 6= 4,故 為換出變量。 最優(yōu)解為x110/3,，x2 =10/3。 1、某廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，裝配工作在同一生產(chǎn)線上完成，三種產(chǎn)品時的工時消耗分別為6、8、10小時，生產(chǎn)線每月正常工作時

16、間為200小時；三種產(chǎn)品銷售后，每臺可獲利分別為500、650和800元；每月銷售量預(yù)計為12、10和6臺。 該廠經(jīng)營目標如下：1、利潤指標為每月16000元，爭取超額完成；2、充分利用現(xiàn)有生產(chǎn)能力；3、可以適當加班，但加班時間不得超過24小時；4、產(chǎn)量以預(yù)計銷售量為準。試建立目標規(guī)劃模型。 作業(yè)：2、用圖解法求解下列目標規(guī)劃問題：滿意解為由x1 =（3， 3）, x2 =（3.5，1.5） 所連線段。 3、用圖解法解下列目標規(guī)劃模型。 x1=400, x2=0, Z=80p30 100 200 300 400 500 100 200 300 400 x2 x144、用單純形法求解下列目標規(guī)劃

17、問題：x =（10，20，10） 5、用目標規(guī)劃的單純形方法解以下目標規(guī)劃模型。 5、x1=12, x2=10, =14, Z=14p4 答案：習 題1.已知條件如表所示如果工廠經(jīng)營目標的期望值和優(yōu)先等級如下：p1: 每周總利潤不得低于10000元；p2: 因合同要求，A型機每周至少生產(chǎn)10臺，B型機每周至少 生產(chǎn)15臺；p3: 希望工序的每周生產(chǎn)時間正好為150小時，工序的生產(chǎn)時間最好用足，甚至可適當加班。試建立這個問題的目標規(guī)劃模型。 2.在上題中，如果工序在加班時間內(nèi)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品，每臺A型機減少利潤10元，每臺B型機減少利潤25元，并且工序的加班時間每周最多不超過30小時，這是p4級目標，試建立這個問題的目標規(guī)劃模型。 設(shè)x1,x2分別為在正常時間和加班時間生產(chǎn)A型機臺數(shù)，x3,x4分別為在正常時間和加班時間生產(chǎn)B型機臺數(shù)，目標規(guī)劃數(shù)學模型為：