[初二數(shù)學]圖形分析

1、(一) 形如 圖形分析基本圖形：如右圖，在 RtBAC ABD 繞點 A 旋轉(zhuǎn) 90到 ACE 。結(jié)論： ABD ACE； ADE 是等腰直角三角形； S A BC S四邊形 A DCE中， BAC 90， AB=AC ，點 D 在直線 BC 上，AEB D C1. （2011 山東煙臺， 17,4 分）如圖，三個邊長均為 2 的正方形重疊在一起， O 1、 O2 是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是 .O2O 11.解： 【答案】 2O 1O2O32. 如圖，在正方形 ABCD 中，點 O 為對角線 AC 的中點， 過點 0 作射線 OM 、ON 分別交 AB 、 BC 于點 E 、

2、F，且 EOF=900,BO 、 EF 交于點 P則下列結(jié)論中： (1)圖形中全等的三角形只有兩對； (2) 正方形 ABCD的面積等于四邊形 OEBF 面積的 4 倍； (3)BE+BF= 2 0A；(4)AE 2+CF2=20P OB ，正確的結(jié)論有 (C) 個1FFA 1 B 2 C 3 D 42.解： C3. （8 分）如圖，在等腰三角形 ABC 中， ABC 90，作 DE DF ，交 AB 于 E，交 BC 于 F若 AE 4， FC 3，求AD 為 AC 邊上中點，過 D 點EF 長DEB C3.解： 連 BD ，則 ADB= CDB=90， EDF=90，EDB+ BDF= B

3、DF CDF=90， EDB= CDF (4 分）又 EBD= DCF=45， BD=AC=CD. EBD FCD (6 分）EB=FC=3 ，又 AE+BE=BF FCAE=BF=4在 RtEBF 中 EF=5(8 分）ADEB C4. （本題滿分 10 分） （1）如圖，在正方形 ABCD 中， AEF 的頂點 E， F 分別在BC， CD 邊上，高 AG 與正方形的邊長相等，求 EAF 的度數(shù)（2）如圖，在 RtABD 中， BAD 90 ， AB AD ，點 M， N 是 BD 邊上的任意兩點，且 MAN 45 ，將 ABM 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 至 ADH 位置，連接 NH ，

4、試判斷 MN， ND， DH 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）在圖中， 連接 BD 分別交 AE，AF 于點 M，N，若 EG求 AG， MN 的長 （3）初二學生不能寫4， GF 6， BM 3 2，A2B D1NDNFEC （圖）4.解： （1）在 RtABE 和 RtAGE 中， ABE AGE BAE GAE 1 分同理， GAF DAF EAF BAD 45 2 分2（2） MN 2 ND 2 DH 2 3 分 BAM DAH， BAM DAN HAN DAH DAN 45 HAN MAN 又 AM AH， AN AN ， AMN AHN MN HN 5 分 BAD 90 ， AB

5、AD， ABD ADB 45 HDN HDA ADB 90 NH 2 2 DH 2AB AG， AE AE，45 ，AMBGD MN 2 ND 2 DH 2 6 分（3）由（ 1）知， BE EG， DF FG 設(shè) AG x ，則 CE x 4， CF x 6 CE 2 CF 2 ( x 4)2 ( x 解這個方程，得2 22EF ，6) 10 x1 12， x2 AG 12 8 分 BD AB2 AD 2 2AG 22 （舍去負根） 12 2 在（ 2）中，2MN2ND2DH ， MN 2 ND 2 BM 2 設(shè) MN a ，則 a 2 (12 a 5 2 即 MN 59 分2 3 22 1

6、0 分BM DH ，a) 2 (3 2 )2 (二) 形如 圖形分析基本圖形如圖，請你觀察并熟悉圖形的變化，從中找出三角形全等、線段（角）之間的相等及和差倍分關(guān)系，以這些為基礎(chǔ)，你就能很快回答題所提出的問題。在下列圖形中，正方形還可變?yōu)槠叫兴倪呅巍⒕匦?、菱形或等腰梯形進行研究。3FA ADFDADFE B C B EAD AC E B CD ADE B C EF5. 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為B CF E B3， E 為 CD 邊上一點，F(xiàn)CDE 1 以點 A 為中心，把 ADE 順時針旋轉(zhuǎn) 90 ，得 ABE ，連接 EE ，則 EE 的長等于 _ADEE B C第（）題6. 如圖

7、， E 、 F 分別是正方形 ABCD 的邊 BC 、 CD 上的點， BE=CF ，連接 AE 、 BF，將ABE 繞正方形的中心按逆時針方向轉(zhuǎn)到 BCF，旋轉(zhuǎn)角為 a（0 a 180） ，則a=_ A DFB CE(第 14 題)5.解： 906.解： 2 57. （本題滿分 12 分）如圖，在邊長為 2 的正方形 ABCD 中， P 為 AB 的中點， Q 為邊CD 上一動點，設(shè) DQ t（0t2），線段 PQ 的垂直平分線分別交邊 AD 、 BC 于點 M 、 N， 過 Q 作 QEAB 于點 E，過 M 作 MF BC 于點 F當 t 1 時，求證： PEQ NFM；D Q CN4M

8、 F8. （9 分）如圖，在正方形 ABCD 中， E 是 CD 上一點，點 F 在 CB 的延長線上，且DE BF .（ 1）求證： ADE ABF ；（2）問：將 ADE 順時針旋轉(zhuǎn)多少度后與ABF 重合，旋轉(zhuǎn)中心是什么？AB.FBB（第B 21 題圖）DBEBCB9. （2011 山東煙臺， 24,10 分） 已知： 如圖， 在四邊形AD 2 CD 22AB2（ 1）求證： AB BC；（2）當 BEAD 于 E 時，試證明： BEAE CDABCD 中， ABC 90， CD AD，B7.解： 四邊形 ABCD 是正方形 A B D 90， AD AB QEAB， MF BC AEQ

9、MFB 90四邊形 ABFM 、 AEQD 都是矩形 MF AB， QE AD， MF QE 又 PQ MN EQP FMN又 QEP MFN 90 PEQ NFM8.解： （1）證明：在正方形 ABCD 中，D ABC 90， AD AB， （1 分）ABF 90， D ABF ，（3 分）又 DE BF ， （4 分）ADE ABF ；（5 分）（2）將 ADE 順時針旋轉(zhuǎn) 90 度后與 ABF旋轉(zhuǎn)中心是 A 點9.解： （1）證明：連接 AC， ABC 90，AB2 BC2 AC2 .DMAA EQE P（第 27 題）CDCNFB重合， （7 分）A DEF B C5F25 題） CD

10、E21 CD AD ， AD 2CD 2AC2 .AD2 CD2 2AB2， AB2 BC 22AB2，AB BC .（ 2）證明：過 C 作 CFBE 于 F . BEAD ，四邊形 CDEF 是矩形 . CD EF . ABE BAE 90， ABE CBF 90， BAE CBF ， BAE CBF .AE BF . BE BF EF AE CD .10. （10 分）探究問題： 方法感悟：如圖，在正方形 ABCD 中，點 E， F 分別為 DC， BC 邊上的點，且滿足 EAF=45，連 接 EF，求證 DE+BF=EF感悟解題方法，并完成下列填空：將ADE 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90

11、得到ABG ，此時 AB 與 AD 重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, 1=2， ABG= D=90, ABG+ ABF=90+90=180，因此，點 G， B， F 在同一條直線上 EAF=45 2+3=BAD- EAF=90 -45 =45 1=2， 1+3=45即 GAF= _又 AG=AE ， AF=AF GAF _ _=EF ，故 DE+BF=EF 方法遷移：如圖，將 Rt ABC 沿斜邊翻折得到 ADC ，點A31GB（第E， F 分別為 DC， BC 邊上的點，且EAF= 1 DAB 試猜想 DE， BF， EF 之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想2A DEBF（第 25

12、題） 問題拓展：如圖， 在四邊形CABCD 中， AB=AD ，E，F(xiàn) 分別為 DC,BC 上的點， 滿足 EAF試猜想當 B 與 D 滿足什么關(guān)系時， 可使得 DE+BF=EF 請直接寫出你的猜想理由）DAB,2（不必說明611ADEBCF（第 25 題） 10.解： EAF、 EAF 、 GF DE+BF=EF ，理由如下：假設(shè) BAD 的度數(shù)為 m ，將 ADE 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) m 得到ABG ，此時 AB 與 AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, 1= 2， ABG= D=90, ABG+ ABF=90+90=18 0，因此，點 G， B， F 在同一條直線上 EAF=

13、 1 m2 2+3=BAD- EAF= m 1=2， 1+3= 1 m 2即 GAF= EAF又 AG=AE ， AF=AF GAF EAF GF=EF，又 GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EFm2m2A21 3GB F（第 25 題）解得圖DEC當 B 與 D 互補時，可使得 DE+BF=EF(三) 兩個有一個公共頂點的正方形的圖形變化11. （本題滿分 6 分）如圖，在正方形 ABC 1D 1 中， AB 1連接 AC 1 ，以 AC 1 為邊作第二個正方形 AC 1C2D 2 ；連接 AC 2，以 AC2 為邊作第三個正方形 AC 2C3D37DD3（ 1）求第二個正方形 AC

14、 1C2 D2 和第三個正方形的邊長 AC 2C3D 3；（2）請直接寫出按此規(guī)律所作的第 7 個正方形的邊長C2C3D2 D 1 C 1A B12. 如圖 10，若四邊形 ABCD 、四邊形 GFED 都是正方形， 顯然圖中有 AG=CE，AG CE.（ 1）當正方形 GFED 繞 D 旋轉(zhuǎn)到如圖 11 的位置時， AG=CE 是否成立？若成立，請給 出證明；若不成立，請說明理由 .（2）當正方形 GFED 繞 D 旋轉(zhuǎn)到如圖 12 的位置時，延長求證： AG CH；當 AD =4，G AFDG = 2 時，求D AECH 的長 .GF D AECE 交 AG 于 H ，交 AD 于 M .

15、H GF MEB C圖 10B C圖 11B圖 12C11.解： （1）解：四邊形 ABC 1D 1 是正方形， ABC 120 B 90， BC 1 AB 1； AC 1 12 12 2即第二個正方形 AC 1 C2D 2 的邊長為 2 2 分四邊形 AC 1C2D2 是正方形， AC 1C290， C 1C2AC 1 2； AC 2 ( 2)2( 2)2 2;即第二個正方形 AC 2 C3D 3 的邊長為 2 4 分（2）解：第 7 個正方形的邊長 8 6 分12.解： （1） AG CE 成立四邊形 ABCD 、四邊形 DEFG 是正方形， GD DE , AD DC , 1 分 GDE

16、 ADC 90 . GDA 90 - ADE EDC . 2 分 AGD CED . AG CE . 3 分（2）類似（ 1）可得 AGD CED ， 1 24 分又 HMA DMC . AHM ADC 90 .即 AG CH . 5 分研究四邊形 ACDG 的面積ABAGF DEC圖 11H G1F M PE2D 8過 G 作 GP AD 于 P ,由題意有 GP PD 2 sin 45O 1 , AP 3 , AG 10 . 8 分而以 CD 為底邊的三角形 CDG 的高 = PD=1,S AGD S ACDS四邊形 ACDGS ACG S CGD ,41+44= 10 CH+4 1. C

17、H = 8 10 . 10分5注：本題算法較多，請參照此標準給分 .13. （滿分 11 分） 如圖 10，四邊形 ABCD 和四邊形 AEFG 均為正方形，連接 BG 與DE 相交于點 H（ 1）證明： ABG ADE；（2）試猜想 BHD 的度數(shù)，并說明理由；（3）將圖中正方形 ABCD 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) （0 BAE 180）， 設(shè) ABE 的面積為 S1 ， ADG 的面積為 S2 ，判斷 S1 與 S2 的大小關(guān)系，并給予證明DAGC HF EB圖 1013.解： （1）證法一：證明：在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中GAE =BAD =90 1 分GAE+ EAB =

18、BAD+EAB即 GAB =EAD 2 分又 AG =AEAB =AD ABG ADE 4 分證法二：證明：因為四邊形 ABCD 與四邊形 AEFG 都是正方形，所以AG=AE， AB=AD， 所以 EAD 可以看成是 GAB 逆時針旋轉(zhuǎn)所以 ABG ADE（2） 證法一：我猜想 BHD =90理由如下： ABG ADE 1 =2 5 分GAE=BAD= 90，90得到，9而 3=4 1+3=2+4 2+4 =90 1+3 =90 6 分 BHD =90 7 分證法二：我猜想 BHD =90理由如下：由（ 1）證法 (二)可知 EAD 可以看成是 GAB 逆時針旋轉(zhuǎn) 一組對應(yīng)邊，所以 BG D

19、E，即 BHD =90（3） 證法一：當正方形 ABCD 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) G0BAE180時,S1和 S2 總保持相等 8 分 證明如下：由于 0 BAE180因此分三種情況：AE BM AG DN當 0 BAE 90時（如圖 10）過點 B 作 BM 直線 AE 于點 M，過點 D 作 DN 直線 AG 于點 N MAN =BAD =90 MAB =NAD又 AMB =AND =90AB =AD AMB AND GBM =DN 又 AE =AG 1 12 2F S1 S2 分當 BAE =90時如圖 10（ a）AE =AG BAE =DAG =90AB =AD ABE ADG S1

20、S2 分FDAE圖 10（ a ）90得到， BG 與 DE 是D2AN43 C1EMB圖 10CB CBDGAF E圖 10 （b）當 90 BAE 180時如圖 10（b）和一樣；同理可證 S S1 2綜上所述，在（ 3）的條件下，總有 S1 S2 11 分證法二：當 0 BAE 90時，如圖 10(c)作 EM AB 于點 M，作 GNAD交 DA 延長線于點 N，則 GNA =EMA =90又四邊形 ABCD 與四邊形 AEFG 都是正方形，GAG =AE， AB =ADNFA MEB圖 10(c )DC10AD MHMA 1M DB11 GAN+ EAN =90，EAM+ EAN =

21、90 GAN =EAM GAN EAM （AAS ） GN=EM S ABEAB EM ； S ADG2AD GN2S ADG S ABE S1 S2同證法一類似 證法三：當正方形 ABCD 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn)0BAE180時,S1和 S2 總保持相等 8 分證明如下：由于 0 BAE 180因此分三種情況： 當 0 BAE 90時如圖 10（d） 延長 GA 至 M 使 AM=AG ，連接 DM ，則有 2 3S AD G S AE=AG=AM ， AB=AD 又 1+2 =90 圖 10 （d）3+2 =90 1=3 C ABE ADM （SAS）B S ABE S AD M S ADG

22、 S1 S2 分G當 BAE =90時（ 同證法一 ） 10 分當 90 BAE 180時如圖 10 （e） F E和一樣； 圖 10 （e）同理可證 S1 S2綜上所述，在（ 3）的條件下，總有 S1 S2 11 分證法四：當 0 BAE 90時如圖 10（f）延長 DA 至 M 使 AM=AD ，連接 GM， D則有 S ADG S AMG G A再通過證明ABE 與 AMG 全等 CF E11圖 10(f)B 73 26A GD從而證出 S1 S2同證法一類似14. （本題 10 分）如圖 1，已知正方形 ABCD 的邊 CD 在正方形 DEFG 的邊 DE 上，連接 AE， GC（ 1

23、）試猜想 AE 與 GC 有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 .（2）將正方形 DEFG 繞點 D 按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點 E 落在 BC 邊上，如圖 2，連接 AE 和 GC你認為（ 1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.D AGB CHE圖 114.解： （1）答： AE GC .證明：延長 GC 交 AE 于點 H .BEF（第 25 題）（ 1 分）在正方形 ABCD 與正方形 DEFG 中，AD DC， ADE CDG 90， DE DG， ADE CDG . 1 2. （3 分） 2 3 90 . 1 3 90 .CF圖 2A1BD2CHE圖 1G3F AH

24、G 180- 1 3 180 -90 90 . AE GC . （5 分）（2）答：成立 . （6 分）證明：延長 AE 和 GC 相交于點 H .在正方形 ABCD 與正方形 DEFG 中，AD DC，DE DG， ADC DCBB BAD EDG 90， 1 2 90- 3. ADE CDG . 5 4. 8 分又 5 6 90， 4 7 180- DCE180 90 90， 6 7.又 6 AEB 90， AEB CEH .DA5 14 GE CHF圖 2 CEH 7 90 EHC 90， AE GC . （10 分）（其它證法可參照給分）1215. 如圖，點 G 是正方形 ABCD 對

25、角線 CA 的延長線上任意一點，以線段 AG 為邊作一個正方形 AEFG ，線段 EB 和 GD 相交于點 H（ 1）求證： EB=GD；（ 2）判斷 EB 與 GD 的位置關(guān)系，并說明理由；（ 3）若 AB=2， AG= 2 ，求 EB 的長15.解： （1）證明： 在 GAD 和 EAB 中， GAD=90+EAD，EAB=90+EAD， GAD= EAB，又 AG=AE ， AB=AD ， GAD EAB， EB=GD ；（ 2） EB GD ，理由如下：連接 BD，由（ 1）得： ADG= ABE ，則在 BDH 中， DHB=18 - （ HDB+ HBD ） =180-90 =90

26、， EB GD；（ 3）設(shè) BD 與 AC 交于點 O，AB=AD=2 在 Rt ABD 中， DB= ， EB=GD= (四) 兩個有公共頂點的等腰直角三角形、等邊三角形、正方形的圖形分析1316. (9 分 )如圖， ACD 和 BCE 都是等腰直角三角形， ACD點 F， BD 分別交 CE 、 AE 于點 G、 H .試猜測線段 AE 和 BD 的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由 .BCE 90， AE 交 CD 于DE HF GCA B16.解： 猜測 AE BD， AE BD理由如下：ACD BCE 90，ACD DCE BCE DCE，即 ACE DCB .ACD 和 BCE 都是等腰

27、直角三角形 .AC CD， CE CB，ACE DCB AE BD，CAE CDB .AFC DFH， DHF ACD 90AE BD17. （11 西寧 ）如圖 6，在等邊 ABC 中， D 為 BC 邊上一點， E 為 AC 邊上一點，且ADB EDC 120， BD 3， CE 2，則 ABC 的邊長為A 9B 12C 16D 18AEB17.解：D CA18. （2011 廣西梧州， 12， 3 分） 如圖 6， 點 B、都是等邊三角形，則下列結(jié)論不一定成立的是 （A ） ACE BCD （B） BGC AFC （C） DCG ECF （D ） ADB CEAC 、E 在同一條直線上，

28、 ABC 與 CDE143 22DAG FB C E圖 618.解： D19. (本題滿分 9 分)如圖 9,已知線段 AB 的長為 2a，點 P 是 AB 上的動點（ P 不與 A， B 重合） ，分別以 AP 、PB 為邊向線段 AB 的同一側(cè)作正 APC 和正 PBD（ 1）當 APC 與 PBD 的面積之生取最小值時， AP= _ ； （直接寫結(jié)果）（2）連結(jié) AD 、 BC ，相交于點 Q，設(shè) AQC= ，那么 的大小是否會隨點 化？請說明理由；（3）如圖 10，若點 P 固定，將 PBD 繞點 P 按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于 時 的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證

29、明）P 的移動面變180） ，此19.解： （1） a ；（2） 的大小不會隨點 P 的移動而變化，理由： APC 是等邊三角形，PA=PC, APC=60 0 , BDP 是等邊三角形，PB=PD, BPD=60 0 , APC= BPD, APD= CPB, APD CPB, PAD= PCB, QAP+ QAC+ ACP=120 0,15M QCP+QAC+ ACP=120 0, AQC=180 0-1200 =600;(3) 此時 的大小不會發(fā)生改變，始終等于060 .20. 如圖，已知等邊三角形 ABC 中，點 D， E， F 分別為邊 AB， AC， BC 的中點， M 為直線 B

30、C 上一動點， DMN 為等邊三角形 （點 M 的位置改變時， DMN 也隨之整體移動） （ 1） 如圖 ，當點 M 在點 B 左側(cè)時， 請你判斷 EN 與 MF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點 F 與直線 EN 有怎樣的位置關(guān)系？都請直接 寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；（2）如圖 ，當點 M 在 BC 上時，其它條件不變， （1）的結(jié)論中 EN 與 MF 的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立 ?若成立，請利用圖 證明；若不成立，請說明理由；（3）若點 M 在點 C 右側(cè)時， 請你在圖 中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷 （1）的結(jié)論中 EN與 MF 的數(shù)量關(guān)系及點 F 與直線 EN 的位置關(guān)系是否仍然成立必證明或說明理由A

31、A?若成立 ?請直接寫出結(jié)論， 不AD EBF CN圖（ 1）判斷： EN 與 MF 相等（或 （說明：答對一個給 2 分）（2）成立 4 分DBMENF CD EB F C圖 圖第 25 題圖EN=MF），點 F 在直線 NE 上 3 分20.解： 證明：法一：連結(jié) DE， DF 5 分 ABC 是等邊三角形， AB=AC=BC 又 D， E， F 是三邊的中點，DE， DF， EF 為三角形的中位線 DE=DF=EF ， FDE=60又MDF+ FDN=60， NDE+ FDN=60 ， MDF= NDE 7 分在DMF 和DNE 中， DF=DE， DM=DN ， MDF= NDE， D

32、MF DNE 8 分MF=NE 9 分A AD法二：延長 EN ，則 EN 過點B ME D EF 5N分 NF C B M F C161 1 ABC 是等邊三角形， AB=AC=BC 又 D， E， F 是三邊的中點， EF=DF=BF BDM+ MDF=6 ， FDN+ MDF=6 ， BDM= FDN 7 分又 DM=DN ， ABM= DFN=60， DBM DFN 8 分BM=FN BF=EF， MF=EN 9 分法三：連結(jié) DF， NF 5 分 ABC 是等邊三角形， AC=BC=AC 又 D， E， F 是三邊的中點， DF 為三角形的中位線， DF= AC= AB=DB 2 2

33、又BDM+ MDF=6 ， NDF+ MDF=6 ， BDM= FDN 7 分在DBM 和DFN 中， DF=DB ，DM=DN ， BDM= NDF， DBM DFN B=DFN=60 8 分又 DEF 是 ABC 各邊中點所構(gòu)成的三角形，NAD EB F C M DFE=60 可得點 N 在 EF 上， MF=EN 9 分（3）畫出圖形（連出線段 NE）， 10 分MF 與 EN 相等及點 F 在直線 NE 上的結(jié)論仍然成立（或 MF=NE 成立） 11 分21. （本題 12 分）已知：正方形 ABCD.（ 1）如圖 1，點 E、點 F 分別在邊 A B 和 AD量關(guān) 系和位置關(guān)系分別是

34、什么？請直接寫出結(jié)論 .（2） 如圖 2， 等腰直角三角形 FAE 繞直角頂點上，且 AE=AF. 此時，線段 BE 、 DF 的數(shù)A 順時針旋轉(zhuǎn) ， 當 0 90 時，連接 BE 、 DF ，此時（ 1）中結(jié)論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由 .（3）如圖 3，等腰直角三 角形 FAE 繞直角頂點 A 順時針旋轉(zhuǎn) ，當 90 時，連接 BE 、 DF ，猜想當 AE 與 AD 滿足什么數(shù)量關(guān)系時，直線 DF 垂直平分 BE.請直接寫出結(jié)論.（4）如圖 4，等腰直角三角形 FAE 繞直角頂點 A 順時針旋轉(zhuǎn) ，當 90 180時，連接 BD 、 DE 、 EF、 FB 得到四

35、邊形 BDEF ，則順次連接四邊形 BDEF 各邊中點所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請直接寫出結(jié)論 .D C D C D C D CFAE B A圖 1EFB AE圖2FBE圖 3ABF圖 41721.解： （1） BE=DF 且 BE DF（2）成立D CFHA BGE證明：延長 DF 交 AB 于點 H，交 BE 于點 G.AEF 是等腰直角三角形 AF=AE四邊形 ABCD 是正方形 AD=AB; DAB= FAE=90 DAB- FAB= FAE- FAB ； DAF= BAE在DAF 和 BAE 中，DAF BAE(SAS)AD ABDAF BAEAF AE DF BE , ADF

36、 ABE又 AHD BHG DAH BGH 90BE=DF 且 BE DF 仍成立（3） AE ( 2 1)ADD CFA BE四邊形 ABCD 是正方形18112BD= 2 AD直線 DF 垂直平分 BEDE=DBAD+AE= 2 ADAE= 2 AD- AD=( 2 - 1)AD（4）正方形D CNGAFMBEH在DEB 中G， N 分別是 DE， DB 的中點GN 是DEB 的中位線GNBE ； GN= BE2同理： HM BE ； HM= BE21GH DF ； GH= DF1MN DF ； MN= DF2BE=DFGH=HM=MN=GN四邊形 GHMN 是菱形DFBE GNM=90四

37、邊形 GHMN 是正方形22. （10 分） （2011 武漢調(diào)考模擬 ) 如圖，四邊形 ABCD 為正方形且邊長為 1， BEF 為等腰直角三角形（ BFE=90 ，點 B 、 E 、 F，按逆時針排列） ，點 P 為 DE 的中點，連 PC， PF19(1) 如圖，點 E 在 BC上，則線段 PC、 PF 的數(shù)量關(guān)系為 _，位置關(guān)系為 _（不證明） (2) 如圖，將 BEF 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)位置關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明a(Oa”， “”或“ ”)（2）猜想：如圖（3）如果 2E1，當 0 CDF 60時， AM+CK_MK ，證明你所得到的結(jié)論2CK2AM ，請直接寫出 CDF 的

38、度數(shù)和EMKAM的值F CKEMA D圖 1FKA (M) DBA BFEKMBA D2 22 2 2圖 336.解： （12 分） （ 1） =2 分 2 分（2） 2 分證明：作點 C 關(guān)于 FD 的對稱點 G，連接 GK， GM， GD， E則 CD =GD， GK =CK， GDK = CDK，D 是 AB 的中點， AD =CD =GD A 30， CDA =120， EDF =60， GDM + GDK =60，ADM +CDK =60 ADM =GDM， 3 分DM = DM， ADM GDM ， GM =AMGM+GK MK ， AM +CK MK 1 分（ 3） CDF =1

39、5， MK 3 2 分 AM 2F GKMA DCB下面證明：如果 MK CK AM 2 ，那么 MK CK AME MK 2 GK 2 GM 2 GKM=90 GKC=9 GKF= FKC FKC=45 FKC= CDK+ ACD ； ACD=4 FDC=15CDF =15。GMAF CKD B下面證明：如果2 2MK CK2 MKAM ，那么3 。AM2點 C 關(guān)于 FD 的對稱點 G DGK= DCK=3 ADM GDM MGD= A=3033 MGK=60 GKM=90 GMK=30 MK 3AM 2在DAF 和 BAE 中DAF BAE(SAS) =37. 在 ABC 中， ACB

40、90， ABC 30，將 ABC 繞頂點為 ( 0AA1 180) ，得到 A 1B 1CA1 A AEC 順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角A1CDBCB CPBB1B1B1圖 1 圖 2 圖 3( 1)如圖 1， 當 AB CB 1 時， 設(shè) A 1B1 與 BC 相交于點 D 證明： A 1CD 是等邊三角形； 【證】( 2)如圖 2，連接 AA 1 、 BB 1 ，設(shè) ACA 1 和 BCB 1 的面積分別為 S1 、 S2求證： S1 S2 1 3； 【初二學生不能寫】【證】343( 3)如圖 3，設(shè) AC 的中點為 E， A 1B1 的中點為 P， AC a，連接 EP當 _時， EP 的長度最大

41、，最大值為 _37.解： （1）易求得(2)易證得 ACA （3） 120， a2A CD 60 , A CBCB , 且相似比為 1:DC ,因此得證 .3 ，得證 .AECBA1PB135圖F238. （滿分 10 分） 兩個大小相同且含 30 角的三角板 ABC 和 DEC 如圖擺放，使直角頂點重合 . 將圖中 DEC 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn)AB 的交點，點 H 是 DE 與 AC 的交點 .（ 1）不添加輔助線，寫出圖中所有與30 得到圖，點 F、 G 分別是 CD 、 DE 與BCF 全等的三角形；（2）將圖中的 DEC 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn) 45 得 D 1E1C，點 F 、 G 、

42、 H 的對應(yīng)點分別 為 F1 、 G1、 H 1 ，如圖 . 探究線段 D 1F 1 與 AH 1 之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程；（3）在（ 2）的條件下，若 D 1E1 與 CE 交于點 I ，求證：D DBBGACC HA EE圖G1I =CI .DD 1AG 1GF 1H 1 HE圖BFCIE138. 解： （1）圖中與 BCF 全等的有 GDF 、（2） D1 F1 = AH 1 4 分證明：A D 1 30CA CD1F1CH 1公共 AF 1C D 1H1C . 5 分 F1C= H1C， 又 CD1=CA，CD1- F1C =CA- H1C .即 D1F1 AH 1 6 分（3

43、）連結(jié) CG 1 . 在 D 1G1F1 和 AG 1H 1 中，D1 AD1G1 F1 AG1 H 1，D 1G1AD1F1 AH 1 D 1G1F 1 AG 1H 1. G1F 1=G 1H 1 7 分又 H 1C=F 1C， G 1C=G 1C， CG1F1 CG1 H1 . 1=2. 8 分 B=60， BCF =30， BFC =90.又 DCE=90， BFC = DCE， BACE，GAH 、ECH 3 分DBFGF 11C3H 1 HIEE136 1=3， 2=3，G1I=CI 10 分39. 如圖 1，在 ABC 中， ABC 90， AB BC， BD 為斜邊 AC 上的中

44、線，將 ABD 繞點 D 順時針旋轉(zhuǎn) (0 180)， 得到 EFD， 點 A 的對應(yīng)點為點 E， 點 B 的對應(yīng)點為點F，連接 BE 、 CF .(1)判斷 BE 與 CF 的位置、 數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若連接 BF 、 CE，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形 BECF 能形成哪些特殊四邊形；(3)如圖 2，將 ABC 中 AB BC 改成 ABBC 時，其他條件不變，直接寫出 為多少度時 (1) 中的兩個結(jié)論同時成立AEA ADFD DB 圖1 C B 圖2 CB C39.解： (1)FC BE， FCBE. ABC 90， BD 為斜邊 AC 的中線， AB BC， BDAD CD.

45、ADB BDC 90. ABD 旋轉(zhuǎn)得到 EFD， EDB FDC .ED BD， FD CD . BED CFD . BE CF .(5 分 ) DEB DFC . DNE FNB，37AF38 DEB DNE DFC FNB . FMN NDE 90. FC BE.(2)等腰梯形和正方形 .(3)當 90(1)兩個結(jié)論同時成立 .40. 在 RtABC 中， BAC =90， B=30，線段 AD 是 BC 邊上的中線如圖，將 ADC 沿直線 BC 平移，使點 D 與點 C 重合，得到 FCE ，如圖，再將 FCE 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 （0 90）連接 AF 、 DE .（

46、1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當 ACE=150時，求旋轉(zhuǎn)角 的度數(shù) .（2）探究旋轉(zhuǎn)過程中四邊形 ADEF 能形成哪些特殊四邊形？請說明理由 .AA FBD C圖E BD C圖EA AB D C B備用圖D C備用圖40.解： （1）在圖中， BAC=90， B=30ACE= BAC+B=120 在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖，當點 E 和點 D 在直線 AC 兩側(cè)時，由于 ACE 1=150 ， =150 -120 =30（3 分）當點 E 和點 D 在直線 AC 同側(cè)時， ACB=180- BAC- B=60 DCE2 =ACE 2- ACB =150 -60 =90 =180- DCE 2=90旋轉(zhuǎn)角 為 3

47、0或 90 . （5 分）D1 A1圖（2）四邊形 ADEF 能形成等腰梯形和矩形 . （7 分）證法一： B BAC=90， B=30AC= BC2又 AD 是 BC 邊上的中線 AD= DC= BC =AC B2 D ADC 為正三角形 （8 分）當 =60時，如圖 ACE =120+60=180CA=CE=CD =CF 四邊形 ADEF 為平行四邊形又 AE= DF 四邊形 ADEF 為矩形 （10 分）當 60時， ACF120， DCE =360-60 -60 -ACF 120顯然 DE AFBC圖CE2ADFF1E1 (F2)CEF圖 E30 、1AC=CF， CD =CE 2FA

48、C+ACF =2CDE+DCE =180 ACF+DCE =360-60 -60 =240 FAC+CDE =60 DAF+ADE=120+60=180AF DE又 AFDE， AD= EF 四邊形 ADEF 為等腰梯形 （12 分）證法二：AC=CF， CD =CE 2FAC+ACF =2CDE+DCE =180 ACF+DCE =360-60 -60 =240 FAC+CDE =60 DAF+ADE=120+60=180AF DE （8 分）當 =60時， ACF = DCE =120，又 AC=CF， DC =CE ACF DCE AF= DE四邊形 ADEF 為平行四邊形 BAC=90

49、， B=30AC= BC2又 AD 是 BC 邊上的中線 ADC 為正三角形，即 DAF = CAF+CAD=901AD= DC= BC =AC2CAD =60ACF 中， CAF =30四邊形 ADEF 為矩形 （10 分） 當 60時， ACF120 DCE=360-60 -60 -ACF 120，顯然 DE AF 又 AF DE四邊形 ADEF 為梯形又 AD =EF四邊形 ADEF 為等腰梯形 （12 分）41. （本題滿分 8 分） RtABC 與 RtFED 是兩塊全等的含如圖（一）所示拼在一起， CB 與 DE 重合o 60o角的三角板，按（ 1）求證：四邊形 ABFC 為平行四

50、邊形；（2）取 BC 中點 O，將 ABC 繞點 O 順時鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中 A B C 位置，直線 B C 與 AB、 CF 分別相交于 P、 Q 兩點，猜想猜想(3)在(2) 的條件下 , 指出當旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時 AC(E)F C(E)OQ 、 OP 長度的大小關(guān)系，并證明你的, 四邊形CQOPCQB 為菱形 (不要求證明 ).FA B(D) A P B(D)B圖( 一) 圖(二 )23 題圖3941.解： （1） ABC FCB 1 分AB=CF， AC=BF 2 分四邊形 ABCF 為平行四邊形 3 分（用其它判定方法也可）（2） OP=OQ 4 分理由如下： OC OB ,

51、 COQ BOP , OCQ PBOCOQ BOP 6 分OP=OQ 7 分(用平行四邊形對稱性證明也可 )(3)90 o 8 分42. （2011 江蘇南通， 26， 10 分） （本體滿分 10 分） 已知：如圖 1， O 為正方形 ABCD 的中心，分別延長2OA， OE 2OD，連結(jié) EF ，將 FOE 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)OA 到點 F， OD 到點 E，使 OF角得到 F OE （如圖 2） .（ 1） 探究 AE與 BF 的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（ 2） 當 30時，求證： AOE為直角三角形 .42.解：證明：如圖在正方形（ 1） AE BF2，ABCD 中， ACBD F O

52、E AOD AOB 90即 AOE AOF BOF AOF AOE BOF 又 OA OB OD， OE 2OD， OF 2OA OE OF OAE OBF AE BF（ 2）作 AOE的中線 AM，如圖 3 . 則 OE 2OM 2OD 2OA40OA OM 30 AOM 60 AOM 為等邊三角形 MA MO ME ， AE M E AM又 AE M E AM AMO即 2 AE M 60 AE M 30 AE M AOE 30 60 90 AOE為直角三角形 .43. (本題滿分 9 分)如圖， 四邊形 ABCD 是邊長為 a 的正方形， 點 G，E 分別是邊 AB，BC 的中點， AE

53、F =90o，且 EF 交正方形外角的平分線 CF 于點 F（ 1）證明： BAE= FEC；（2）證明： AGE ECF；（3）求 AEF 的面積43.解： （1）證明： AEF =90 ， FEC+AEB=90 1 分41852 21 51在 RtABE 中， AEB+BAE=90 ， BAE=FEC； 3 分（2）證明： G， E 分別是正方形 ABCD 的邊 AB， BC 的中點，AG=GB=BE=EC ，且 AGE =180 45=135又 CF 是 DCH 的平分線， ECF=90+45=135 4 分在 AGE 和 ECF 中，AG EC，AGEGAEECFFEC AGE ECF

54、；135，6 分（3）解：由 AGE ECF，得 AE=EF又 AEF =90 ， AEF 是等腰直角三角形 7 分由 AB=a， BE=S AEF= a2a，知 AE= a，9 分44. （7 分）如圖，一個含 45的三角板 重合，過 E 點作 EFAE 交 DCE 的平分線于 說明理由HBE 的兩條直角邊與正方形 ABCD 的兩鄰邊F 點，試探究線段 AE 與 EF 的數(shù)量關(guān)系，并HFA DBC E第 18 題圖44.解： 探究： AE EF理由： BHE 為等腰 Rt ， H HEB 45 ， BH BE，又 CF 平分 DCE ，四邊形 ABCD 為正方形， FCE DCE 45 ，

55、H FCE ， 3 分2由正方形 ABCD 知： B 90 ， HAE 90 DAE 90 AEB ，而 AE EF ，42B FEC 90 AEB， HAE FEC ， 5 分由正方形 ABCD 知： AB BC ， BH AB BE BC ， AH CE AHE ECF （ASA）， AE EF 7 分45. 如圖所示，四邊形 ABCD 是正方形，點 E 是邊 BC 的中點且 AEF=90， EF 交正方形外角平分線 CF 于點 F，取邊 AB 的中點 G，連接 EG.（ 1）求證： EG=CF；（2）將 ECF 繞點 E 逆時針旋轉(zhuǎn) 90，請在圖中直接畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并指出旋轉(zhuǎn) 后 C

56、F 與 EG 的位置關(guān)系 .A DG FE C45.解： （1）證明：正方形 ABCD點 G， E 為邊 AB 、 BC 中點AG=E （1 分）又 CF 為正方形外角平分線且 AEF=90， BG=BE AGE= E （2 分）GAE= FEC （3 分） AGE ECF （4 分）EG=C （5 分）（2） （圖略） （6 分）平行 （7 分）43E CA F D1G CF32B AGE ECF 1=2； AG=EC將 ECF 繞點 E 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 3=2 1=3A GCE四邊形 AGCE 是平行四邊形。GECF46. 如圖（圖 1、圖 2），四邊形 ABCD 是邊長為 4 的正方形

57、， 點 E 在線段 BC 上， AEF=9 0，且 EF 交正方形外角平分線 CP 于點 F， FNBC，交 BC的延長線于點 N。（ 1）若點 E 是 BC的中點（如圖 1）， AE 與 EF 相等嗎？為什么？（2）點 E 在 BC間運動時（如圖 2），設(shè) BE=x,ECF 的面積為 y。求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；當 x 取何值時， y 有最大值，并求出這個最大值。 【初二學生不能寫】44A1N21AB EDCFNAPB EADP MFC N B EDPFC N47. 探究題（本大題 10 分）數(shù)學課堂上，徐老師出示一道試題：如圖（十）所示，在正三角形 ABC 中， M 是 BC 邊（不

58、含端點 B 、 C）上任意一點， P是 BC 延長線上一點， N 是ACP 的平分線上一點若 AMN 60，求證： AM MN(1)經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程請你將證明過程補充完整證明：在 AB 上截取 EA MC ，連結(jié) EM ，得 AEM 1 180 AMB AMN ， 2 180 AMB B， AMN B 60， 1 2又 CN 平分 ACP ， 4 ACP 60 MCN 3 4 120又 BA BC， EA MC ， BA EA BC MC ，即 BE BM BEM 為等邊三角形 6 60 5 180 6 120 由得 MCN 5在 AEM 和 MCN 中， 1 2 AE=

59、MC ， MCN 5 AEM MCN(ASA) AM MN(2)若將試題中的“正三角形 ABC ”改為“正方形 A 1B1 C1D 1”（如圖）， N 1 是 D1C 1P1的平分線上一點，則當案，不需要證明）EA256A 1M 1N1 90時，結(jié)論 A 1M 1 M 1N 1 是否還成立？（直接寫出答D1N141 3 BM C圖 10PB1 M 1圖 11PC145(3)若將題中的 “正三角形 ABC ”改為“正多邊形 A nB nC nDn X n”，請你猜想： 當 A nM nNn 時，結(jié)論 A nMn M nN n仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）46.解： 成立在 A1B1 上截取 A1 H M 1C1E6AN 25A1D1N141 3 BM C圖 10AMN=60 （ 3 2） /3 180A1 M 1 N 1 =90（ 42）